সংক্ষিপ্ততম গোলম্ব শাসকদের সন্ধান করুন

Question

গোলম্ব শাসকরা অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার সেট যা সেটে কোনও দুটি জোড়া পূর্ণসংখ্যার সমান দূরত্ব পৃথক নয়।

উদাহরণস্বরূপ, [0, 1, 4, 6]কোনও গোলম্ব শাসক কারণ এই সেটে দুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সমস্ত দূরত্ব অনন্য:

0, 1 -> distance 1
0, 4 -> distance 4
0, 6 -> distance 6
1, 4 -> distance 3
1, 6 -> distance 5
4, 6 -> distance 2

এই চ্যালেঞ্জের সরলতার জন্য (এবং যেহেতু অনুবাদটি তুচ্ছ), আমরা চাপিয়ে দিয়েছি যে কোনও গোলম্ব শাসকের কাছে সর্বদা সংখ্যা থাকে0 (যা পূর্ববর্তী উদাহরণটি করে)।

যেহেতু এই সেটটির দৈর্ঘ্য 4, আমরা বলি যে এটি গোলম রিক্স অফ অর্ডার 4 । এই সেটের বৃহত্তম দূরত্ব (বা উপাদান, যেহেতু 0সর্বদা সেটে থাকে) 6তাই আমরা বলি যে এটি দৈর্ঘ্যের গোলম্ব রুলার 6 ।

তোমার কাজ

এর Golomb শাসকদের খুঁজুন অর্ডার 50 করতে 100(সহ) আছে ছোট হিসাবে লেন্থ হিসাবে আপনি খুঁজে পেতে পারেন। আপনার যে শাসকরা খুঁজে পেয়েছেন তারা সর্বোত্তম হতে হবে না (নীচে দেখুন)।

Optimality

একটি গোলম্ব রুলার অফ অর্ডারকে Nবলা হয় যে যদি অন্য কোনও গোলম্বের আদেশের Nক্ষুদ্রতর দৈর্ঘ্যের শাসক না থাকে তবে তা সর্বোত্তম হতে পারে ।

অনুকূল গোলম্ব শাসকরা ২৮ টিরও কম আদেশের জন্য পরিচিত , যদিও ক্রম বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে সন্ধান করা এবং প্রমাণ করা সর্বোত্তমতা আরও কঠিন এবং শক্ত।

অতএব, আশা করা হয় না যে আপনি 50এবং এর মধ্যে যে কোনও আদেশের জন্য সেরা গোলম্ব শাসককে খুঁজে পেয়েছেন এবং 100(এবং এটির চেয়েও কম প্রত্যাশিত যে আপনি এটিকে অনুকূল প্রমাণ করতে পারেন)।

আপনার প্রোগ্রামটি কার্যকর করার জন্য কোনও সময়সীমা নেই।

বেসলাইন

নিচের তালিকা থেকে Golomb শাসকদের লেন্থ তালিকা 50থেকে 100(অনুক্রমে) একটি সাদাসিধা অনুসন্ধান কৌশলের সঙ্গে মূল্যায়ন (এই তালিকার জন্য @PeterTaylor ধন্যবাদ):

[4850 5122 5242 5297 5750 5997 6373 6800 6924 7459 7546 7788 8219 8502 8729 8941 9881 10199 10586 10897 11288 11613 11875 12033 12930 13393 14046 14533 14900 15165 15687 15971 16618 17354 17931 18844 19070 19630 19669 20721 21947 22525 23290 23563 23880 24595 24767 25630 26036 26254 27218]

এই সমস্ত দৈর্ঘ্যের যোগফল 734078।

স্কোরিং

আপনার স্কোর মধ্যের আপনার সব Golomb শাসকদের লেন্থ এর সমষ্টি হতে হবে 50এবং 100মধ্যে Golomb শাসকদের লেন্থ এর সমষ্টি দ্বারা বিভক্ত 50এবং 100বেসলাইন মধ্যে: 734078।

যদি আপনি কোনও নির্দিষ্ট অর্ডারের জন্য গোলম্ব রুলার খুঁজে না পান তবে আপনি সেই নির্দিষ্ট ক্রমের জন্য বেসলাইনে দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ ব্যবহার করে আপনার স্কোরকে একইভাবে গণনা করতে হবে।

