(A → B) → (¬B → ¬A)

ঠিক আছে, আমি মনে করি এটি প্রায় সময় আমাদের কাছে আরও একটি প্রমাণ-গল্ফ প্রশ্ন আছে।

এবার আমরা সুপরিচিত যৌক্তিক সত্য প্রমাণ করতে যাচ্ছি

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

এটি করার জন্য আমরা ইউকাসিউইকজের তৃতীয় অ্যাক্সিয়ম স্কিমা ব্যবহার করব , তিনটি অক্ষের একটি অবিশ্বাস্যভাবে মার্জিত সেট যা প্রজেকশনাল লজিকের সম্পূর্ণ ।

এটা যেভাবে কাজ করে:

axioms

ইউকাসিউইচিজ সিস্টেমে তিনটি অক্ষরেখা রয়েছে। তারা হ'ল:

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

উপপাদ্য ব্যবহার নির্বিশেষে আমরা কি জন্য চয়ন সার্বজনীন সত্য হয় $\phi$ , $\psi$ এবং $\chi$ । প্রুফের যে কোনও বিন্দুতে আমরা এই স্বতন্ত্রগুলির একটির পরিচয় দিতে পারি। আমরা যখন একটি সবর্জনবিদিত পরিচয় করিয়ে তোমরা প্রত্যেকে যদি প্রতিস্থাপন $\phi$ , $\psi$ এবং $\chi$ একটি "জটিল অভিব্যক্তি" সঙ্গে। একটি জটিল প্রকাশ হ'ল অণু থেকে তৈরি কোনও অভিব্যক্তি, ( $A$ - $Z$ অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় ), এবং অপারেটররা বোঝায় ( $\rightarrow$ ) এবং ( $\neg$ ) নয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি প্রথম অক্ষর (এলএস 1) উপস্থাপন করতে চাই তবে আমি পরিচয় করিয়ে দিতে পারি

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

অথবা

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

প্রথম ক্ষেত্রে $\phi$ ছিল $A$ এবং $\psi$ ছিল $B$ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে উভয় ছিল আরো জড়িত এক্সপ্রেশন। $\phi$ ছিল $(A\rightarrow A)$ এবং $\psi$ ছিল $\neg D$ ।

আপনি কোন বিকল্পগুলি ব্যবহার করতে চান তা এই মুহুর্তে প্রমাণে আপনার প্রয়োজনীয়তার উপর নির্ভরশীল।

মোডাস পোনেন্স

এখন যেহেতু আমরা বিবৃতিগুলি পরিচয় করিয়ে দিতে পারি সেগুলি নতুন বিবৃতি দেওয়ার জন্য তাদের একসাথে সম্পর্কিত করা দরকার। Łুকাসিউইকিজের এক্সিয়ম স্কিমা (এলএস) এ যেভাবে এটি করা হয় তা হল মোডাস পোনেন্স। মোডাস পোনেন্স আমাদের ফর্মের দুটি বিবৃতি নিতে অনুমতি দেয়

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

এবং একটি নতুন বিবৃতি তাত্ক্ষণিক

$\psi$

ঠিক তেমনই আমাদের অ্যাক্সিমস-এর সাথে $\phi$ এবং $\psi$ যে কোনও স্বেচ্ছাচারী বক্তব্যের পক্ষে দাঁড়াতে পারে।

দুটি বিবৃতি প্রুফের যে কোনও জায়গায় থাকতে পারে, তাদের একে অপরের পাশে বা কোনও বিশেষ ক্রমের পাশে থাকতে হবে না।

কার্য

আপনার কাজটি প্রতিষেধকদের আইন প্রমাণ করা হবে । এটি বিবৃতি

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

এখন আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে এটি বরং পরিচিত, এটি আমাদের তৃতীয় অক্ষের বিপরীত একটি ইনস্ট্যান্টেশন

