অস্তিত্বের গল্ফ

Question

গণিতে প্রচুর চিহ্ন রয়েছে। কেউ কেউ খুব বেশি চিহ্ন বলতে পারে। সুতরাং ছবি সহ কিছু গণিত করতে দিন।

আসুন একটি কাগজ থাকে, যা আমরা আঁকব। কাগজটি খালি শুরুর জন্য, আমরা এটি $\top$ বা সমতুল্য $\textit{true}$ ।

আমরা যদি কাগজে অন্যান্য জিনিস লিখি তবে সেগুলিও সত্য হবে।

উদাহরণ স্বরূপ

ইঙ্গিত করে যে দাবীগুলি $P$ এবং টি সত্য।$Q$

এখন আসুন আমরা বলি যে আমরা যদি কিছু বিবৃতি ঘিরে একটি বৃত্ত আঁকাম যে বিবৃতিটি মিথ্যা। এটি যৌক্তিক নয় প্রতিনিধিত্ব করে।

উদাহরণ স্বরূপ:

ইঙ্গিত দেয় যে মিথ্যা এবং সত্য।$P$$Q$

এমনকি আমরা একাধিক সাব-স্টেটমেন্টের চারদিকে বৃত্তটি রাখতে পারি:

যেহেতু চেনাশোনার অভ্যন্তরের অংশটি সাধারণত হিসাবে এটির চারপাশে একটি বৃত্ত রেখে এটি বোঝায় । আমরা এমনকি নীড় চেনাশোনা করতে পারেননা  ( পি  এবং  কিউ $P\text{ and }Q$$\text{not }(P\text{ and }Q)$

এটি ।$\text{not }((\text{not }P)\text{ and }Q)$

আমরা এটা কিছুই সাথে একটি চেনাশোনা, যে প্রতিনিধিত্ব করে আঁকা তাহলে বা । $\bot$$\textit{false}$

যেহেতু খালি জায়গা সত্য ছিল, তাই সত্যের তুচ্ছতা মিথ্যা।

এখন এই সাধারণ ভিজ্যুয়াল পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আমরা প্রকৃতপক্ষে যুক্তিযুক্ত কোনও বিবৃতি উপস্থাপন করতে পারি।

proofs

বিবৃতি উপস্থাপন করতে সক্ষম হওয়ার পরের পদক্ষেপটি সেগুলি প্রমাণ করতে সক্ষম হচ্ছে। প্রমাণের জন্য আমাদের কাছে 4 টি বিভিন্ন বিধি রয়েছে যা গ্রাফকে রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আমরা সর্বদা একটি খালি শীট দিয়ে শুরু করি যা আমরা জানি যে একটি শূন্য সত্য এবং তারপরে আমাদের খালি কাগজের খালি শীটকে উপপাদ্যে রূপান্তর করতে এই বিভিন্ন নিয়ম ব্যবহার করে।

আমাদের প্রথম অনুমান নিয়ম সন্নিবেশ ।

সন্নিবেশ

উপ-গ্রাফ এবং শীর্ষ স্তরের মধ্যে এটি "গভীরতা" এর মধ্যে অবহেলার সংখ্যাকে আমরা কল করব। সন্নিবেশ আমাদেরকে বিজোড় গভীরতায় আমাদের ইচ্ছুক যে কোনও বিবৃতি উপস্থাপন করতে সহায়তা করে।

এখানে সন্নিবেশ সম্পাদনের একটি উদাহরণ:

$P$

ইরেজিওর

পরবর্তী অনুমানের নিয়মটি হচ্ছে ইরেজার । ইরেজর আমাদের বলে যে আমাদের যদি এমন একটি বিবৃতি থাকে যা গভীরতর হয় তবে আমরা এটিকে পুরোপুরি সরিয়ে ফেলতে পারি।

মুছে ফেলার একটি উদাহরণ এখানে প্রয়োগ করা হচ্ছে:

$Q$$2$$P$$1$

ডাবল কাট

ডাবল কাট একটি সমতুল্য। যার অর্থ, পূর্ববর্তী সূচনাগুলির বিপরীতে এটিও বিপরীত হতে পারে। ডাবল কাট আমাদের বলে যে আমরা যে কোনও উপ-গ্রাফের চারপাশে দুটি চেনাশোনা আঁকতে পারি এবং যদি উপ-গ্রাফের চারপাশে দুটি চেনাশোনা থাকে তবে আমরা সেগুলি উভয়ই সরিয়ে ফেলতে পারি।

এখানে ডাবল কাট ব্যবহারের উদাহরণ রয়েছে

$Q$

পুনরাবৃত্তির

Iteration পাশাপাশি একটি সমতুল্য। ¹ এর বিপরীতিকে ডাইট্রেশন বলা হয় যদি আমাদের একই স্তরের একটি বিবৃতি এবং কাটা থাকে, আমরা সেই বিবৃতিটি একটি কাটের ভিতরে অনুলিপি করতে পারি।

উদাহরণ স্বরূপ:

Deiteration আমাদের একটি বিপরীত করতে পারবেন পুনরাবৃত্তিতে । পরবর্তী স্তরে যদি এর কোনও অনুলিপি উপস্থিত থাকে তবে একটি বিবৃতিটি ডেটিংয়ের মাধ্যমে সরানো যেতে পারে ।

---

উপস্থাপনা এবং প্রমাণের এই ফর্ম্যাটটি আমার নিজের আবিষ্কারের নয়। এগুলি একটি ডায়াগ্রাম্যাটিক লজিকের একটি সামান্য পরিবর্তন, যাকে আলফা অস্তিত্বীয় গ্রাফ বলা হয় । আপনি যদি এই বিষয়ে আরও পড়তে চান তবে সাহিত্যের একটি টন নেই, তবে লিঙ্কযুক্ত নিবন্ধটি একটি ভাল শুরু।

---

কার্য

আপনার কাজটি নিম্নলিখিত উপপাদ্য প্রমাণ করা হবে:

এটি, যখন অনুবাদ হয় traditionalতিহ্যগত যুক্তি প্রতীক হয়

$((A\to(B\to A))\to(((\neg C\to(D\to\neg E))\to((C\to(D\to F))\to((E\to D)\to(E\to F))))\to G))\to(H\to G)$।

এটি asukasiewicz-Tarski Axiom হিসাবে পরিচিত ।

এটি জড়িত বলে মনে হতে পারে তবে প্রমাণের দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে অস্তিত্বের গ্রাফগুলি খুব কার্যকর। আমি এই উপপাদ্যটি নির্বাচন করেছি কারণ আমার মতে এটি একটি মজাদার এবং চ্যালেঞ্জিং ধাঁধাটির উপযুক্ত দৈর্ঘ্য। যদি আপনি এটির সাথে সমস্যা হয় তবে আমি সিস্টেমটির হ্যাং পেতে প্রথমে আরও কিছু বেসিক উপপাদ্য চেষ্টা করার পরামর্শ দেব। এগুলির একটি তালিকা পোস্টের নীচে পাওয়া যাবে।

এটি প্রুফ-গল্ফ তাই আপনার স্কোরটি শুরু থেকে শেষ হওয়া পর্যন্ত আপনার প্রমাণের মোট ধাপ। লক্ষ্যটি আপনার স্কোরকে হ্রাস করা।

বিন্যাস

এই চ্যালেঞ্জটির ফর্ম্যাটটি নমনীয় আপনি হ্যান্ড-টানা বা রেন্ডার করা ফর্ম্যাট সহ স্পষ্টভাবে পঠনযোগ্য কোনও ফর্ম্যাটে উত্তর জমা দিতে পারবেন। তবে স্পষ্টতার জন্য আমি নিম্নলিখিত সহজ ফর্ম্যাটটির পরামর্শ দিচ্ছি:

• আমরা প্রথম বন্ধনীর সাথে কাটা প্রতিনিধিত্ব করি, আমরা যা কাটছি তা পেরেনের ভিতরে রেখে দেওয়া হয়। খালি কাটা ()উদাহরণস্বরূপ হবে।