সর্বনিম্ন স্কোর সহ উত্তর জিতল।

টাইয়ের ক্ষেত্রে, দুটি উত্তরের তুলনায় সবচেয়ে বড় ক্রমের দৈর্ঘ্য এবং সংক্ষিপ্ততম একটি জিতে যায়। উভয় উত্তরগুলির ক্ষেত্রে সমস্ত আদেশের জন্য একই দৈর্ঘ্য রয়েছে, তারপরে প্রথম পোস্ট করা উত্তরটি জিতবে।

Comments

সম্পর্কিত। (2D মধ্যে একই চ্যালেঞ্জ।)

— মার্টিন Ender

এবং OEIS এন্ট্রি ।

— মার্টিন এন্ডার

আপনি যখন 50 থেকে 100 এর মধ্যে শাসক বলছেন, তখন আপনার অর্থ কি [50, 100)? সুতরাং অর্ডার 100 রুলার সহ না ? কারণ বেসলাইনটিতে কেবল 50 টি উপাদান রয়েছে।

— orlp

পার্শ্ব দ্রষ্টব্য: গোলম্বের আদেশের ক্ষুদ্রতমতম দৈর্ঘ্য nহ'ল n(n-1)/2যেহেতু সেখানে কতটা ইতিবাচক পার্থক্য রয়েছে। সুতরাং এই চ্যালেঞ্জের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্য স্কোর 147050/734078 > 0.2003193।

— গ্রেগ মার্টিন

@ গ্রেগমার্টিন ধন্যবাদ, যদিও এটি "ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্যতম স্কোর" নয় বরং সেই ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য স্কোরের চেয়ে নিম্নতর বাউন্ড!

— ফ্যাটালাইজ করুন

Answer 1

সি #, 259421/734078 0.3 = 0.3534

পদ্ধতি

জেনারালাইজড সিডন সিটস এর কনস্ট্রাকশনগুলিতে আমি শেষ পর্যন্ত প্রজেক্টিভ ফিল্ড পদ্ধতি (সিঙ্গারের পদ্ধতি) সম্পর্কে আরও কম-বেশি পঠনযোগ্য ব্যাখ্যা পেয়েছি, যদিও আমি এখনও মনে করি এটি কিছুটা উন্নত করা যেতে পারে। আমি যে অন্যান্য কাগজপত্র পড়েছি তার চেয়ে এটি অ্যাফাইন ফিল্ড পদ্ধতির (বোসের পদ্ধতি) এর সাথে আরও সাদৃশ্যপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়েছে।

এটি সসীম ক্ষেত্রগুলির জ্ঞান গ্রহণ করে । কে একটি প্রধান শক্তি হিসাবে বিবেচনা করুন এবং এফ ( কি ) কে আমাদের বেস ক্ষেত্র হতে দিন।$q = p^a$$F(q)$

অ্যাফাইন ক্ষেত্রের পদ্ধতি উপরে কাজ করে । জেনারেটরের নিন ছ 2 এর এফ ( কুই 2 ) এবং নন-জিরো উপাদান ট এর এফ ( কুই ) এবং সেট বিবেচনা { একটি : ছ $F(q^2)$$g_2$$F(q^2)$$k$$F(q)$ এই মানগুলি একটি মডুলার গোলম্ব রুলার মোড কিউ 2 - 1 গঠন করে । মোডুলাসের সাথে কপিরাইটযুক্ত যে কোনও সংখ্যারমাধ্যমে আরও অধিপতিরা মডুলো কিউ 2 - 1 এর গুণক দ্বারা প্রাপ্ত হতে পারেন।

$$\{a : g_2{}^a - k g_2 \in F_q\}$$ $q^2 - 1$$q^2 - 1$

প্রজেটিভ ফিল্ড পদ্ধতি উপরে কাজ করে । জেনারেটরের নিন ছ 3 এর$F(q^3)$$g_3$$F(q^3)$$k$$F(q)$

$$\{0\} \cup \{a : g_3{}^a - k g_3 \in F_q\}$$ $q^2 + q + 1$

লক্ষ্য করুন তাদের মধ্যে এই পদ্ধতি দিতে সব থেকে বহুল পরিচিত মান 16. টমাস Rokicki এবং গিল Dogon, চেয়ে যে দৈর্ঘ্য বৃহত্তর জন্য হয় একটি $ 250 পুরস্কার প্রদানের যারা তাদের লেন্থ জন্য beats 36 40000. সুতরাং এমন যে কেউ এই উত্তর beats একটি আর্থিক জন্য রয়েছে কেউ জন্য পুরস্কার।

