গ্রহের পেরিহিলিয়ন প্রেগেসিয়নে ক্ষুদ্র পরিবর্তনশীল শক্তির প্রভাব নির্ধারণ

নিউটোনীয় মহাকর্ষ আইন অনুসারে 2 ডি প্লেনে সূর্যের চারদিকে প্রদক্ষিন করে এমন কোনও গ্রহের অ্যাস্পাইড প্রেসিশন (কড়াভাবে প্রসেসেশন নয় বরং এসপিডের রেখার আবর্তন) এর হারের উপর নির্ভর করে একটি ছোট পরিবর্তনশীল ট্রান্সভার্স ত্বরণের প্রভাব নির্ধারণের জন্য বিশ্লেষণাত্মক কৌশল রয়েছে কি? ?

আমি একটি পুনরাবৃত্তি কম্পিউটার মডেল এ জাতীয় প্রভাব মডেল করেছি এবং এই পরিমাপ যাচাই করতে চাই।

ট্রান্সভার্স ত্বরণ সূত্রটি

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

কোথায়:-

সি আলোর গতি,

কে, 0 এবং +/- 3 এর মধ্যে মাত্রার একটি ধ্রুবক যেমন যে $K/(c^2) << 1$ ।

আর সূর্যের নিউটনীয় মহাকর্ষীয় প্রভাবের কারণে গ্রহের সূর্যের দিকে ত্বরণ, ( $Ar = GM/r^2$ )।

ভি আর সূর্যের তুলনায় গ্রহের বেগের রেডিয়াল উপাদান (+ = সূর্য থেকে দূরে গতি)

ভিটি হ'ল সূর্যের তুলনায় গ্রহের বেগের ট্রান্সভার্স উপাদান (তার অরবিটাল পাথ ধরে গ্রহের ফরোয়ার্ড গতির দিক)। ভেক্টরিয়াল ভিটি = ভি - ভিআর যেখানে ভি গ্রহটি সূর্যের সাথে সম্পর্কিত গ্রহের মোট তাত্ক্ষণিক বেগের ভেক্টর is

ধরুন গ্রহের ভর সূর্যের তুলনায় ছোট

অন্য কোনও সংস্থা সিস্টেমে নেই

সমস্ত গতি এবং ত্বরণ কক্ষপথের দ্বি-মাত্রিক সমতলে সীমাবদ্ধ।

হালনাগাদ

আমার কাছে এটি আকর্ষণীয় হওয়ার কারণটি হ'ল আমার কম্পিউটারের মডেলটিতে কে = +3 এর একটি মান জেনারেল রিলেটিভিটি দ্বারা ভবিষ্যদ্বাণী করা প্রায় 1% এর মধ্যে এবং প্রায় কয়েক শতাংশের মধ্যে খুব অদূরে (নন-নিউটনিয়ান) পেরিয়াপেস রোটেশন রেট মানগুলি উত্পন্ন করে এগুলি জ্যোতির্বিদদের দ্বারা পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে (লে ভেরিয়ার, নিউকম্ব দ্বারা আপডেট করা)।

Http://en.wikedia.org/wiki/Apsidal_precession http:// থেকে জিআর-উত্পন্ন পেরিয়াপ্স রোটেশন (কক্ষপথ প্রতি রেডিয়ান) জন্য সূত্র (আইনস্টাইন, 1915)

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

আপডেট 4

আমি ওয়াল্টারের উত্তর গ্রহণ করেছি। তিনি কেবলমাত্র মূল প্রশ্নের উত্তর দেননি (কোনও কৌশল আছে কি ...?) তবে তার বিশ্লেষণে এমন একটি সূত্রও তৈরি হয়েছে যা কেবল ট্রান্সভার্স ত্বরণ সূত্রের কম্পিউটার সিমুলেটেড প্রভাবগুলিকেই নিশ্চিত করে না (কে = 3 এর জন্য) তবে এটিও (অপ্রত্যাশিতভাবে) আমার কাছে) আইনস্টাইন 1915 সূত্রের সমতুল্য।

ওয়াল্টারের সংক্ষিপ্তসার থেকে (নীচে ওয়াল্টারের উত্তরে): -

: (প্রথম ক্রম পেট্রোথাইজেশন বিশ্লেষণ থেকে) আধা-প্রধান অক্ষ এবং উদ্দীপনা অপরিবর্তিত, তবে পেরিয়াপসের দিকটি কক্ষপথের প্লেনে rate যেখানে কক্ষীয় ফ্রিকোয়েন্সি এবং সঙ্গে অর্ধ-মুখ্য অক্ষ। দ্রষ্টব্য যে ( ) এটি সাধারণ আপেক্ষিকতার (জিআর) রেট (আইনস্টাইন 1915 দ্বারা প্রদত্ত ) সাথে একমত

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
সূত্র

আপনি এখনও উত্তর খুঁজছেন?

