বৃত্তাকার পরিবর্তে কক্ষপথগুলি উপবৃত্তাকার কেন?

16

কেন গ্রহগুলি তার একটি কেন্দ্রের নক্ষত্রের সাথে একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্তাকার কক্ষপথে একটি তারাটির চারপাশে ঘুরবে? কক্ষপথ কেন একটি বৃত্ত নয়?

star orbit planet

— দেবগীত প্যাটেল
সূত্র

2

এডুয়ার্ডোর উত্তর এর সর্বাধিক যোগ করে। যদিও আপনি পদার্থ বিজ্ঞানের এসই তে আমার অনুরূপ প্রশ্নের উত্তর দেখতে পাচ্ছেন। physics.stackexchange.com/questions/56657/...

— Cheeku

2

বৃত্তাকার কক্ষপথগুলি উপবৃত্তাকার কক্ষপথের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

— asawyer

13

ধরুন নক্ষত্রের তুলনায় গ্রহটির উপেক্ষিত পরিমাণ নেই, উভয়ই গোলাকারভাবে প্রতিসাম্যযুক্ত (সুতরাং নিউটনের মহাকর্ষের নিয়মটি রয়েছে, তবে এটি সাধারণত খুব ভাল অনুমানের ক্ষেত্রে ঘটে), এবং তাদের মধ্যে মাধ্যাকর্ষণ ছাড়াও কোনও শক্তি নেই । যদি প্রথম শর্তটি ধরে না রাখে, তবে প্রতিটিটির ত্বরণটি সিস্টেমের ব্যারিসেনটারের দিকে চলে যাচ্ছে , যেন ব্যারিয়েন্সর তাদেরকে একটি নির্দিষ্ট হ্রাসযুক্ত ভর দিয়ে একটি মহাকর্ষ বলকে আকৃষ্ট করছে, সুতরাং সমস্যাটি গণিতের সমতুল্য।

তারার উত্স হতে হবে। মহাকর্ষ নিউটনের আইন অনুযায়ী, বল , যেখানে পৃথিবীর ভেক্টর হয়, তার হয় ভর, এবং তারার মানক মহাকর্ষীয় প্যারামিটার। $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

সংরক্ষণ আইন

কারণ বলটি বিশুদ্ধরূপে রেডিয়াল , কৌণিক গতিবেগ সংরক্ষণ করা হয়: যদি প্রাথমিক গতিবেগ ননজারো হয় এবং তারাটি মূলত হয় , তারপরে প্রাথমিক অবস্থান এবং বেগের পরিপ্রেক্ষিতে কক্ষপথ অবশ্যই points উত্স থেকে ভেক্টর with দিয়ে সমস্ত পয়েন্টের সমতলে সীমাবদ্ধ থাকতে হবে $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$ । প্রাথমিক গতি যদি শূন্য হয়, তবে গতিটি নিখুঁতভাবে রেডিয়াল হয় এবং আমরা অসীম বহু প্লেনের যে কোনও একটিতে নিতে পারি যার মধ্যে বেরিয়েনটার এবং প্রাথমিক অবস্থান থাকে।

মোট কক্ষপথ শক্তি যেখানে প্রথম শব্দটির অংশটি গতিশক্তি এবং শক্তি দ্বিতীয় শব্দটি গ্রহের মহাকর্ষীয় সম্ভাব্য শক্তি। এর সংরক্ষণের পাশাপাশি এটি সঠিক সম্ভাবনাময় শক্তিকে আহ্বান করে তা লাইন ইন্টিগ্রালের জন্য ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে।

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

ল্যাপ্লেস-রান্জ-লেনজ ভেক্টরকে এটিও সংরক্ষিত রয়েছে:

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{একজন} & = & এফ \times এল + + পি \times \dot{এল} - \frac{মি μ}{R} পি + + \frac{মি μ}{R^{3}} (পি \cdot R) R \\ = & - \frac{মি μ}{R^{3}} \underset{(R \cdot পি) R - R^{2} পি}{\underset{⏟}{(R \times (R \times পি))}} - \frac{মি μ}{R} পি + + \frac{মি μ}{R^{3}} (পি \cdot R) R \\ = & 0 । \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