কোড

সি # খুব বুদ্ধিমানের নয়, তবে মনো এর পুরাতন সংস্করণটি সংকলন করা আমার এটির দরকার। এছাড়াও, যুক্তি যাচাই করা সত্ত্বেও, এটি উত্পাদন মানের কোড নয়। আমি ধরণের সাথে সন্তুষ্ট নই, তবে আমি মনে করি না যে সি # তে এর কোনও ভাল সমাধান আছে। উন্মাদ টেম্প্লেটিং সহ এফ # বা সি ++ এ থাকতে পারে।

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace Sandbox {
    class Program {
        static void Main(string[] args) {
            var winners = ComputeRulerRange(50, 100);
            int total = 0;
            for (int i = 50; i <= 100; i++) {
                Console.WriteLine("{0}:\t{1}", i, winners[i][i - 1]);
                total += winners[i][i - 1];
            }
            Console.WriteLine("\t{0}", total);
        }

        static IDictionary<int, int[]> ComputeRulerRange(int min, int max) {
            var best = new Dictionary<int, int[]>();

            var naive = Naive(max);
            for (int i = min; i <= max; i++) best[i] = naive.Take(i).ToArray();

            var finiteFields = FiniteFields(max * 11 / 10).OrderBy(x => x.Size).ToArray();

            // The projective plane method generates rulers of length p^a + 1 for prime powers p^a.
            // We can then look at subrulers for a reasonable range, say down to two prime powers below.
            for (int ppi = 0; ppi < finiteFields.Length; ppi++) {
                // Range under consideration
                var field = finiteFields[ppi];
                int q = field.Size;
                int subFrom = Math.Max(min, ppi >= 2 ? finiteFields[ppi - 2].Size : 1);
                int subTo = Math.Min(max, q + 1);
                if (subTo < subFrom) continue;

                int m = q * q + q + 1;
                foreach (var ruler in ProjectiveRulers(field)) {
                    for (int sub = subFrom; sub <= subTo; sub++) {
                        var subruler = BestSubruler(ruler, sub, m);
                        if (subruler[sub - 1] < best[sub][sub - 1]) best[sub] = subruler;
                    }
                }
            }

            // Similarly for the affine plane method, which generates rulers of length p^a for prime powers p^a
            for (int ppi = 0; ppi < finiteFields.Length; ppi++) {
                // Range under consideration
                var field = finiteFields[ppi];
                int q = field.Size;
                int subFrom = Math.Max(min, ppi >= 2 ? finiteFields[ppi - 2].Size : 1);
                int subTo = Math.Min(max, q);
                if (subTo < subFrom) continue;

                int m = q * q - 1;
                foreach (var ruler in AffineRulers(field)) {
                    for (int sub = subFrom; sub <= subTo; sub++) {
                        var subruler = BestSubruler(ruler, sub, m);
                        if (subruler[sub - 1] < best[sub][sub - 1]) best[sub] = subruler;
                    }
                }
            }

            return best;
        }

        static int[] BestSubruler(int[] ruler, int sub, int m) {
            int[] expand = new int[ruler.Length + sub - 1];
            for (int i = 0; i < ruler.Length; i++) expand[i] = ruler[i];
            for (int i = 0; i < sub - 1; i++) expand[ruler.Length + i] = ruler[i] + m;

            int best = m, bestIdx = -1;
            for (int i = 0; i < ruler.Length; i++) {
                if (expand[i + sub - 1] - expand[i] < best) {
                    best = expand[i + sub - 1] - expand[i];
                    bestIdx = i;
                }
            }

            return expand.Skip(bestIdx).Take(sub).Select(x => x - ruler[bestIdx]).ToArray();
        }

        static IEnumerable<int[]> ProjectiveRulers(FiniteField field) {
            var q = field.Size;
            var fq3 = PowerField.Create(field, 3);
            var m = q * q + q + 1;
            var g = fq3.Generators.First();

            // Define the set T<k> = {0} \union {a \in [q^3-1] : g^a - kg \in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // This could alternatively be T<k> = {0} \union {log_g(b - kg) : b in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // Then T<k> % (q^2 + q + 1) gives a Golomb ruler.
            // For a given generator we seem to get the same ruler for every k.
            var t_k = new HashSet<int>();
            t_k.Add(0);
            var ga = fq3.One;
            for (int a = 1; a < fq3.Size; a++) {
                ga = ga * g;
                if (fq3.Convert(ga + g) < q) t_k.Add(a % m);
            }