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

তবে এটি কোনও তুচ্ছ ঘটনা নয়।

স্কোরিং

এই চ্যালেঞ্জটির জন্য স্কোর করা বেশ সহজ, প্রতিবার যখন আপনি একটি অক্ষ হিসাবে গণনা করা প্রতিটি সময় এবং মোডাস পোনেসের প্রতিটি ব্যবহারকে পয়েন্ট হিসাবে গণনা করে। এটি আপনার প্রমাণের মূলত লাইন সংখ্যা। লক্ষ্যটি আপনার স্কোরকে হ্রাস করতে হবে (এটি যতটা সম্ভব কম করা)।

প্রমাণ প্রমাণ

ঠিক আছে এখন এটি একটি ছোট প্রমাণ তৈরি করতে ব্যবহার করুন। আমরা $A\rightarrow A$ প্রমাণ করব ।

কখনও কখনও পিছনের দিকে কাজ করা ভাল কারণ আমরা জানি আমরা কোথায় থাকতে চাই আমরা কীভাবে সেখানে পৌঁছতে পারি তা বুঝতে পারি। এই ক্ষেত্রে যেহেতু আমরা $A\rightarrow A$ দিয়ে শেষ করতে চাই এবং এটি আমাদের স্বীকৃতিগুলির মধ্যে একটি নয় আমরা জানি যে শেষ ধাপটি অবশ্যই মোডাস পোনেন্স হতে হবে। এইভাবে আমাদের প্রমাণের শেষে দেখতে হবে

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

TeX

কোথায় $\phi$ একটি অভিব্যক্তি আমরা এখনো এর মান জানি না। এখন আমরা $\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$ ফোকাস করব । এটি মোডাস পোনেন্স বা এলএস 3 দ্বারা প্রবর্তন করা যেতে পারে। এলএস 3 আমাদের $(\neg A\rightarrow\neg A)$ প্রমাণ করার দরকার যা $(A\rightarrow A)$ মতো শক্ত বলে মনে হয় , তাই আমরা মোডাস পোনেসের সাথে যাব। সুতরাং এখন আমাদের প্রমাণ মত মনে হচ্ছে

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

TeX

এখন $\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$ দেখতে অনেকটা আমাদের দ্বিতীয় অ্যাক্সিয়ম এলএস 2 এর মতো দেখাচ্ছে সুতরাং আমরা এটিকে এলএস 2 হিসাবে পূরণ করব

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

এখন আমাদের দ্বিতীয় বিবৃতি $(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$ বেশ স্পষ্টভাবে এলএস 1 থেকে তৈরি করা যেতে পারে সুতরাং আমরা এটি পূরণ করব

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

এখন আমরা শুধু একটি বের করতে হবে $\chi$ যেমন আমরা প্রমাণ করিতে পারেন যে $A\rightarrow\chi$ । এটি খুব সহজেই এলএস 1 দিয়ে করা যায় তাই আমরা এটি চেষ্টা করব

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

এখন যেহেতু আমাদের সমস্ত পদক্ষেপ আমাদের ন্যায়সঙ্গত আমরা $\omega$ পূরণ করতে পারি , যে কোনও বিবৃতি আমরা চাই এবং প্রমাণটি বৈধ হবে। আমরা চয়ন করতে পারেন $A$ কিন্তু আমি বেছে নেবেন $B$ যাতে এটা স্পষ্ট যে এটা হতে প্রয়োজন নেই $A$ ।

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

এবং এটি একটি প্রমাণ।

সম্পদ

যাচাইকরণের প্রোগ্রাম

আপনার প্রমাণটি সত্যই বৈধ কিনা তা যাচাই করতে আপনি এখানে একটি প্রোলোগ প্রোগ্রামটি ব্যবহার করতে পারেন। প্রতিটি পদক্ষেপ তার নিজস্ব লাইনে স্থাপন করা উচিত। ->বোঝার জন্য ব্যবহার করা উচিত এবং এটির জন্য ব্যবহার করা -উচিত নয়, পরমাণুগুলি বর্ণানুক্রমিক অক্ষরের যে কোনও স্ট্রিং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে।