পরিশেষে, আসুন আমরা , যার units as হিসাবে একই ইউনিট রয়েছে এবং যেহেতু , এটি অরবিটাল প্লেনের পাশে রয়েছে। এটি একটি সংরক্ষিত ভেক্টর একটি সংরক্ষিত স্কালে দ্বারা স্কেল করা হচ্ছে, এটা দেখাতে হবে যে সহজ যতদিন পাশাপাশি সংরক্ষিত হয়, যেমন । $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

সরলীকৃত

ভেক্টর ট্রিপল পণ্যটি নিযুক্ত করে, আমরা লিখতে পারি এর আদর্শ- যা সহজ ক্র্যাঙ্ক আউট: যেখানে গতিময় এবং সম্ভাব্য পদগুলির মধ্যে স্যুইচ করার জন্য throughout ব্যবহার করা হয়েছিল।

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

উপবৃত্ত কেন?

যেহেতু অনন্তের তুলনায় শক্তি, তাই একটি আবদ্ধ কক্ষপথ পেতে আমাদের দরকার । সুতরাং, পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে, এবং তাই যা ফোকি এবং প্রধান অক্ষ দিয়ে একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা দেয় । $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

চেনাশোনা কেন?

চেনাশোনাটি একটি বিশেষ কেস যেখানে ফোকি একই পয়েন্ট, , যা হিসাবে পুনঃস্থাপন করা যেতে পারে other অন্য কথায়, বৃত্তাকার কক্ষপথকে গতিশীল শক্তির গতিবেগ শক্তির নেতিবাচক হতে হবে। এটি সম্ভব, তবে ঠিক ঠিক ধরে না রাখা প্রায় নিশ্চিত। যেহেতু এর কোনও মান সীমাবদ্ধ কক্ষপথের জন্য অনুমোদিত, তাই উপবৃত্তাকার কক্ষপথ থাকার আরও অনেক উপায় রয়েছে। (যদিও এর মধ্যে কিছু আসলে ক্র্যাশ হবে কারণ তারা এবং গ্রহের ইতিবাচক আকার রয়েছে)) $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

ই = - \frac{1}{2} \frac{মি μ}{R} = - \frac{{পি}^{2}}{2 মি} ।

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

দ্রষ্টব্য যে হাইপারবোলিক কক্ষপথের রয়েছে এবং লক্ষণগুলি সম্পর্কে সতর্ক থাকা সত্ত্বেও আমরা উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে ফোকিটি খুঁজে পেতে পারি। জন্য , দ্বিতীয় ফোকাস undefined কারণ এই একটি অধিবৃত্তসদৃশ কক্ষপথে, এবং parabolas শুধুমাত্র কেন্দ্র থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব মধ্যে এক ফোকাস আছে হয়। $\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

অধিকন্তু, উদ্দীপনা ভেক্টর এলআরএল ভেক্টরের বিকল্প বিকল্প; নাম অনুসারে, এর দৈর্ঘ্যটি অরবিটাল এককেন্দ্রিকতা। $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— স্ট্যান লিউ
সূত্র

8

কোনও গ্রহের জন্য একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ থাকা ভাল, একটি বৃত্ত, সর্বোপরি, একটি উপবৃত্ত যেখানে উভয় ফোকি একই জায়গায় রয়েছে; এটি 0 এর এককেন্দ্রিকতা হিসাবে পরিচিত । অদ্ভুততা নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: যেখানে the অপোপসিস (কক্ষপথের কক্ষপথের দূরতম বিন্দু) ভর কেন্দ্রে) এবং হল পেরিয়াপসিস (নিকটতম দূরত্ব)। এখানে কিছু অন্তর্দৃষ্টি তৈরি করতে, অপোপসিস যদি পেরিয়াপসিসের দ্বিগুণ হয়ে থাকে তবে উদ্দীপনাটি ।

ই = \frac{R_{একটি} - R_{পি}}{R_{একটি} + + R_{পি}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

সৌরজগতের সমস্ত গ্রহ থেকে, শুক্রের 0.007 এর এককেন্দ্রিকতার সাথে সর্বাধিক বৃত্তাকার কক্ষপথ রয়েছে।