            // TODO: optimise by detecting duplicates
            for (int s = 1; s < m; s++) {
                if (Gcd(s, m) == 1) yield return t_k.Select(x => x * s % m).OrderBy(x => x).ToArray();
            }
        }

        static IEnumerable<int[]> AffineRulers(FiniteField field) {
            var q = field.Size;
            var fq2 = PowerField.Create(field, 2);
            var m = q * q - 1;
            var g = fq2.Generators.First();

            // Define the set T<k> = {0} \union {a \in [q^2-1] : g^a - kg \in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // Then T<k> % (q^2 - 1) gives a Golomb ruler.
            var t_k = new HashSet<int>();
            var ga = fq2.One;
            for (int a = 1; a < fq2.Size; a++) {
                ga = ga * g;
                if (fq2.Convert(ga + g) < q) t_k.Add(a % m);
            }

            // TODO: optimise by detecting duplicates
            for (int s = 1; s < m; s++) {
                if (Gcd(s, m) == 1) yield return t_k.Select(x => x * s % m).OrderBy(x => x).ToArray();
            }
        }

        static int Gcd(int a, int b) {
            while (a != 0) {
                var t = b % a;
                b = a;
                a = t;
            }

            return b;
        }

        static int[] Naive(int size) {
            if (size == 0) return new int[0];
            if (size == 1) return new int[] { 0 };

            int[] ruler = new int[size];
            var diffs = new HashSet<int>();
            int i = 1, c = 1;
            while (true) {
                bool valid = true;
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (diffs.Contains(c - ruler[j])) { valid = false; break; }
                }

                if (valid) {
                    for (int j = 0; j < i; j++) diffs.Add(c - ruler[j]);
                    ruler[i++] = c;
                    if (i == size) return ruler;
                }

                c++;
            }
        }

        static IEnumerable<FiniteField> FiniteFields(int max) {
            bool[] isComposite = new bool[max + 1];
            for (int p = 2; p < isComposite.Length; p++) {
                if (!isComposite[p]) {
                     FiniteField baseField = new PrimeField(p); yield return baseField;
                    for (int pp = p * p, pow = 2; pp < max; pp *= p, pow++) yield return PowerField.Create(baseField, pow);
                    for (int pq = p * p; pq <= max; pq += p) isComposite[pq] = true;
                }
            }
        }
    }

    public abstract class FiniteField {
        private Lazy<FiniteFieldElement> _Zero;
        private Lazy<FiniteFieldElement> _One;

        public FiniteFieldElement Zero { get { return _Zero.Value; } }
        public FiniteFieldElement One { get { return _One.Value; } }
        public IEnumerable<FiniteFieldElement> Generators {
            get {
                for (int _g = 1; _g < Size; _g++) {
                    int pow = 0;
                    FiniteFieldElement g = Convert(_g), gpow = One;
                    while (true) {
                        pow++;
                        gpow = gpow * g;
                        if (gpow == One) break;
                        if (pow > Size) {
                            throw new Exception("Is this really a field? " + this);
                        }
                    }
                    if (pow == Size - 1) yield return g;
                }
            }
        }

        public abstract int Size { get; }
        internal abstract FiniteFieldElement Convert(int i);
        internal abstract int Convert(FiniteFieldElement f);

        internal abstract bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);
        internal abstract FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a);
        internal abstract FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);
        internal abstract FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);

        protected FiniteField() {
            _Zero = new Lazy<FiniteFieldElement>(() => Convert(0));
            _One = new Lazy<FiniteFieldElement>(() => Convert(1));
        }
    }

    public abstract class FiniteFieldElement {
        internal abstract FiniteField Field { get; }

        public static FiniteFieldElement operator -(FiniteFieldElement a) {
            return a.Field.Negate(a);
        }

        public static FiniteFieldElement operator +(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Add(a, b);
        }

        public static FiniteFieldElement operator *(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Mul(a, b);
        }

        public static bool operator ==(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (Equals(a, null)) return Equals(b, null);
            else if (Equals(b, null)) return false;

            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Eq(a, b);
        }

        public static bool operator !=(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) { return !(a == b); }

        public override bool Equals(object obj) {
            return (obj is FiniteFieldElement) && (obj as FiniteFieldElement).Field == Field && this == (obj as FiniteFieldElement);
        }

        public override int GetHashCode() { return Field.Convert(this).GetHashCode(); }

        public override string ToString() { return Field.Convert(this).ToString(); }
    }

    public class PrimeField : FiniteField {
        private readonly int _Prime;
        private readonly PrimeFieldElement[] _Featherweight;

        internal int Prime { get { return _Prime; } }
        public override int Size { get { return _Prime; } }

        public PrimeField(int prime) {
            if (prime < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("prime");

            // TODO A primality test would be nice...