• আমরা কেবলমাত্র তাদের অক্ষর দ্বারা পরমাণু প্রতিনিধিত্ব করি।

উদাহরণ হিসাবে এখানে এই বিন্যাসে লক্ষ্য বিবৃতি:

(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F))))))))(G))))((H(G))))

এই ফর্ম্যাটটি দুর্দান্ত কারণ এটি মানব এবং মেশিন উভয়ই পঠনযোগ্য, সুতরাং এটি আপনার পোস্টে অন্তর্ভুক্ত করা ভাল।

আপনি যদি কিছু সুন্দর (ইশ) ডায়াগ্রাম চান তবে এখানে কিছু কোড রয়েছে যা এই ফর্ম্যাটটিকে তে রূপান্তর করে$\LaTeX$

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

আপনার আসল কাজ হিসাবে আমি কাজ করার সময় পেন্সিল এবং কাগজ সুপারিশ। আমি দেখতে পেয়েছি যে টেক্সটটি অস্তিত্বমূলক গ্রাফের ক্ষেত্রে আসে কেবল কাগজের মতো স্বজ্ঞাত নয়।

উদাহরণ প্রমাণ

এই উদাহরণ প্রমাণে আমরা নিম্নলিখিত উপপাদ্য প্রমাণ করব:

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow \neg A)$

প্রমাণ:

অনুশীলন উপপাদ্য

সিস্টেমটি অনুশীলন করতে আপনি কয়েকটি সাধারণ উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারেন:

Asুকাসিউইচ 'সেকেন্ড অ্যাক্সিয়াম

মেরিডিথের অ্যাক্সিয়াম

^{1: বেশিরভাগ উত্স Iteration এর আরও পরিশীলিত ও শক্তিশালী সংস্করণ ব্যবহার করে তবে এই চ্যালেঞ্জটিকে সহজ রাখতে আমি এই সংস্করণটি ব্যবহার করছি। তারা কার্যত সমতুল্য।}

Comments

ঠিক এইরকম অনুভব একসময় প্রশ্ন সবচেয়ে ভালো বিরক্তিকর জন্য উপযুক্ত হয়

— কোনোর ও'ব্রায়েন

@ কনরও ব্রায়েন কেন? ধাঁধা মূলত অনুকূলিতকরণের চেয়ে উত্তর দেওয়ার সাথে সম্পর্কিত। এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া খুব সহজ, এটিকে বেশিরভাগ গল্ফ চ্যালেঞ্জ করে তোলে।

— গম উইজার্ড

গলগল করা খুব অনুকূলিতকরণ সঙ্গে উদ্বিগ্ন হতে পারে। আমি মনে করি এই চ্যালেঞ্জটি চমকপ্রদ হয়ে উঠতে পারে আরও ভাল একটি বাড়ি, তবে এটি অবশ্যই আমার মতে

— কনার ও ব্রায়ান

@ কনরোব্রায়েন প্রুফ-গল্ফ এই সম্প্রদায়ের একটি দীর্ঘ প্রতিষ্ঠিত অংশ এবং এটি আরও দীর্ঘায়িত হতে পারে।

— নাথানিয়েল

এই ধরণের অভিব্যক্তি সম্পর্কে মজাদার ইন্টারেক্টিভ ফ্ল্যাশ অ্যাপলেট সহ এখানে একটি সাইট রয়েছে: চিহ্নিতযোগ্যতা.এনএইচ

