নিখুঁত বিচ্যুতির যোগফল হ্রাস করা (

15

আমি একটি ডেটা সেট আছে $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ এবং প্যারামিটার খুঁজতে চান $m$ যাতে তা সমষ্টি ছোট

\sum_{i = 1}^{k} | m - x_{i} | .

$\sum_{i=1}^{k}\big|m-x_i\big|.$ এটাই

min_{m} \sum_{i = 1}^{k} | m - x_{i} | .

$\min_{m}\sum_{i=1}^{k}\big|m-x_i\big|.$

optimization convex-optimization

— mayenew
সূত্র

2

আপনি কিছুটা ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— জেফ অক্সবেরি

সেক্ষেত্রে সলিউশনটি কি সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে মিডপয়েন্ট হবে না?

— পল

@ পল মিডিয়ান যোগফলটি হ্রাস করতে পারে তবে এটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে কীভাবে করা যায় তা জানতে চান, বিশেষত

— l1-

@ কাদু ঠিক আছে, মধ্যমা হ'ল সমাধান। বিশ্লেষণাত্মকভাবে মিডিয়াকে গণনা করা তুচ্ছ; ঠিক সাজান এবং তারপরে মাঝারি মানটি ধরুন।

— ডেভিড কেচসন

22

সম্ভবত আপনি কোনও প্রমাণ চেয়েছেন যে মিডিয়ান সমস্যার সমাধান করে? ঠিক আছে, এটি এইভাবে করা যেতে পারে:

উদ্দেশ্যটি টুকরোখের লিনিয়ার এবং তাই পয়েন্ট ব্যতীত পৃথকযোগ্য । কিছুটা অবজেক্টের কী? ঠিক আছে, ম্যাপিংগুলির সমষ্টি এবং এই উভয় হয় (জন্য ) অথবা (জন্য )। তাই, ঢাল ইঙ্গিত কত এর চেয়ে ছোট হয় $m=x_i$ $m\neq x_i$ $m\mapsto |m-x_j|$ $+1$ $m>x_j$ $-1$ $m<x_j$ $x_i$ $m$ । আপনি দেখতে পাচ্ছেন ালটি শূন্য যদি সমানভাবে অনেক এর চেয়ে ছোট এবং চেয়ে বড় হয় (এবং এমনকি সংখ্যাও )। যদি একটি বিজোড় সংখ্যা তারপর গুলি ঢাল হল "middlest" এক বাম এবং এর ঠিক আছে, অত: পর middlest এক সর্বনিম্ন। $x_i$ $m$ $x_i$ $x_i$ $-1$ $+1$

— ডীর্ক্
সূত্র

16

একাধিক মাত্রায় এই সমস্যার একটি সাধারণীকরণকে জ্যামিতিক মাঝারি সমস্যা বলে । ডেভিড যেমন উল্লেখ করেছেন, মিডিয়ান হ'ল 1-ডি মামলার সমাধান; সেখানে, আপনি মিডিয়ান-ফাইন্ডিং নির্বাচন অ্যালগরিদমগুলি ব্যবহার করতে পারেন যা বাছাইয়ের চেয়ে আরও দক্ষ। প্রকারের নির্বাচন আলগোরিদিম হয় যেহেতু ; একাধিক বাছাইয়ের প্রয়োজন হলে, প্রকারগুলি কেবল আরও কার্যকর you $O(n\log n)$ $O(n)$

জ্যামিতিক মধ্যস্থ সমস্যার লিঙ্কটিতে বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে সমাধানগুলির সমাধান উল্লেখ করা হয়েছে।

— জিওফ অক্সবেরি
সূত্র

6

মধ্যস্বত্বের ক্ষেত্রে সুস্পষ্ট সমাধানটি সঠিক, তবে মায়েনিউর একটি মন্তব্যের জবাবে, এখানে আরও একটি পদ্ধতির উপায় রয়েছে।

এটি সুপরিচিত যে মিনিমাইজেশন সমস্যাগুলি সাধারণত এবং বিশেষত পোস্ট সমস্যাটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের মাধ্যমে সমাধান করা যায়। $\ell^1$

নিম্নলিখিত এলপি তৈয়ার অজানা দিয়ে নির্দিষ্ট ব্যায়াম জন্য কি করবে : $z_i,m$

যেমন:

m i n \sum z_{i}

$min \sum z_i$

z_{i} \geq m - x_{i}

$z_i \ge m - x_i$

z_{i} \geq x_{i} - m

$z_i \ge x_i - m$

স্পষ্টত সমান সর্বনিম্ন, সুতরাং এটি ত্রুটিগুলির পরম মানের যোগফলকে হ্রাস করতে বলে। $z_i$ $|x_i - m|$

— hardmath
সূত্র

2

এটি দেখানোর জন্য ওভার-পাওয়ার চালিত উত্তল বিশ্লেষণের উপায়টি কেবল সাবগ্র্যাডিয়েন্টগুলি নেবে। আসলে এটি opালু জড়িত অন্যান্য উত্তরগুলির কয়েকটিতে ব্যবহৃত যুক্তির সমতুল্য।

$\left|m-x_i\right|$

$m<x_i$

$m=x_i$

$m>x_i$

$m$ $x_1,\ldots x_k$

— cjordan1
সূত্র

0

\arg min_{m} \sum_{i = 1}^{N} | m - x_{i} |

$\arg \min_{m} \sum_{i = 1}^{N} \left| m - {x}_{i} \right|$

$\frac{\mathrm{d} \left | x \right | }{\mathrm{d} x} = \operatorname{sign} \left( x \right)$ ${L}_{1}$
$\sum_{i = 1}^{N} \operatorname{sign} \left( m - {x}_{i} \right)$
$m = \operatorname{median} \left\{ {x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{N} \right\}$

একটি লক্ষ্য করা উচিত যে medianএকটি পৃথক গ্রুপের স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না।
তদতিরিক্ত, এটি অগত্যা গ্রুপের মধ্যে কোনও আইটেম নয়।

— Royi
সূত্র