            _Prime = prime;
            _Featherweight = new PrimeFieldElement[Math.Min(prime, 256)];
        }

        internal override FiniteFieldElement Convert(int i) {
            if (i < 0 || i >= _Prime) throw new ArgumentOutOfRangeException("i");
            if (i >= _Featherweight.Length) return new PrimeFieldElement(this, i);
            if (Equals(_Featherweight[i], null)) _Featherweight[i] = new PrimeFieldElement(this, i);
            return _Featherweight[i];
        }

        internal override int Convert(FiniteFieldElement f) {
            if (f == null) throw new ArgumentNullException("f");
            if (f.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("f");

            return (f as PrimeFieldElement).Value;
        }

        internal override bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return (a as PrimeFieldElement).Value == (b as PrimeFieldElement).Value;
        }

        internal override FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            var fa = a as PrimeFieldElement;
            return fa.Value == 0 ? fa : Convert(_Prime - fa.Value);
        }

        internal override FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return Convert(((a as PrimeFieldElement).Value + (b as PrimeFieldElement).Value) % _Prime);
        }

        internal override FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return Convert(((a as PrimeFieldElement).Value * (b as PrimeFieldElement).Value) % _Prime);
        }

        public override string ToString() { return string.Format("F({0})", _Prime); }
    }

    internal class PrimeFieldElement : FiniteFieldElement {
        private readonly PrimeField _Field;
        private readonly int _Value;

        internal override FiniteField Field { get { return _Field; } }
        internal int Value { get { return _Value; } }

        internal PrimeFieldElement(PrimeField field, int val) {
            if (field == null) throw new ArgumentNullException("field");
            if (val < 0 || val >= field.Prime) throw new ArgumentOutOfRangeException("val");

            _Field = field;
            _Value = val;
        }
    }

    public class PowerField : FiniteField {
        private readonly FiniteField _BaseField;
        private readonly FiniteFieldElement[] _Polynomial;

        internal FiniteField BaseField { get { return _BaseField; } }
        internal int Power { get { return _Polynomial.Length; } }
        public override int Size { get { return (int)Math.Pow(_BaseField.Size, Power); } }

        public PowerField(FiniteField baseField, FiniteFieldElement[] polynomial) {
            if (baseField == null) throw new ArgumentNullException("baseField");
            if (polynomial == null) throw new ArgumentNullException("polynomial");
            if (polynomial.Length < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("polynomial");
            for (int i = 0; i < polynomial.Length; i++) if (polynomial[i].Field != baseField) throw new ArgumentOutOfRangeException("polynomial[" + i + "]");

            // TODO Check that the polynomial is irreducible over the base field.

            _BaseField = baseField;
            _Polynomial = polynomial.ToArray();
        }

        internal override FiniteFieldElement Convert(int i) {
            if (i < 0 || i >= Size) throw new ArgumentOutOfRangeException("i");

            var vec = new FiniteFieldElement[Power];
            for (int j = 0; j < vec.Length; j++) {
                vec[j] = BaseField.Convert(i % BaseField.Size);
                i /= BaseField.Size;
            }

            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        internal override int Convert(FiniteFieldElement f) {
            if (f == null) throw new ArgumentNullException("f");
            if (f.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("f");

            var pf = f as PowerFieldElement;
            int i = 0;
            for (int j = Power - 1; j >= 0; j--) i = i * BaseField.Size + BaseField.Convert(pf.Value[j]);
            return i;
        }

        internal override bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;
            for (int i = 0; i < Power; i++) if (fa.Value[i] != fb.Value[i]) return false;
            return true;
        }

        internal override FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            return new PowerFieldElement(this, (a as PowerFieldElement).Value.Select(x => -x).ToArray());
        }

        internal override FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;
            var vec = new FiniteFieldElement[Power];
            for (int i = 0; i < Power; i++) vec[i] = fa.Value[i] + fb.Value[i];
            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        internal override FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;

