গ্রুপটি কি চক্র?

Question

ভূমিকা

যদি আপনি ইতিমধ্যে চক্রীয় গোষ্ঠী কী তা জানেন তবে আপনি এই অংশটি এড়িয়ে যেতে পারেন।

একদল সেট এবং একটি মিশুক বাইনারি অপারেশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় $(যে (a $ b) $ c = a $ (b $ c)। সেখানে দলের ঠিক একটি উপাদান বিদ্যমান eযেখানে a $ e = a = e $ aসবার জন্য aগ্রুপ (ইন পরিচয় ।) প্রতিটি উপাদান জন্য aদলের অস্তিত্ব আছে ঠিক একটি bযেমন যে a $ b = e = b $ a( বিপরীত ) a, bগ্রুপে প্রতিটি দুটি উপাদানের জন্য , a $ bগ্রুপে রয়েছে ( বন্ধ )।

আমরা a^nজায়গায় লিখতে পারেন a$a$a$...$a।

আবর্তনশীল কোনো উপাদান দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠী aগ্রুপ রয়েছে <a> = {e, a, a^2, a^3, a^4, ..., a^(n-1)}যেখানে nউপগোষ্ঠী ক্রম (SIZE) হয় (যদি না উপগোষ্ঠী অসীম যায়)।

একটি গোষ্ঠীটি চক্রযুক্ত হয় যদি এটির একটি উপাদান দ্বারা তৈরি করা যায়।

চ্যালেঞ্জ

সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর জন্য কেলে টেবিল (পণ্য সারণী) দেওয়া, এটি চক্রীয় কিনা তা নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ

আসুন নীচের কেলে টেবিলটি একবার দেখুন:

1 2 3 4 5 6
2 3 1 6 4 5
3 1 2 5 6 4
4 5 6 1 2 3
5 6 4 3 1 2
6 4 5 2 3 1

(এটি ডিহেড্রাল গ্রুপ 3, ডি_3 এর কেলে টেবিল)।

এটি 1-সূচকযুক্ত, সুতরাং আমরা যদি এর সন্ধান করতে চাই 5 $ 3, আমরা তৃতীয় সারির পঞ্চম কলামে লক্ষ্য করি (নোট করুন যে অপারেটরটি অগত্যা পরিবর্তনীয় নয়, তাই 5 $ 3সমানও নয়) 3 $ 5আমরা এখানে এটি দেখতে পাই 5 $ 3 = 6(এটিও যে 3 $ 5 = 4)।

আমরা <3>শুরু করে খুঁজে পেতে পারি [3]এবং তারপরে তালিকাটি অনন্য হয়ে গেলে শেষ উপাদানটির উত্পাদক এবং জেনারেটর (3) যুক্ত করুন। আমরা পেতে [3, 3 $ 3 = 2, 2 $ 3 = 1, 1 $ 3 = 3]। আমরা এখানে সাবগ্রুপ নিয়ে থামি {3, 2, 1}।

আপনি গনা <1>মাধ্যমে <6>আপনি দেখতে পাবেন গ্রুপের মৌলসমূহের যে কেউ সমগ্র দলের উৎপন্ন। সুতরাং, এই গ্রুপটি চক্রীয় নয়।

পরীক্ষার মামলা

ইনপুটকে ম্যাট্রিক্স হিসাবে দেওয়া হবে, সত্যবাদী / মিথ্যা সিদ্ধান্তের মান হিসাবে আউটপুট।

[[1,2,3,4,5,6],[2,3,1,6,4,5],[3,1,2,5,6,4],[4,5,6,1,2,3],[5,6,4,3,1,2],[6,4,5,2,3,1]] -> False (D_3)
[[1]] -> True ({e})
[[1,2,3,4],[2,3,4,1],[3,4,1,2],[4,1,2,3]] -> True ({1, i, -1, -i})
[[3,2,4,1],[2,4,1,3],[4,1,3,2],[1,3,2,4]] -> True ({-1, i, -i, 1})
[[1,2],[2,1]] -> True ({e, a} with a^-1=a)
[[1,2,3,4,5,6,7,8],[2,3,4,1,6,7,8,5],[3,4,1,2,7,8,5,6],[4,1,2,3,8,5,6,7],[5,8,7,6,1,4,3,2],[6,5,8,7,2,1,4,3],[7,6,5,8,3,2,1,4],[8,7,6,5,4,3,2,1]] -> False (D_4)
[[1,2,3,4,5,6],[2,1,4,3,6,5],[3,4,5,6,1,2],[4,3,6,5,2,1],[5,‌​6,1,2,3,4],[6,5,2,1,‌​4,3]] -> True (product of cyclic subgroups of order 2 and 3, thanks to Zgarb)
[[1,2,3,4],[2,1,4,3],[3,4,1,2],[4,3,1,2]] -> False (Abelian but not cyclic; thanks to xnor)

আপনাকে গ্যারান্টি দেওয়া হবে যে ইনপুটটি সর্বদা একটি গোষ্ঠী।

আপনি ইনপুট 0-সূচকযুক্ত মান হিসাবে নিতে পারেন।

Comments

0-ইনডেক্সড ইনপুট অনুমোদিত? (যেমন [[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]])?

— নিল

@ নীল হ্যাঁ; আমি নির্দিষ্ট করতে ভুলে গেছি। ধন্যবাদ!

