ফার্মের ফ্যাক্টেরাইজেশন সহায়ক

Question

আমরা একটি সেমিপ্রাইম গুণিত করতে চাই । এই চ্যালেঞ্জের লক্ষ্যটি হ'ল দুটি ছোট পূর্ণসংখ্যার এবং যে তুচ্ছভাবে করা যায়, এভাবে সহজেই এর উপাদানগুলি করতে দেয় ।ইউ ভি ইউ ভি এন $N$$u$$v$$uvN$$N$

কাজটি

একটি সেমিপ্রাইম $N$ এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার $k$ , আমরা $x$ এবং $y$ হিসাবে সংজ্ঞা দিই :

y=x2-কে

$$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$$ $$y=x^2-kN$$

পদক্ষেপ # 1 - কে খুঁজুন$k$

আপনাকে প্রথমে কে এর সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্য মান খুঁজে বার করতে হবে $k$যেমন $y$ একটি বর্গ সংখ্যা ( ওরফে নিখুঁত বর্গ)।

এটি ফার্মের ফ্যাক্টরিজেশন পদ্ধতির$kN$ একক পুনরাবৃত্তির সাথে কেএনকে ফ্যাক্টরাইজ করতে দেয় । আরও দৃ concrete়ভাবে, এটি অবিলম্বে বাড়ে:

$$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$$

(আপডেট: এই ক্রমটি এখন A316780 হিসাবে প্রকাশিত হয়েছে )

পদক্ষেপ # 2 - ফ্যাক্টরিজ $k$

এর পরে আপনি দুই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে $u$ এবং $v$ যেমন যে:

c u = x +

$$uv=k$$ dv=x- $$cu=x+\sqrt{y}$$ $$dv=x-\sqrt{y}$$

যেখানে $c$ এবং ডি এন এর$d$ প্রধান কারণ ।$N$

সারসংক্ষেপ

আপনার টাস্কটি এমন একটি প্রোগ্রাম বা ফাংশন লিখতে হবে যা $N$ ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং কোনও অর্ডার এবং কোনও যুক্তিসঙ্গত বিন্যাসে $u$ এবং ভি প্রিন্ট করে অথবা আউটপুট দেয় $v$।

উদাহরণ

আসুন এন = 199163 বিবেচনা করুন$N = 199163$

ধাপ 1

ক্ষুদ্রতম সম্ভব মান $k$ হয় $40$ যা দেয়:

y=28232-40×199163=7969329-7966520=2809=532কেএন=(2823+53)×(2823-53)কেএন=2876×

$$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$$ $$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$$ $$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$$ $$kN = 2876 \times 2770$$

ধাপ ২

সঠিক গুণকনির্ণয় $k$ হয় $k = 4 \times 10$ কারণ:

$$kN = 2876 \times 2770$$ $$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$$ $$N = 719 \times 277$$

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হয় বা ।$[ 4, 10 ]$$[ 10, 4 ]$

বিধি

• উপরে বর্ণিত দুটি পদক্ষেপ কঠোরভাবে প্রয়োগ করার প্রয়োজন নেই। আপনি যে কোনও পদ্ধতি অবলম্বন করতে পারবেন, যতক্ষণ না এটি এবং এর সঠিক মান খুঁজে পায় ।$u$$v$
• আপনার ভাষাতে স্বাক্ষরবিহীন পূর্ণসংখ্যার স্থানীয় সর্বাধিক আকার পর্যন্ত আপনাকে অবশ্যই সমস্ত মানকে সমর্থন করতে হবে ।$uvN$
• ইনপুটটি সেমিপ্রাইম হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত।
• এটি কোড-গল্ফ, তাই বাইটের মধ্যে সংক্ষিপ্ত উত্তর ins
• স্ট্যান্ডার্ড লুফোলগুলি নিষিদ্ধ।

পরীক্ষার মামলা

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

উদাহরণ বাস্তবায়ন

নীচের স্নিপেটে, ফাংশনটি একটি নিখরচায় বাস্তবায়ন যা কে ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং এবং ।$f$$N$$u$$v$

কেবল উদাহরণস্বরূপ উদ্দেশ্যে, স্নিপেটে ফাংশন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা , এবং কে ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং এর গুণকগুলি গণনা করে ।$g$$N$$u$$v$$N$$O(1)$

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Comments

আমরা কি গ্যারান্টিযুক্ত যে ইনপুটটি Nআসলে অর্ধপরিম হবে?