— ওয়াল্টার

@Walter। হ্যাঁ আমি. আমি পদার্থবিজ্ঞান.স্ট্যাকেক্সেঞ্জার / প্রশ্ন / 123685/… এ অনুরূপ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি তবে এখনও কোনও শক্ত উত্তর পাওয়া যায় নি।

— স্টিভও

@Walter। আমিও এ জিজ্ঞাসা math.stackexchange.com/questions/866836/... ।

— স্টিভউ

হ্যাঁ, আনুমানিক বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি রয়েছে (পের্ট্রোবিয়েশন তত্ত্ব), এর সীমাতে বৈধ । সম্ভবত আপনি আপনার প্রশ্নটি কিছুটা পরিষ্কার করতে পারেন। ট্রান্সভার্স ত্বরণের দিকটি কী (তাত্ক্ষণিক গতির লম্বকে বোঝার জন্য আমি 'ট্রান্সভার্স' বুঝি তবে ত্বরণটি কক্ষপথ বা লম্ব বা কোনও মিশ্রণের প্লেনে রয়েছে কিনা তা স্পষ্ট নয়)।

K ≪ 1

$K\ll1$

— ওয়াল্টার

আপনার প্রশ্নের এখানে এবং গণিতে (এবং পদার্থবিজ্ঞানের) মধ্যে পার্থক্য রয়েছে: এখানে ট্রান্সভার্স ত্বরণটি রেডিয়াল ত্বরণের সমানুপাতিক এবং একটি মাত্রাবিহীন সংখ্যা, সেখানে রেডিয়াল ত্বরণ ট্রান্সভার্স ত্বরণের উপর কোনও প্রভাব ফেলবে না এবং অবশ্যই একটি হতে হবে ত্বরণ (যদিও আপনি একটি 'সংখ্যা' সম্পর্কে কথা বলেন)।

K

$K$

K

$K$

— ওয়াল্টার

আপনি পার্টটৌথিন তত্ত্বটি ব্যবহার করতে চাইতে পারেন । এটি কেবল আপনাকে আনুমানিক উত্তর দেয় তবে বিশ্লেষণী চিকিত্সার জন্য অনুমতি দেয়। আপনার বাহিনী কেপলিরিয়ান উপবৃত্তাকার কক্ষপথে একটি ক্ষুদ্র কুক্ষিগত হিসাবে বিবেচিত হয় এবং গতির ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি ক্ষমতায় প্রসারিত হয় । রৈখিক পার্টিউটৌথ তত্ত্বের জন্য, কেবলমাত্র মধ্যে লিনিয়ার পদগুলি বজায় রাখা হয়। এটি সহজেই নিরবচ্ছিন্ন মূল কক্ষপথ বরাবর পার্থক্যকে একীভূত করার দিকে পরিচালিত করে। আপনার বাহিনীকে ভেক্টর হিসাবে , সাথে র‌্যাডিয়াল বেগ ( ) এবং $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ বেগের ঘূর্ণন উপাদান পূর্ণ বেগ বিয়োগের রেডিয়াল বেগ)। এখানে উপরের বিন্দুটি একটি সময় ডেরাইভেটিভ এবং একটি টুপি ইউনিট ভেক্টরকে বোঝায়।

এখন, এটি ' প্রভাব ' দিয়ে আপনি কী বোঝাতে চান তা নির্ভর করে । আসুন অরবিটাল সেমিমাজোর অক্ষ , উত্সাহী এবং পেরিয়াপসের দিকের পরিবর্তনগুলি নিয়ে কাজ করি । $a$ $e$

করতে নিম্নলিখিত ফলাফল পাওয়া সংক্ষেপ : আধা প্রধান অক্ষ এবং ছিট অপরিবর্তিত আছে, কিন্তু হারে কক্ষপথের সমতলে periapse rotates দিক যেখানে কক্ষীয় ফ্রিকোয়েন্সি এবং সঙ্গে অর্ধ-মুখ্য অক্ষ। লক্ষ্য করুন (জন্য ) এই সাধারণ আপেক্ষিকতা (জিআর) অয়নচলন হার সঙ্গে সম্মত নির্দেশ মতো (আইনস্টাইন 1915 কর্তৃক প্রদত্ত কিন্তু মূল প্রশ্নে আপনাকে উল্লেখ করেছে নয়)।