Metamath

মেটামথ প্রোকোজেনাল ক্যালকুলাসে তার প্রমাণগুলির জন্য asukasiewicz সিস্টেমটি ব্যবহার করে, তাই আপনি সেখানে কিছুটা আড্ডা দিতে চাইতে পারেন। এই চ্যালেঞ্জটি এখানে যা পাওয়া যাবে তার জন্য এই উপপাদ্যের একটি প্রমাণও তাদের কাছে রয়েছে । কীভাবে প্রমাণগুলি পড়তে হয় তার একটি ব্যাখ্যা এখানে রয়েছে।

অবিশ্বাস্য প্রুফ মেশিন

@ অ্যান্টনি আমাকে অবিশ্বাস্য প্রুফ মেশিন নামে একটি সরঞ্জাম সম্পর্কে সচেতন করেছে যা আপনাকে একটি দুর্দান্ত গ্রাফিকাল প্রুফ সিস্টেম ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি সিস্টেমে প্রমাণ তৈরি করতে দেয় allows আপনি যদি নীচে স্ক্রোল করেন তবে তারা দেখতে পাবেন তারা ইউকাসিউইকিজ সিস্টেমকে সমর্থন করে। সুতরাং আপনি যদি আরও ভিজ্যুয়াল ওরিয়েন্টেড ব্যক্তি হন তবে আপনি সেখানে নিজের প্রমাণের জন্য কাজ করতে পারেন। আপনার স্কোরটি ব্যবহারকারীর বিয়োগ 1 টি ব্যবহৃত ব্লকের সংখ্যা হবে।

logic proof-golf

— গম উইজার্ড
সূত্র

ধরুন, আমাকে আমার বিচ্ছিন্ন ম্যাথ নোটবুকটি আনতে দাও ...

— mbomb007

@ ডিজিটাল ট্রামুমা আমি এখন একজন আন্ডারগ্রাড এবং এটি আমার গৃহকর্মের কাজ ছিল (গল্ফের অংশটি বিয়োগ), সুতরাং এটি সম্ভবত সম্ভব যে আপনি এটি অধ্যয়ন করেছেন। আপনার "দক্ষতার" অভাব থাকলেও আমি আপনাকে এটি করার জন্য উত্সাহিত করি, আমি মনে করি যে এই চ্যালেঞ্জটি এমন লোকদের কাছেও পৌঁছানো যায় যা বেশিরভাগ প্রোগ্রামিংয়ে ব্যাকগ্রাউন্ডে রয়েছে।

— গম উইজার্ড

@ mbomb007 আপনি ছাড়ের উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে পারবেন না এবং ইউকাসিউইচিজ সিস্টেমটি সম্পূর্ণ হওয়ার কারণে আপনার এটি ব্যবহার করার দরকার নেই।

— গম উইজার্ড 16

আচ্ছা, কমপক্ষে আপনি ((P → Q) → R) → ((R → P) → (S → P))

— অক্ষগুলি

অবিশ্বাস্য প্রুফ মেশিনটি সমস্ত ড্র্যাগ এবং ড্রপ এবং ইউকাসিউইকসকে সমর্থন করে। প্রায় নীচে স্ক্রোল করুন এবং "হিলবার্ট সিস্টেম" সন্ধান করুন। উদাহরণস্বরূপ, এখানে @ @55656 প্রমাণটি দেওয়া হয়েছে যে এ → এ

— অ্যান্টনি

উত্তর:

88 82 77 72 পদক্ষেপ

এইচ.পি.উইজকে 10 টি পদক্ষেপ সংরক্ষণ করা আরও ভাল সংযুক্তকারী রূপান্তরগুলির জন্য ধন্যবাদ!

ব্যাখ্যা

আপনি কারি – হাওয়ার্ডের চিঠিপত্রের সাথে পরিচিত হতে পারেন , যেখানে উপপাদ্যগুলি প্রকারের সাথে প্রমাণিত হয় এবং প্রমাণগুলি সেই ধরণের প্রোগ্রামগুলির সাথে মিলে যায়। ইউকাসিউইচজ সিস্টেমের প্রথম দুটি অক্ষর হ'ল প্রকৃতপক্ষে কে এবং এস সংমিশ্রণকারী এবং এটি সুপরিচিত যে আমরা লাম্বদা ক্যালকুলাস এক্সপ্রেশনগুলি এস কে সংযুক্তিযুক্ত এক্সপ্রেশনগুলিতে অনুবাদ করতে পারি ।