            // We consider fa and fb as polynomials of a variable x and multiply modulo (x^Power - _Polynomial).
            // But to keep things simple we want to manage the cascading modulo.
            var vec = Enumerable.Repeat(BaseField.Zero, Power).ToArray();
            var fa_xi = fa.Value.ToArray();
            for (int i = 0; i < Power; i++) {
                for (int j = 0; j < Power; j++) vec[j] += fb.Value[i] * fa_xi[j];
                if (i < Power - 1) ShiftLeft(fa_xi);
            }

            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        private void ShiftLeft(FiniteFieldElement[] vec) {
            FiniteFieldElement head = vec[vec.Length - 1];
            for (int i = vec.Length - 1; i > 0; i--) vec[i] = vec[i - 1] + head * _Polynomial[i];
            vec[0] = head * _Polynomial[0];
        }

        public static FiniteField Create(FiniteField baseField, int power) {
            if (baseField == null) throw new ArgumentNullException("baseField");
            if (power < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("power");

            // Since the field is cyclic, there is only one finite field of a given prime power order (up to isomorphism).
            // For most practical purposes that means that we can pick any arbitrary monic irreducible polynomial.
            // We can abuse PowerField to do polynomial multiplication in the base field.
            var fakeField = new PowerField(baseField, Enumerable.Repeat(baseField.Zero, power).ToArray());
            var excluded = new HashSet<FiniteFieldElement>();
            for (int lpow = 1; lpow <= power / 2; lpow++) {
                int upow = power - lpow;
                // Consider all products of a monic polynomial of order lpow with a monic polynomial of order upow.
                int xl = (int)Math.Pow(baseField.Size, lpow);
                int xu = (int)Math.Pow(baseField.Size, upow);
                for (int i = xl; i < 2 * xl; i++) {
                    var pi = fakeField.Convert(i);
                    for (int j = xu; j < 2 * xu; j++) {
                        var pj = fakeField.Convert(j);
                        excluded.Add(-(pi * pj));
                    }
                }
            }

            for (int p = baseField.Size; true; p++) {
                var pp = fakeField.Convert(p) as PowerFieldElement;
                if (!excluded.Contains(pp)) return new PowerField(baseField, pp.Value.ToArray());
            }
        }

        public override string ToString() {
            var sb = new System.Text.StringBuilder();
            sb.AppendFormat("GF({0}) with primitive polynomial x^{1} ", Size, Power);
            for (int i = Power - 1; i >= 0; i--) sb.AppendFormat("+ {0}x^{1}", _Polynomial[i], i);
            sb.AppendFormat(" over base field ");
            sb.Append(_BaseField);
            return sb.ToString();
        }
    }

    internal class PowerFieldElement : FiniteFieldElement {
        private readonly PowerField _Field;
        private readonly FiniteFieldElement[] _Vector; // The version of Mono I have doesn't include IReadOnlyList<T>

        internal override FiniteField Field { get { return _Field; } }
        internal FiniteFieldElement[] Value { get { return _Vector; } }

        internal PowerFieldElement(PowerField field, params FiniteFieldElement[] vector) {
            if (field == null) throw new ArgumentNullException("field");
            if (vector == null) throw new ArgumentNullException("vector");
            if (vector.Length != field.Power) throw new ArgumentOutOfRangeException("vector");
            for (int i = 0; i < vector.Length; i++) if (vector[i].Field != field.BaseField) throw new ArgumentOutOfRangeException("vector[" + i + "]");

            _Field = field;
            _Vector = vector.ToArray();
        }
    }
}

ফলাফল

দুর্ভাগ্যক্রমে শাসকদের যুক্ত করা আমাকে পোস্টের আকারের সীমা পেরিয়ে প্রায় 15 ক্যারেক্টার নিতে পারে, তাই তারা পেস্টবিনে রয়েছে ।

Comments

আপনি কি আপনার শাসকদের [50, 100] কোথাও পোস্ট করার জন্য এত দয়াবান হবেন? আমার একটি জেনেটিক অ্যালগরিদম আছে যা আমি চেষ্টা করতে চাই এবং এটিকে কিছু বীজ মান খাওয়াই।