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

সেমিমাজোর অক্ষের পরিবর্তন

সম্পর্ক থেকে (সঙ্গে কক্ষীয় শক্তি) আমরা পরিবর্তনের জন্য আছে বহিস্থিত কারণে (নন-কেপ্লেরিয়ান) ত্বরণ ঢোকানো (নোট যে কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর দিয়ে ), আমরা পাই কক্ষপথে গড় যেহেতু কোন ফাংশন জন্য (নীচে দেখুন), । $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

উদ্দীপনা পরিবর্তন

থেকে , আমরা আমরা ইতিমধ্যে জানি যে , সুতরাং কেবল প্রথম পদটি বিবেচনা করা দরকার। সুতরাং, যেখানে আমি পরিচয়টি ব্যবহার করেছি এবং ঘটনা $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ । আবার এবং সুতরাং ।

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

পেরিয়াপসের দিকের পরিবর্তন

ছিট ভেক্টর মাত্রার পয়েন্ট periapse দিক (ভরকেন্দ্র থেকে) রয়েছে , এবং কেপ্লেরিয়ান গতির অধীনে সংরক্ষিত (এগুলি একটি অনুশীলন হিসাবে বৈধ করুন!)। এই সংজ্ঞা থেকে আমরা বাহ্যিক ত্বরণ to এর কারণে আমরা এর তাত্ক্ষণিক পরিবর্তনটি খুঁজে পাই $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ যেখানে আমি পরিচয় ব্যবহার করেছি এবং সত্য । এই অভিব্যক্তির কক্ষপথের গড় নীচে পরিশিষ্টগুলিতে বিবেচনা করা হয়। যদি আমরা শেষ পর্যন্ত সবকিছু একসাথে রাখি তবে আমরা সাথে [ আবার সংশোধন করা হয়েছে ] এটি কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি the সাথে কক্ষপথের প্লেনের পেরিয়াপসের একটি ঘূর্ণন। নির্দিষ্টভাবে

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ previous in আমাদের পূর্ববর্তী সন্ধানের সাথে একমত।

ভুলে যাবেন না যে আমাদের প্রথম-অর্ডার পার্টবৌথিন তত্ত্বের ব্যবহারের কারণে এই ফলাফলগুলি কেবল সীমাতে কঠোরভাবে সত্য । দ্বিতীয়-অর্ডার ব্যাকুলতা তত্ত্ব অবশ্য উভয় এবং / অথবা পরিবর্তন হতে পারে। আপনার সংখ্যাসূচক পরীক্ষায়, আপনি যে কক্ষপথের-গড় পরিবর্তন হবে এবং চেয়ে রৈখিক সঙ্গে ব্যাকুলতা প্রশস্ততা শক্তিশালী আকার পরিবর্তন হয় শূন্য বা । $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

অস্বীকৃতি বীজগণিত সঠিক যে কোন গ্যারান্টি। এটি পরীক্ষা করুন!

পরিশিষ্ট: কক্ষপথের গড়

অভ্যাসগত (তবে ইন্টিগ্রেটেবল) ফাংশন সহ এর কক্ষপথের গড় নির্ধারিত সময়কালের যেকোন ধরণের জন্য সরাসরি গণনা করা যায়। কে , অর্থাৎ এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ হিসাবে ধরা যাক , তবে কক্ষপথের গড় হয়: সঙ্গে কক্ষীয় পর্যায়কালের। $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

প্রয়োজনীয় কক্ষপথের গড়ের জন্য , আমাদের অবশ্যই আরও গভীর খনন করতে হবে। কেপলরিয়ান উপবৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য উদ্দীপনা ভেক্টর এবং with একটি ভেক্টর ঋজু থেকে এবং । এখানে, হ'ল এককেন্দ্রিক বিচ্ছিন্নতা, যা মাধ্যমে গড় বিস্মৃত সাথে সম্পর্কিত that $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ এবং একটি কক্ষপথ গড় average of এর সময় ডেরিভেটিভ (নোট করুন যে অরবিটাল ফ্রিকোয়েন্সি) , আমরা তাত্ক্ষণিক (নিরবিচ্ছিন্ন) কক্ষপথের গতিবেগ যেখানে আমি introduced পরিচয় করিয়ে অক্ষের সাথে বৃত্তাকার কক্ষপথের গতি । এ থেকে আমরা রেডিয়াল বেগ খুঁজে পাই

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ এবং আবর্তনশীল বেগ

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

এগুলি সহ, আমরা [ আবার সংশোধন করেছি ] বিশেষত, দিকের উপাদানগুলি গড় থেকে শূন্য। এইভাবে [ আবার সংশোধন ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— ওয়াল্টার
সূত্র

মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।

— যাতায়াত