সুতরাং আসুন আমাদের অ্যাক্সিমগুলির সাথে সম্পর্কিত কিছু অভিব্যক্তি লিখে রাখি (নীচে বৈধ হাস্কেল সিনট্যাক্সটি রয়েছে যা সুবিধাজনক কারণ আমরা হাস্কেল সংকলক ব্যবহার করে আমাদের প্রমাণগুলি আক্ষরিক অর্থে পরীক্ষা করতে পারি):

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

তারপরে আমরা একটি প্রোগ্রাম হিসাবে কাঙ্ক্ষিত বক্তব্যটির একটি প্রমাণ লিখতে পারি c(এই অংশটি কিছুটা চৌকসত্ব নেয়, তবে এটি 72২-লাইনের অজিওমেটিক প্রমাণের চেয়ে অনেক সহজ):

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

এবং এটিকে এসকে সংযুক্ত অভিব্যক্তিতে রূপান্তর করুন:

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

17 k, 16 s, এবং 4 c16 LS1, 16 LS2 মিলা উপরে combinators এবং নীচে প্রমাণ 4 LS3 আমন্ত্রণ, এবং নীচে 38 এমপি আমন্ত্রণ মিলা উপরে একটি মান একটি ফাংশন 38 অ্যাপ্লিকেশন।

কেন কেবল 16 এলএস 1 আমন্ত্রণ? এটি kউপরে সংযুক্তকারীগুলির মধ্যে একটিতে ফ্রি টাইপের ভেরিয়েবল রয়েছে এবং এটি সাবধানে ইনস্টল করে এটিকে ইতিমধ্যে উত্পন্ন অন্য একটির সদৃশ হিসাবে রূপান্তরিত করে।