— orlp

@orlp, একটি লিঙ্ক যুক্ত করেছেন।

— পিটার টেলর

আমার সন্দেহ হিসাবে, বিবর্তনীয় অ্যালগরিদম এই সর্বোত্তম নমুনার বাইরে ব্যবহারের কিছুই বের করতে পারে না। যদিও প্রাথমিকভাবে মনে হয়েছিল যে বিবর্তনীয় অ্যালগরিদমগুলি কাজ করতে পারে (এটি অবিলম্বে অবৈধ শাসক থেকে প্রকৃত শাসকদের দিকে চলে যায়), বিবর্তনীয় অ্যালগরিদমকে কাজ করার জন্য খুব বেশি বিশ্বব্যাপী কাঠামো প্রয়োজন।

— orlp

Answer 2

পাইথন 3, স্কোর 603001/734078 = 0.82144

নির্দোষ অনুসন্ধান এরড – তুরান নির্মাণের সাথে মিলিত:

$$2pk + (k^2\bmod p),\, k \in [0, p-1]$$

বিজোড় প্রাইমগুলির জন্য পি এটি একটি অ্যাসিম্পটোটিকভাবে অনুকূল গোলম্ব রুলার দেয়।

def isprime(n):
    if n < 2: return False
    if n % 2 == 0: return n == 2
    k = 3
    while k*k <= n:
         if n % k == 0: return False
         k += 2
    return True

rulers = []
ruler = []
d = set()
n = 0
while len(ruler) <= 100:
    order = len(ruler) + 1
    if order > 2 and isprime(order):
        ruler = [2*order*k + k*k%order for k in range(order)]
        d = {a-b for a in ruler for b in ruler if a > b}
        n = max(ruler) + 1
        rulers.append(tuple(ruler))
        continue

    nd = set(n-e for e in ruler)
    if not d & nd:
        ruler.append(n)
        d |= nd
        rulers.append(tuple(ruler))
    n += 1


isuniq = lambda l: len(l) == len(set(l))
isruler = lambda l: isuniq([a-b for a in l for b in l if a > b])

assert all(isruler(r) for r in rulers)

rulers = list(sorted([r for r in rulers if 50 <= len(r) <= 100], key=len))
print(sum(max(r) for r in rulers))

Comments

আমি মনে করি না যে এই নির্মাণটি asympototically অনুকূল হয়: এটি একটি গোলম্ব রুলার অর্ডার pএবং দৈর্ঘ্যের ফলন দেয় 2p^2, যদিও সেখানে গোলম্বের শৃঙ্খলা রক্ষাকারী বাহিনী রয়েছে এবং অ্যাসিপোটোটিকভাবে nদৈর্ঘ্য রয়েছে n^2।

— গ্রেগ মার্টিন

@ গ্রেগমার্টিন অ্যাসেম্পোটোটিকালি 2p^2এবং এর মধ্যে কোনও পার্থক্য নেই p^2।

— orlp

আপনার ধারণা "asyptotically" এর উপর নির্ভর করে, আমার ধারণা, তবে আমার কাছে, এই প্রসঙ্গে তারা খুব আলাদা।

— গ্রেগ মার্টিন

Answer 3

গণিত, স্কোর 276235/734078 <0.376302

ruzsa[p_, i_] := Module[{g = PrimitiveRoot[p]},
  Table[ChineseRemainder[{t, i PowerMod[g, t, p]}, {p - 1, p}], {t, 1, p - 1}] ]

reducedResidues[m_] := Select[Range@m, CoprimeQ[m, #] &]

rotate[set_, m_] := Mod[set - #, m] & /@ set

scaledRuzsa[p_] := Union @@ Table[ Sort@Mod[a b, p (p - 1)],
  {a, reducedResidues[p (p - 1)]}, {b, rotate[ruzsa[p, 1], p (p - 1)]}]

manyRuzsaSets = Join @@ Table[scaledRuzsa[Prime[n]], {n, 32}];

tryGolomb[set_, k_] := If[Length[set] < k, Nothing, Take[set, k]]

Table[First@MinimalBy[tryGolomb[#, k] & /@ manyRuzsaSets, Max], {k, 50, 100}]

ফাংশনটি ইমরো জেড রুজায়ruzsa পাওয়া গোলোবাম রুলার (যাকে সিডন সেটও বলা হয়) তৈরির কাজ কার্যকর করে । একটি পূর্ণসংখ্যার সেটগুলিতে একটি লিনিয়ার সমীকরণ সমাধান করা। আই। অ্যাক্টা অ্যারিথ।, 65 (3): 259–282, 1993 । কোন প্রাইম দেওয়া হয়েছেp , এই নির্মাণটি একটি গোলম্ব শাসককে p-1পূর্ণসংখ্যার মডুলোতে অন্তর্ভুক্ত উপাদানগুলির সাথে ফল দেয় p(p-1)(এটি তাদের পূর্ণসংখ্যার মধ্যে গোলম্ব শাসক হওয়ার চেয়ে আরও শক্তিশালী শর্ত)।