সমস্ত কক্ষপথ কেন গোল নয়, এটি গতিশক্তিতে নেমে আসে । গতিবেগ শক্তি গতির বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক। অরবিটাল প্লেনে এবং তারার সম্পর্কে মেরু স্থানাঙ্কে, আমরা এটি পচে যেতে পারি রেডিয়াল বেগ এবং কৌণিক বেগ : সংমিশ্রণে যেহেতু নক্ষত্রটি প্রদক্ষিণ করে কক্ষপথটি বৃত্তাকার হওয়ার জন্য, বৃত্তের রেডিয়াল বেগ অবশ্যই শূন্য হতে হবে। অতিরিক্তভাবে, কৌণিক গতি অবশ্যই এমন হতে হবে যে করোটেটিং ফ্রেমে কেন্দ্রীভূত শক্তিটি মহাকর্ষ বলকে ঠিক ভারসাম্য বজায় রাখে - কিছুটা কম বা আরও কম, ভারসাম্যহীনতাটি বৃত্তাকারকে বিকৃত করে রেডিয়াল বেগকে পরিবর্তন করবে। $\dot{r}$ $\dot{\phi}$

{বনাম}^{2} = {\dot{R}}^{2} + + R^{2} {\dot{φ}}^{2} ।

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$

বিপুল সংখ্যক কারণে বেগ পরিবর্তিত হয় এই বিষয়টি বিবেচনা করে অবাক হওয়ার কিছু নেই যে কেবল কয়েকটি কক্ষপথটি বিজ্ঞপ্তিযুক্ত হয়ে শেষ হয় এবং সত্য কক্ষপথ সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়ে বিবেচনা করে আমরা জানি যে তারা দীর্ঘকাল ধরে এভাবে থাকতে পারে না।

আপনি যদি একটি গাণিতিক প্রমাণ খুঁজছেন, এই লিঙ্কটি এ সম্পর্কে কিছু বিশদ ভাগ করে ।

সৌরজগতের কিছু মৃতদেহের উত্সাহ দেখায় এমন চিত্র এখানে থেকে উত্তোলিত হয়েছে :

কিছু সৌরজগতের সংস্থা এবং তাদের এক্সেনট্রিটিস

— এডুয়ার্ডো সেরা
সূত্র

এটি পুরোপুরি ভুল: "কক্ষপথটি বৃত্তাকার হওয়ার জন্য, গ্রহের গতি অবশ্যই কক্ষপথে থাকার জন্য ন্যূনতম হতে হবে; ... কিছুটা কম এবং এটি যে গ্রহটি প্রদক্ষিণ করছে তার মধ্যেই এটি বিধ্বস্ত হবে।" অনুচ্ছেদটি কি কি প্রদক্ষিণ করে তা নিয়েও বেশ বিভ্রান্ত। স্পষ্টতই, তারা রেডিয়াল গতি হ্রাস করে , তবে এটি আলাদা এবং গতিশক্তি আলোচনার সাথে সংযোগ দেয় না। রেডিয়াল এবং কৌণিক অংশগুলিতে গতিশীল শক্তি বিচ্ছিন্ন করা, কৌণিক গতিবেগ স্থির করে রাখা হলে বিজ্ঞপ্তি কক্ষপথ কার্যকর সম্ভাবনাও হ্রাস করে।

— স্ট্যান লিউ

@ স্ট্যান আপনি কোনও সম্পাদনার প্রস্তাব দিতে পারেন বা নিজের উত্তর দিতে পারেন। কেন আপনি যে বিবৃতিটি ভুল তা নিয়ে বিশদে যেতে পারেন? যদি কোনও উপগ্রহ একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ বর্ণনা করে থাকে এবং আপনি এটি ধীর করে দেন তবে এটি গ্রহে ক্রাশ হবে; আপনি যদি এটির গতি বাড়ান, এটি গঠন এবং উপবৃত্তাকার কক্ষপথ তৈরি হবে।