প্রমাণ

(A → B) → (¬¬A → (A → B)) এলএস 1
¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A) এলএস 1
(¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B)) এলএস 3
((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) → (¬¬A → ((¬¬ (A → B)) → ¬¬A) → (¬ এ → ¬ (এ → বি))) এলএস 1
¬¬এ → ((¬¬ (এ → বি) → ¬¬A) → (¬এ → ¬ (এ → বি))) এমপি 4,3
(¬¬A → ((¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → (¬A → ¬ (এ → বি)))) → ((¬¬A → (A (এ → বি)) ¬ ¬এ)) → (¬¬A → (¬A → ¬ (এ → বি)))) এলএস 2
(¬¬এ → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → ¬ (এ → বি))) এমপি 6,5
¬¬এ → (¬এ → ¬ (এ → বি)) এমপি 7,2
(¬এ → ¬ (এ → বি)) → ((এ → বি) → এ) এলএস 3
((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) → (¬¬A → ((¬AA → → (A → B))) → ((A → B) → A ))) এলএস 1
¬¬এ → ((¬এ → ¬ (এ → বি)) → ((এ → বি) → এ)) এমপি 10,9
(¬¬এ → ((¬এ → ¬ (এ → বি))) → ((এএ বি) → এ)) → ((¬¬A → (¬এ → ¬ (এ → বি)))) → ( ¬¬এ → ((এ → বি) → এ)) এলএস 2
(¬¬এ → (¬এ → ¬ (এ → বি))) → (¬¬এ → ((এ → বি) → এ)) এমপি 12,11
¬¬এ → ((এ → বি) → এ) এমপি 13,8
(¬¬এ → ((এ → বি) → এ)) → ((¬¬A → (এ → বি)) → (¬¬A → এ)) এলএস 2
(¬¬এ → (এ → বি)) → (¬¬A → এ) এমপি 15,14
(¬¬এ → (এ → বি)) → ((¬¬A → এ) → (¬¬A → বি)) এলএস 2
((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → এ) → (¬¬A → বি))) → (((¬¬AA → (এ → বি))) → (¬¬AA → এ)) → ((¬¬A → (এ → বি)) → (¬¬A → বি))) এলএস 2
((¬¬এ → (এ → বি)) → (¬¬A → এ)) → ((¬¬A → (এ → বি)) → (¬¬A → বি)) এমপি 18,17
(¬¬এ → (এ → বি)) → (¬¬A → বি) এমপি 19,16
((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) ) এলএস 1
(A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) এমপি 21,20
((A → B) → ((¬¬AA → (A → B)) → (¬¬A → B)) → ((A (B) B)) → (¬¬A → (A → B)) → ((এ → বি) → (¬¬A → বি)) এলএস 2
((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → (¬¬A → B)) এমপি 23,22
(এ → বি) → (¬¬A → বি) এমপি 24,1
(¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B)) এলএস 1
((¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B)) ))) এলএস 1
(A → B) → ((¬¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) এমপি 27,26
((এ → বি) → ((¬¬এ → বি) → (¬বি → (¬¬এ → বি)))) → ((এ (বি) বি)) → (¬¬এ → বি)) → (( এ → বি) → (¬B → (¬¬A → বি))) এলএস 2
((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) এমপি 29,28
(এ → বি) → (¬B → (¬¬A → বি)) এমপি 30,25
¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) এলএস 1
(¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A)) ) এলএস 3
((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (বি → ¬ (এএএ → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬এ)) ))) → (¬B → ((¬¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ) → বি) → ¬¬এ)))) এলএস 1
¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) ¬B) → (বি → B (→এ ¬¬ (¬¬ (এ → বি)) ¬ )এ)))) এমপি 34,33
(¬B → ((¬¬ (¬¬A → (→ (A A B) → ¬¬A)) → ¬B) ¬ (বি → → (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬B)) → (¬B → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) এলএস 2
(¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B)) → (¬B → (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ) → বি) → ¬¬এ)))) এমপি 36,35
¬বি → (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি) → )এ)))) এমপি ৩,,৩২
(বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A)) → (¬¬A → (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি)) → ক))) এলএস 1
((বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A)) → (¬¬A → (বি → ¬ (¬এ → (¬¬ (এ → বি)) ¬ ¬এ))))) → (¬B → ((বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬এ)))) → (¬¬A → (বি → ¬ (¬¬এ)) এ → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ))))) এলএস 1
¬বি → ((বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ)))) → (¬¬এ → (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি) ) → ¬¬A))))) এমপি 40,39
(¬বি → ((বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A)))) → (এএএ → (বি → ¬ (¬¬এ → (→ (এ →) খ) → ¬¬A))))) → ((¬B → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬এ)))) → (¬B → (¬ ¬এ → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি) → )এ)))))) এলএস 2
(¬বি → (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ)))) → (¬বি → (¬¬এ →) (বি → ¬ (¬¬এ → (¬এ))) ¬ (এ → বি) → ¬¬এ)))) এমপি 42,41
¬বি → (¬¬এ → (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬A)))) এমপি 43,38
(¬¬এ → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬এ)))) → ((¬¬A → বি) → (¬¬A → ¬ (¬¬AA → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) এলএস 2
((¬¬A → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬এ)))) → ((¬¬A → বি) → (¬¬এ → ¬ (¬¬এ A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ((¬¬A → (বি → ¬ ¬ (¬¬এ → (A (এ → বি)) → ক)))) → ((¬¬A → বি) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬এ))))) এলএস 1
¬B → ((¬¬A → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A))) → ((¬¬A → বি) → (¬¬A → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ))))) এমপি 46,45
(→B → ((¬¬A → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → বি) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬A →) (বি → ¬ (¬¬এ → (¬¬ (এ →) খ) → ¬¬A)))) → (¬B → ((¬¬A → বি)) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A)) )))) এলএস 2
(¬B → (¬¬A → (বি → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ((¬¬A → বি)) → ( ¬¬এ → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ))))) এমপি 48,47
¬B → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) এমপি 49,44
(¬B → ((¬¬A → B)) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬বি)) এ → বি)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ))))) এলএস 2
(¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → )A))))) এমপি 51,50
((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((এ → বি) → ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) ) এলএস 1
(A → B) → ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) )) এমপি 53,52
((A → B) → ((¬B → (¬¬A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (→ (A → B) → ¬¬A))) )))) → (((এ (বি) বি)) → (¬বি → (¬¬এ → বি))) → ((এ → বি) → (¬ বি → (¬¬এ → ¬ (¬¬এ ¬¬) ( ¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ))))) এলএস 2
((A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A ¬¬ (¬¬ (A A B)) ) → ¬¬A))))) এমপি 55,54
(A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) এমপি 56,31
(→A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ)))) → (¬ ¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) এলএস 1
(→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → )A)) এমপি 58,2
(→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬A → (¬¬ (এ → বি) → ¬¬এ))) → ¬A ) এলএস 3
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬এ)) ¬ ক)) → (((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (এ → বি)) → ¬¬A ))) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A)) এলএস 2
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ( (→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) ¬ )A) এমপি 61,60
(→A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) →এ এমপি 62,59
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ¬A) → (¬B → ((¬¬AA → ¬ (¬¬A → (¬এ)) ¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬A)) এলএস 1
¬বি → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) এমপি 64,63
(¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A)) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬এ ¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬B → ¬A)) এলএস 2
(¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ¬A) এমপি 66,65
((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ( (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A))) এলএস 1
(A → B) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ¬A)) এমপি 68, 67
((A → B) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A ¬¬ (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ¬A)) → (((এ → বি)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (এ A বি)) → ¬¬A)))) → ((এ A বি) → (¬ বি → ¬এ))) এলএস 2
((A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) এমপি 70,69
(এ → বি) → (¬B → ¬A) এমপি 71,57