— ওওফমও

Answer 1

19 পদক্ষেপ

1. (()) [ডাবল কাট]
2. (AB()(((G)))) [সন্নিবেশ]
3. (AB(A)(((G)))) [পুনরাবৃত্তির]
4. (((AB(A)))(((G)))) [ডাবল কাট]
5. (((AB(A))(((G))))(((G)))) [পুনরাবৃত্তির]
6. (((AB(A))(((G))))((H(G)))) [সন্নিবেশ]
7. (((AB(A))(((G)(()))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
8. (((AB(A))(((DE()(C)(F))(G))))((H(G)))) [সন্নিবেশ]
9. (((AB(A))(((DE(C)(DE(C))(F))(G))))((H(G)))) [পুনরাবৃত্তির]
10. (((AB(A))(((DE(CD(F))(DE(C))(F))(G))))((H(G)))) [পুনরাবৃত্তির]
11. (((AB(A))(((E(CD(F))(DE(C))(F)((D)))(G))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
12. (((AB(A))(((E(CD(F))(DE(C))(E(D))(F))(G))))((H(G)))) [পুনরাবৃত্তির]
13. (((AB(A))(((G)((CD(F))(DE(C))(E(D))((E(F)))))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
14. (((AB(A))(((G)((CD(F))(DE(C))(((E(D))((E(F)))))))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
15. (((AB(A))(((G)((C((D(F))))(DE(C))(((E(D))((E(F)))))))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
16. (((AB(A))(((G)((DE(C))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
17. (((AB(A))(((G)((D(C)((E)))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
18. (((AB(A))(((G)(((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [ডাবল কাট]
19. (((A((B(A))))(((G)(((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [ডাবল কাট]

অনুশীলন উপপাদ্য

Asukasiewicz এর দ্বিতীয় অক্ষ: 7 টি পদক্ষেপ

1. (()) [ডাবল কাট]
2. (A()(B)(C)) [সন্নিবেশ]
3. (A(A(B))(B)(C)) [পুনরাবৃত্তির]
4. (A(AB(C))(A(B))(C)) [পুনরাবৃত্তির]
5. ((AB(C))(A(B))((A(C)))) [ডাবল কাট]
6. ((AB(C))(((A(B))((A(C)))))) [ডাবল কাট]
7. ((A((B(C))))(((A(B))((A(C)))))) [ডাবল কাট]

মেরিডিথের অ্যাকোয়িয়াম: 11 পদক্ষেপ

1. (()) [ডাবল কাট]
2. (()(D(A)(E))) [সন্নিবেশ]
3. ((D(A)(E))((D(A)(E)))) [পুনরাবৃত্তির]
4. ((D(A)(E))((D(A)(E(A))))) [পুনরাবৃত্তির]
5. ((D(A)(E))(((E(A))((D(A)))))) [ডাবল কাট]
6. (((E)((D(A))))(((E(A))((D(A)))))) [ডাবল কাট]
7. (((E)((C)(D(A))))(((E(A))((D(A)))))) [সন্নিবেশ]
8. (((E)((C)(D(A)(C))))(((E(A))((D(A)))))) [পুনরাবৃত্তির]
9. (((E)((C)((A)(C)((D)))))(((E(A))((D(A)))))) [ডাবল কাট]
10. (((E)((C)((A)(((C)((D)))))))(((E(A))((D(A)))))) [ডাবল কাট]
11. (((E)((C)((A(B))(((C)((D)))))))(((E(A))((D(A)))))) [সন্নিবেশ]

হাস্কেল প্রুফ অনুসন্ধানকারী

(কী, আপনি ভেবেছিলেন আমি হাতে হাতে তা করতে যাচ্ছি? :- পি)

এটি কেবল সন্নিবেশ, ডাবল কাট ভূমিকা এবং পুনরাবৃত্তির চেষ্টা করে। সুতরাং এটি এখনও সম্ভব যে এই সমাধানগুলি ক্ষয়, ডাবল কাট নির্মূলকরণ বা ডেথিয়েশন ব্যবহার করে মারতে পারে।

{-# LANGUAGE ViewPatterns #-}

import Control.Applicative hiding (many)
import Data.Char
import Data.Function hiding ((&))
import qualified Data.Map as M
import Data.Maybe
import qualified Data.MultiSet as S
import qualified Data.PQueue.Prio.Min as Q
import System.IO
import Text.ParserCombinators.ReadP

type Var = Char

data Part
  = Var Var
  | Not Conj
  deriving (Eq, Ord)

instance Show Part where
  show (Var s) = [s]
  show (Not c) = "(" ++ show c ++ ")"

newtype Conj = Conj
  { parts :: S.MultiSet Part
  } deriving (Eq, Ord)

instance Show Conj where
  show (Conj (S.toAscList -> [])) = ""
  show (Conj (S.toAscList -> g:gs)) =
    show g ++ concat ["" ++ show g1 | g1 <- gs]