— হাইপারনিউটারিনো

পরীক্ষার ক্ষেত্রে আপনার গ্রুপ উপাদানগুলির লেবেলগুলি আরও বেশি করে দেওয়া উচিত। এখনই টেবিলের প্রথম সারি এবং কলামটি সর্বদা থাকে [1..n]যা কিছু উত্তরে ত্রুটিগুলি লুকিয়ে থাকতে পারে।

— লিন

দেখে মনে হচ্ছে এই গ্রুপটি পরীক্ষার কেসগুলি পাস করার জন্য যথেষ্ট পরিমাণে অ্যাবেলিয়ান রয়েছে কিনা। Z_2 * Z_2 এর মতো পরীক্ষার কেসগুলি এটি ঠিক করবে।

— xnor

@ হাইপারনিউট্রিনো: এটি দ্বি-উপাদান গ্রুপের সরাসরি পণ্য - এটি ক্লিন ফোর-গ্রুপ নামেও পরিচিত ।

— হেনিং মাখোলম

Answer 1

জে , 8 বাইট

1:e.#@C.

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

ব্যাখ্যা

1:e.#@C.  Input: matrix M
      C.  Convert each row from a permutation to a list of cycles
    #@    Number of cycles in each row
1:        Constant function 1
  e.      Is 1 a member of the cycle lengths?

Comments

এটি আরও বেশি হতে পারে1 e.#@C.

— ও'ব্রায়েন

হু, জে জেলিকে মারধর করে

— অ্যাডাম

@ অ্যাডাম জেলির প্রত্যক্ষ এবং চক্র চিহ্নিতকরণের মধ্যে ক্রম রূপান্তর করার জন্য কোনও অন্তর্নির্মিতা নেই। আমি পরে এগুলিকে পরমাণু হিসাবে যুক্ত করতে পেরেছিলাম, ŒCL€1eজেলিতে 6 বাইট তৈরি করে।

— মাইল

Answer 2

হুশ , 11 10 9 বাইট

VS≡`ȯU¡!1

1-ভিত্তিক। অন্যথায় 0 জেনারেটরের উপস্থিত থাকলে সূচী ফেরত দেয়। এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

ব্যাখ্যা

V          Does any row r of the input satisfy this:
      ¡!    If you iterate indexing into r
   `    1   starting with 1
    ȯU      until a repetition is encountered,
 S≡         the result has the same length as r.

Answer 3

জেলি , 13 11 বাইট

ị"⁸$ÐĿ«/E€Ẹ

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

Answer 4

জাভাস্ক্রিপ্ট (ES6), 52 বাইট

a=>a.some(b=>!a[new Set(a.map(_=>r=b[r],r=0)).size])

Answer 5

পাইথন 2 , 96 91 97 বাইট

lambda x:any(g(r,r[i],i+1)==len(r)for i,r in enumerate(x))
g=lambda x,y,z:y==z or 1+g(x,x[y-1],z)

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

Comments

or 1+g-> or-~g।

— জোনাথন ফ্রেচ

Answer 6

জেলি , 15 বাইট

JŒ!ị@€µṂ⁼Jṙ'’$$

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

প্রথম নিরীহ ধারণা যা মনে এলো: জেড _এন থেকে আইসোমরফিজম পরীক্ষা করুন । (এই কোডটি ও (এন!)…)

JŒ!ị@€             Generate all ways to denote this group.
                     (by indexing into every permutation of 1…n)
      µṂ⁼          Is the smallest one equal to this?
         Jṙ'’$$      [[1 2 …  n ]
                      [2 3 …  1 ]    (the group table for Z_n)
                      [… … …  … ]
                      [n 1 … n-1]]

Comments

হুঁ এটি একটি আকর্ষণীয় পদ্ধতির; কখনই ভাবিনি! +1

— হাইপারনিউটারিনো

Answer 7

আর , 101 97 বাইট

function(m)any(sapply(1:(n=nrow(m)),function(x)all(1:n%in%Reduce(`[`,rep(list(m[x,]),n),x,T,T))))

সমস্ত পরীক্ষার কেস যাচাই করুন

এটি কেবলমাত্র <g>প্রতিটিটির জন্য গণনা করে g \in Gএবং তারপরে পরীক্ষা করে যদি G \subseteq <g>তা হয় তবে সেগুলির কোনওটি সত্য কিনা তা পরীক্ষা করে। তবে, যেহেতু আমরা সর্বদা $gডানদিকে প্রয়োগ করি, তাই আমরা প্রয়োগের ফলাফলের সাথে সেই সারিটিতে প্রতিলিপি তৈরি করি m[g,]( gতম সারিতে) এবং তারপরে প্রতিবার $gব্যবহারের পরিবর্তে ফলাফল সংগ্রহ করি m[g,g$g], যা প্রায় 4 বাইট সংরক্ষণ করে।

Answer 8

ক্লোজার, 68 বাইট

#(seq(for[l % :when(apply distinct?(take(count l)(iterate l 0)))]l))

Answer 9

পাইথন 2 , 82 বাইট

lambda A:len(A)in[len(set(reduce(lambda a,c:a+[A[a[-1]][n]],A,[n])))for n in A[0]]

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

0-ইনডেক্সেড কেলে টেবিলটি ইনপুট; চক্র / নন-সাইক্লিক গোষ্ঠীর জন্য সত্য / মিথ্যা আউটপুট।