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

— অ্যান্ডারস ক্যাসরগ
সূত্র

বাহ, এটা আশ্চর্যজনক।

— জাকারি

এটি পদক্ষেপে ছোট কিনা তা আমি বলতে পারি না এবং এখনই যেতে হবে। তবে আমি পেয়েছি s(s(k s)(s(k(s(k c)))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))))k যা আপনার মতো তবে কিছুটা সংক্ষিপ্ত সমাপ্তি

— এইচ.পি.উইজ

@ এইচ.পি.উইজ ঝরঝরে, যা আসলে কিছুটা আলাদা প্রুফ প্রোগ্রামের সাথে মিলে যায়। আপডেট করা হয়েছে।

— অ্যান্ডারস ক্যাসরগ

কীভাবে s(k(s(k(s c(k s)))))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))?

— এইচ.পি.উইজ

@ এইচপিউইজ এটি ফ্রি টাইপের ভেরিয়েবল ট্রিকের সাথে অন্য −5 এর জন্যও ভাল।

— অ্যান্ডারস কাসের্গ

91 টি পদক্ষেপ

পূর্ণ প্রমাণ:

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

5 টি লেমাস ব্যবহার করে আরও একটি মানব-পঠনযোগ্য সংস্করণ:

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

— পুণ লেবি
সূত্র

সাইটে স্বাগতম এবং চিত্তাকর্ষক উত্তর! আপনি প্রোলগ স্ক্রিপ্ট দিয়ে আপনার উত্তর যাচাই করেছেন? যদি তাই হয়, আপনি যাচাইকরণের লিঙ্ক সহ কিছু মনে করবেন?

— এয়ারড কোইনারিংহিংহিং

@Cairdcoinheringaahing আমি উত্তরে প্রোলগ স্ক্রিপ্টে একটি টিও লিঙ্ক যুক্ত করেছি যাতে এটি যাচাই করা যায় (এটি কাজ করে)। সাধারণত আমি লিঙ্কটি মন্তব্য করতাম তবে লিঙ্কটি কোনও মন্তব্যে ফিট করার জন্য খুব দীর্ঘ।

— গম উইজার্ড

এটিই মূলত প্রমাণ যে আমি তৈরির প্রক্রিয়ায় ছিলাম আপনি ব্যতীত বিভিন্ন লেমাস ব্যবহার করেছেন। আমি পরিচয়ের মূলনীতিটি ব্যবহার করেছি। এছাড়াও, আমি এখনও ডাবল নেগেশন নির্মূলকরণ প্রমাণ করতে পারি নি, কারণ এর প্রমাণটি আমি প্রয়োজনীয় বৈপরীত্য উপলব্ধি তৈরি করছিলাম।

— mbomb007

আপনি খুঁজে থিম 5 কেটে পরিবর্তে প্রমাণ এবং উপকল্পন উপপাদ্য ব্যবহার থেকে তথ্য পেতে করতে সক্ষম হবে (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)থেকে (A → B) → (¬B → ¬A)কম পদক্ষেপে?