true :: Conj
true = Conj S.empty

not_ :: Conj -> Conj
not_ = Conj . S.singleton . Not

(&) :: Conj -> Conj -> Conj
Conj as & Conj bs = Conj (S.union as bs)

intersect :: Conj -> Conj -> Conj
intersect (Conj as) (Conj bs) = Conj (S.intersection as bs)

diff :: Conj -> Conj -> Conj
diff (Conj as) (Conj bs) = Conj (S.difference as bs)

splits :: Conj -> [(Conj, Conj)]
splits =
  S.foldOccur
    (\a o bcs ->
       [ (Conj (S.insertMany a o1 bs), Conj (S.insertMany a (o - o1) cs))
       | (Conj bs, Conj cs) <- bcs
       , o1 <- [0 .. o]
       ])
    [(true, true)] .
  parts

moves :: Bool -> Conj -> [(Conj, String)]
moves ev a =
  (do (b, c) <- splits a
      andMoves ev b c) ++
  (do (p, _) <- S.toOccurList (parts a)
      partMoves ev p (Conj (S.delete p (parts a))))

andMoves :: Bool -> Conj -> Conj -> [(Conj, String)]
andMoves ev a b = [(a, "insertion") | not ev]

partMoves :: Bool -> Part -> Conj -> [(Conj, String)]
partMoves ev (Not a) b =
  [(a1 & b, why) | (a1, why) <- notMoves ev a] ++
  [ (not_ (diff a d) & b, "iteration")
  | (d, _) <- splits (intersect a b)
  , d /= true
  ]
partMoves _ (Var _) _ = []

notMoves :: Bool -> Conj -> [(Conj, String)]
notMoves ev a =
  (case S.toList (parts a) of
     [Not b] -> [(b, "double cut")]
     _ -> []) ++
  [(not_ a1, why) | (a1, why) <- moves (not ev) a]

partSat :: Part -> Bool -> M.Map Var Bool -> [M.Map Var Bool]
partSat (Var var) b m =
  case M.lookup var m of
    Nothing -> [M.insert var b m]
    Just b1 -> [m | b1 == b]
partSat (Not c) b m = conjSat c (not b) m

conjSat :: Conj -> Bool -> M.Map Var Bool -> [M.Map Var Bool]
conjSat c False m = do
  (p, _) <- S.toOccurList (parts c)
  partSat p False m
conjSat c True m = S.foldOccur (\p _ -> (partSat p True =<<)) [m] (parts c)

readConj :: ReadP Conj
readConj = Conj . S.fromList <$> many readPart

readPart :: ReadP Part
readPart =
  Var <$> satisfy isAlphaNum <|> Not <$> (char '(' *> readConj <* char ')')

parse :: String -> Maybe Conj
parse s = listToMaybe [c | (c, "") <- readP_to_S readConj s]

partSize :: Part -> Int
partSize (Var _) = 1
partSize (Not c) = 1 + conjSize c

conjSize :: Conj -> Int
conjSize c = sum [partSize p * o | (p, o) <- S.toOccurList (parts c)]

data Pri = Pri
  { dist :: Int
  , size :: Int
  } deriving (Eq, Show)

instance Ord Pri where
  compare = compare `on` \(Pri d s) -> (s + d, d)

search ::
     Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)])
  -> M.Map Conj Int
  -> [[(Conj, String)]]
search (Q.minViewWithKey -> Nothing) _ = []
search (Q.minViewWithKey -> Just ((pri, (a, proof)), q)) m =
  [proof | a == true] ++
  uncurry search (foldr (addMove pri a proof) (q, m) (moves True a))

addMove ::
     Pri
  -> Conj
  -> [(Conj, String)]
  -> (Conj, String)
  -> (Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)]), M.Map Conj Int)
  -> (Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)]), M.Map Conj Int)
addMove pri b proof (a, why) (q, m) =
  case M.lookup a m of
    Just d
      | d <= d1 -> (q, m)
    _
      | null (conjSat a False M.empty) ->
        ( Q.insert (Pri d1 (conjSize a)) (a, (b, why) : proof) q
        , M.insert a d1 m)
    _ -> (q, m)
  where
    d1 = dist pri + 1