পূর্ণসংখ্যার মডুলোতে কাজ করার আরেকটি সুবিধা mহ'ল যে কোনও গোলম্ব রুলারকে ঘোরানো যেতে পারে (সমস্ত উপাদানগুলির মডিউলগুলিতে একই ধ্রুবক যুক্ত করা হয় m), এবং ছোট করে দেওয়া (সমস্ত উপাদান একই ধ্রুবক দ্বারা গুণিত হয়, যতক্ষণ না ধ্রুবকটি তুলনামূলকভাবে প্রধান হয় m), এবং ফলাফল এখনও একটি গোলম্ব শাসক; কখনও কখনও বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যার এটি করে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেয়েছে। সুতরাং ফাংশনscaledRuzsa এই সমস্ত স্কেলিংয়ের চেষ্টা করে এবং ফলাফলগুলি রেকর্ড করে। manyRuzsaSetsপ্রথমটি 32 টি প্রাইমকে এই নির্মাণ এবং স্কেলিংয়ের ফলাফল রয়েছে (কিছুটা নির্বিচারে বেছে নেওয়া হয়েছে, তবে 32 তম প্রাইম, 131, 100 এর চেয়ে বেশ বড়); এই সেটে প্রায় 57,000 গোলম্ব রুলার রয়েছে, যারা গণনা করতে বেশ কয়েক মিনিট সময় নেয়।

অবশ্যই, kগলম্বের শাসকের প্রথম উপাদানগুলি নিজেরাই গোলম্ব শাসক গঠন করে। সুতরাং ফাংশন tryGolombউপরের গণনা করা কোনও সেট থেকে তৈরি এমন কোনও শাসককে দেখায়। সর্বশেষ লাইনটি Table...প্রতিটি অর্ডার থেকে, সেরা গোলম্ব রুলারটিকে চয়ন করে50 করতে 100, সমস্ত Golomb শাসকদের থেকে এই ভাবে পাওয়া যায় নি।

প্রাপ্ত দৈর্ঘ্যগুলি হ'ল:

{2241, 2325, 2399, 2578, 2640, 2762, 2833, 2961, 3071, 3151, 3194, 3480, 3533, 3612, 3775, 3917, 4038, 4150, 4237, 4368, 4481, 4563, 4729, 4974, 5111, 5155, 5297, 5504, 5583, 5707, 5839, 6077, 6229, 6480, 6611, 6672, 6913, 6946, 7025, 7694, 7757, 7812, 7969, 8139, 8346, 8407, 8678, 8693, 9028, 9215, 9336}

আমি মূলত এটিকে আরও দুটি নির্মাণের সাথে একত্রিত করতে যাচ্ছিলাম, সিঙ্গার এবং বোসের; তবে মনে হচ্ছে পিটার টেলরের উত্তর ইতিমধ্যে এটি প্রয়োগ করেছে, সম্ভবত আমি কেবল সেই দৈর্ঘ্যগুলি সেরে ফেলব।

Comments

আপনার দাবির দ্বারা আমি বিভ্রান্ত হয়েছি যে পূর্ণসংখ্যার মডুলোতে কাজ করে mআপনি অবাধে ঘোরান / স্কেল করতে পারেন। এ লুক [0, 1, 4, 6]গেলিক ভাষার 7. যদি আমি যোগ 1 আমরা পেতে [0, 1, 2, 5]যা, না একটি Golomb শাসক।

— orlp

এর কারণ এটি কাজ করার জন্য আপনাকে একটি মডেল -7 গলম্ব রুলার দিয়ে শুরু করতে হবে। [0, 1, 4, 6]মডেল -7 গোলম্ব রুলার নয় কারণ উদাহরণস্বরূপ মডুলোর 7 এর 1 – 0সমান 0 – 6।

— গ্রেগ মার্টিন

আমি যখন সি # তে আমার সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র বাস্তবায়নটি লিখছিলাম এবং ডিবাগ করছিলাম তখন আমার ইচ্ছা ছিল আমি ম্যাথামেটিকাকে আরও ভাল জানতাম। কাজের জন্য অবশ্যই সঠিক ভাষাগুলির একটি।

— পিটার টেলর