— গ্রেগ মার্টিন

@ গ্রেগমার্টিন হ্যাঁ আপনি আছেন।

— আর্নৌল্ড

Answer 1

গণিত, 81 79 বাইট

2 বাইট সংরক্ষণের জন্য মার্টিন ইন্ডারকে ধন্যবাদ!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

খাঁটি ফাংশন ইনপুট হিসাবে একটি সেমিপ্রাইম গ্রহণ এবং ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার একটি অর্ডারযুক্ত জোড় ফেরত। Forলুপ কার্যকরী যথাযথ পদ্ধতিটি প্রশ্নে বর্ণিত (ব্যবহার #স্থানে ইনপুট জন্য nসঙ্গে), xসেখানে সংজ্ঞায়িত, যদিও আমরা সঞ্চয় j = k*nপরিবর্তে kনিজেই এবং z=Sqrt[y]পরিবর্তে yনিজেই। আমরা লুপটির p={x+z,x-z}অভ্যন্তরেও গণনা করি Forযা একটি বাইট সংরক্ষণ করে শেষ হয় (সপ্তম চেষ্টাটির মতো)। তারপর দুই আকাঙ্ক্ষিত কারণ (x+z)/GCD[#,x+z]এবং (x-z)/GCD[#,x-z]যা সংক্ষিপ্ত অভিব্যক্তি p/#~GCD~pএকটি আদেশ জুড়ি হিসাবে সরাসরি নির্ণয় করে।

কৌতূহল: আমরা zপূর্ণসংখ্যার অবধি লুপ করতে চাই ; কিন্তু আমরা ব্যবহার করতে যাচ্ছেন যেহেতু Ceilingকোডে ইতিমধ্যে এটিকে দুটি বাইট ওভার সংরক্ষণ !IntegerQ@zসংজ্ঞায়িত করতে c=Ceiling(যা চার বাইট খরচ, যেমন ম্যাথামেটিকাল গলফার জানেন) এবং তারপর পরীক্ষা কিনা c@z>z। আমাদের zকোনও কিছুর সূচনা করতে হবে এবং লুপটি শুরু করতে পারে তার জন্য কোনও পূর্ণসংখ্যা না হওয়া ভাল ছিল; ভাগ্যক্রমে, Eএকটি সংক্ষিপ্ত পছন্দ।

Answer 2

জাভাস্ক্রিপ্ট (ES7), 86 81 বাইট

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

সম্পাদনা করুন: @ আরনল্ডকে ধন্যবাদ 4 টি বাইট সংরক্ষণ করা হয়েছে

Answer 3

পাইথন 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 বাইট

-1 বাইট ধন্যবাদ নীল এবং -3 বাইটকে ওভিএসকে ধন্যবাদ

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

অনলাইনে চেষ্টা করে দেখুন!

curiosities:

p.5লুপ শর্তটি প্রথম পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে সত্য হয়ে উঠতে পারে তাই এটির সূচনা করা হয় । মনে রাখবেন যে এটি প্রতিটি এবং পৃথকভাবে সঞ্চয় করার চেয়ে স্টোর করা p(যেমন x+ sqrt(y)) খাটো ।xy

Comments

x*xএর বদলে x**2?

— নীল

@ নীল হ্যাঁ, অবশ্যই ধন্যবাদ

— গণিত জাঙ্কি

Answer 4

অ্যাক্সিয়াম, 131 115 বাইট

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

প্রশ্নটি সমাধান করবে এমন ফাংশনটি হল উপরের (এন)। ungolf এবং পরীক্ষা

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any