— mbomb007

আমি মনে করি প্রথম পদক্ষেপটি কি অপ্রয়োজনীয়? আমি এটি উল্লেখ করার মতো কিছু খুঁজে পাইনি তাই আমি এই লাইনটি ছাড়াই টিআইওতে চালানোর চেষ্টা করেছি এবং কোনও "অবৈধ পদক্ষেপ" সতর্কতা পেলাম না।

— অ্যান্টনি

59 পদক্ষেপ

মেটামথের লেখক নরম্যান মেগিল আমাকে একটি 59 টি ধাপের প্রমাণ সম্পর্কে বলেছেন , যা আমি এই সম্প্রদায়ের উইকিতে এখানে পোস্ট করব। মূল এই পৃষ্ঠায় উপপাদ্য 2.16 পাওয়া যাবে।

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

নর্ম বলেছেন: এই পৃষ্ঠাটি আপনাকে পরাজিত করার জন্য প্রচুর চ্যালেঞ্জ সরবরাহ করবে!

প্রমাণ এখানে

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

প্রমাণটি পোলিশ স্বরলিপিতে রয়েছে, সুতরাং এটি উপসংহার থেকে শুরু হয় এবং প্রতিটি শব্দটি একটি অক্ষর দ্বারা সন্তুষ্ট না হওয়া অবধি পিছন দিকে চলতে থাকে। চরিত্রের ম্যাপিংটি নিম্নরূপ: "1" হ'ল এলএস অ্যাক্সিয়াম 1, "2" এলএস অ্যাক্সিয়াম 2, "3" এলএস অ্যাক্সিয়াম 3, এবং "ডি" মোডাস পোনেন্স।

@ ডাব্লুডাব্লু এর প্রস্তাবিত ফর্ম্যাটটিতে প্রমাণ রয়েছে

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

এখানে এটি অবিশ্বাস্য প্রুফ মেশিনে রয়েছে

পিএনজি এসভিজি

— অ্যান্টনি
সূত্র

আমি মনে করি না যে এই জাতীয় ফর্ম্যাটটি সুপারিশ করা উচিত ... এটির জন্য উপযুক্ত স্কের এক্সপ্রেশনটি s(k(s(k c)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))(s(k(c(s(s(k c)(s(k c)k))k))))। যদিও

— এটিকে

@ H.PWiz এটা

\x -> c (\y -> c (\z -> c (c (\_ -> z)) (\_ -> z)) (x (c (c (\_ -> y)) (\z -> c (\t -> c (c (\_ -> t)) (\_ -> t)) (x z)))))

। (আপনি যদি সেই দিক থেকে আগত হন তবে সম্ভবত আপনি কী লিখবেন তা নয়।)

— অ্যান্ডারস ক্যাসরগ

@ আন্ডারস ক্যাসরগ হ্যাঁ, আমি সবেমাত্র এটি পেয়েছি এবং দরকারী উপপাদ্যগুলি বের করেছি: এখানে

— এইচ.পি.উইজ

@ এইচ.পি.উইজ, দুঃখিত, আপনি এই ফর্ম্যাটটির পরামর্শ দেননি। আমি বোঝাতে চেয়েছিলাম যে (মার্জিনটি ছিনিয়ে নেওয়া) এটি আপনার প্রোলোগ ভেরিফায়ারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

— অ্যান্টনি

আমি ওপি জন্য আপনাকে ভুল জন্য আমি দুঃখিত, @ H.PWiz আমি ভীত আপনার ব্যবহারকারী নাম ডব্ল্যু এর অনেক নাম পারম্পর্য মধ্যে এক মত লাগছিল i.imgur.com/VoSVoqI.png

— অ্যান্টনি