— এডুয়ার্ডো সের্রা

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

1

@ এডুয়ার্ডো সেরেরা - একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে কোনও বস্তু ধীরে ধীরে কমিয়ে দিন এবং এটি পূর্ববৃত্তাকার কক্ষপথ ব্যাসার্ধের সাথে একটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথে থাকবে যা এখন অ্যাপোফোকাল দূরত্ব।

— ডেভিড হামেন

1

আমি সবসময় এমন উত্তর পছন্দ করি যা কোনও সূত্র এড়াতে চেষ্টা করে এবং পরিবর্তে তর্ক-বিতর্কে জবাব দেয়। কেন সমস্ত কক্ষপথটি বিজ্ঞপ্তিযুক্ত নয় এমন প্রশ্নের অংশ সম্পর্কিত, একটি যুক্তি এই রকম হবে:

একটি স্থির তারা এবং একটি চলমান গ্রহ বিবেচনা করুন। গ্রহটির প্রতিটি অনুপ্রবেশের জন্য, তার আরও চলাচলের জন্য একটি বক্ররেখা অনুমান করা যায়। যদি এই অনুপ্রেরণাটি তারা থেকে গ্রহ পর্যন্ত রেখার ঠিক অরথগোনালকে নির্দেশিত হয় এবং বেগের সঠিক পরিমাণ থাকে তবে গতিবিধির এই বাঁকটি একটি সঠিক বৃত্ত হতে পারে।

তবে এই এক সঠিক অনুপ্রেরণার প্রতিটি বিচ্যুতিগুলির জন্য, ফলস্বরূপ বক্ররেখা একটি বৃত্ত হতে পারে না:

গতি যদি খুব কম হয় তবে গ্রহটি তারার দিকে পড়বে (শূন্যের প্ররোচনার চরম ক্ষেত্রে, এই পতনটি সরলরেখায় থাকবে)।
গতি যদি খুব বেশি হয় তবে গ্রহটি তারা থেকে দূরত্ব অর্জন করবে (একটি স্লিংশোটের মতো)।
যদি আবেগটি তারাটির দিকে রেখার সাথে সরাসরি orthogonal না হয় তবে প্রথম আন্দোলনটি তারা বা তারার দিকে অগ্রসর হবে, সুতরাং আবার বক্রাকারটি একটি বৃত্ত হবে না।

সুতরাং, যে কেউ সহজেই তর্ক করতে পারে, একটি বৃত্ত একটি বাঁক একটি খুব বিশেষ ক্ষেত্রে গ্রহ একটি তারা প্রায় নিতে পারে।

— Alfe
সূত্র

(1) প্রাথমিক orthogonality আর্গুমেন্ট একটি ভাল শুরু। (২) তবে "গতিটি খুব বেশি [নিম্ন / উচ্চ]" বিবেচ্য বিষয়গুলি অযৌক্তিক: কীভাবে কেউ জানতে পারে যে একাধিক গতিতে বৃত্তাকার কক্ষপথ একই দূরত্বের জন্য অনুমোদিত নয়? মহাকর্ষীয় ও কেন্দ্রকেন্দ্রিক বাহিনীকে ভারসাম্য রেখে একাধিক গতির সম্ভাবনার বিরুদ্ধে যুক্তি দেখাতে পারে, তবে তারপরে (1) এবং (2) উভয়ই এডুয়ার্ডো সেরার উত্তরে বর্ণিত হ'ল রূপান্তরিত করে।

— স্টান লিউ

সুতরাং আপনি বোঝাতে চেয়েছেন যে মহাকর্ষীয় শক্তিটি কোনও শক্ত দড়ির মতো হতে পারে এই অর্থে যে গ্রহের উপর একটি বৃত্তাকার পথ ধরে রাখার জন্য যখন আরও বল প্রয়োগ করা প্রয়োজন তখন এটি তারার দিকে গ্রহের উপর আরও বেশি শক্তি প্রয়োগ করবে ? হুম… হ্যাঁ, সাধারণ ব্যক্তির পটভূমির উপর নির্ভর করে এটি এমনটি হতে পারে যা প্রত্যাশা করে। ধারণার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ; এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমি আমার উত্তরটি আরও উন্নত করতে পারি!

— আলফ