prove :: Conj -> [[(Conj, String)]]
prove c = search (Q.singleton (Pri 0 (conjSize c)) (c, [])) (M.singleton c 0)

printProof :: [(Conj, String)] -> IO ()
printProof proof = do
  mapM_
    (\(i, (a, why)) ->
       putStrLn (show i ++ ". `" ++ show a ++ "`  [" ++ why ++ "]"))
    (zip [1 ..] proof)
  putStrLn ""
  hFlush stdout

main :: IO ()
main = do
  Just theorem <- parse <$> getLine
  mapM_ printProof (prove theorem)

Answer 2

22 পদক্ষেপ

$\to$(((())(())))

$\to$(((AB())(CDE(F)()))H(G))

$\to$(((AB(A))(CDE(F)(CD(F)))(G))H(G))

$\to$(((A((B(A))))(((((C))DE(F)(C((D(F)))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)DE)DE(F)(C((D(F)))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D))E(F)))(C((D(F)))))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D)E)E(F)))(C((D(F)))))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D)E)((E(F)))))(C((D(F)))))(G))))))((H(G))))

---

এই ধাঁধাটি সম্পন্ন করে আমি কয়েকটি জিনিস শিখেছি:

• প্রদত্ত প্রতিনিধিত্ব হ্রাস করুন। এর মধ্যে ডাবল কাট এবং পুনরাবৃত্তি বিপরীত জড়িত। উদাহরণস্বরূপ, (((AB(A))(((C)DE)(CD(F))(E(D))(E(F)))(G))H(G))ডাবল কাটগুলি বিপরীত করার পরে এবং (((AB(A))(()CDE(F)))H(G)))পুনরাবৃত্তিগুলি পুনরুদ্ধারের পরে এই অ্যাকোয়িয়ামটি হ্রাস পায় ।

• বিপথগামী পরমাণুর সন্ধান করুন। উদাহরণস্বরূপ, এইচটি ডামি ভেরিয়েবল হিসাবে ব্যবহৃত হয় এবং এটি যে কোনও সময়ে সন্নিবেশ করা যায়।

---

অনুশীলন উপপাদ্য সমাধান:

ইউকাসিউইকিজের দ্বিতীয় অক্ষের সমাধান: [৮ টি পদক্ষেপ]

$\to$(())

$\to$(()AB(C))

$\to$((AB(C))AB(C))

$\to$((A((B(C))))A((B))(C))

$\to$((A((B(C))))A(A(B))(C))

$\to$((A((B(C))))(((A(B))((A(C))))))

মেরেডিথের অ্যাক্সিয়ামের সমাধান: [12 পদক্ষেপ]

$\to$(())

$\to$(()(A)D(E))

$\to$(((A)D(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A)D))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))D)(C))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))(C)D)(C))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))(((C)((D)))))(C))(E))(((((A)D))(E(A)))))

Comments

আমি আমার সম্পূর্ণ সমাধান অন্তর্ভুক্ত আপডেট করেছি। মজার ধাঁধা! আমি কীভাবে আমার পোস্টটি উন্নত করতে পারি দয়া করে আমাকে জানান।

— লগিকেবল

সাধারণত এখানে উত্তরগুলি গোপন করা হয় না - ধারণাটি অনুমান করা হচ্ছে যে উত্তরটি পড়াটি সমাধানের জন্য "স্পয়লার" বোঝায়। এছাড়াও আমাদের এখানে ম্যাথজ্যাক্স রয়েছে, \$শুরু / শেষ হিসাবে যা আমি মনে করি আপনার সমাধানটি আরও সহজ করে তুলবে। আমি আশা করি আপনার এখানে একটি ভাল সময় হবে :)

— FryAmTheEggman

আমি ব্যবহৃত বিধিগুলির সংখ্যা আপডেট করেছি (প্রমাণটি একই থাকে)। ফর্ম্যাট করতে ভাল কেউ দয়া করে আমার উত্তরটি উন্নত করতে সহায়তা করতে পারেন?

— লজিকেবল