আদিমতার পরীক্ষার সূত্র

Question

আপনার লক্ষ্য হ'ল নির্ধারিত সংখ্যাটি nসর্বনিম্ন বাইটে প্রধান কিনা determine তবে, আপনার কোডটি অবশ্যই একক সংখ্যক একক পাইথন 2 এক্সপ্রেশন হতে পারে

• অপারেটার
• ইনপুট পরিবর্তনশীল n
• পূর্ণসংখ্যা ধ্রুবক
• প্রথম বন্ধনী

কোনও লুপ নেই, কোনও অ্যাসাইনমেন্ট নেই, কোনও বিল্ট-ইন ফাংশন নেই, কেবল উপরের তালিকাভুক্ত। হ্যাঁ এটা সম্ভব.

অপারেটর

পাইথন 2 এ সমস্ত অপারেটরের একটি তালিকা এখানে গাণিতিক, বিটওয়াইস এবং লজিকাল অপারেটরগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করেছে:

+    adddition
-    minus or unary negation
*    multiplication
**   exponentiation, only with non-negative exponent
/    floor division
%    modulo
<<   bit shift left
>>   bit shift right
&    bitwise and
|    bitwise or
^    bitwise xor
~    bitwise not
<    less than
>    greater than
<=   less than or equals
>=   greater than or equals
==   equals
!=   does not equal

সমস্ত মধ্যবর্তী মান হ'ল পূর্ণসংখ্যা (বা মিথ্যা / সত্য, যা স্পষ্টভাবে 0 এবং 1 এর সমান হয়)। ঘৃণ্যতা নেতিবাচক এক্সটেনশনগুলির সাথে ব্যবহার করা যাবে না কারণ এটি ভাসমান উত্পাদন করতে পারে। দ্রষ্টব্য যে /পাইথন 3 এর বিপরীতে তল-বিভাগ করে, তাই //প্রয়োজন হয় না।

আপনি পাইথনের সাথে পরিচিত না হলেও অপারেটরদের বেশ স্বজ্ঞাত হওয়া উচিত। দেখুন অপারেটর অগ্রগণ্যতা জন্য এই টেবিল এবং এই বিভাগে এবং নীচের ব্যাকরণ একটি বিস্তারিত স্পেসিফিকেশন জন্য। আপনি টিআইওতে পাইথন 2 চালাতে পারেন ।

ইনপুট / আউটপুট

ইনপুট: একটি ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যা nযা কমপক্ষে 2।

আউটপুট:n প্রাইম হলে 1 এবং অন্যথায় 0 হয়। Trueএবং Falseব্যবহার করা যেতে পারে। সবচেয়ে কম বাইট জেতা

যেহেতু আপনার কোডটি একটি অভিব্যক্তি, এটি স্নিপেট হবে, হিসাবে ইনপুট মান হিসাবে সঞ্চিত হবে nএবং পছন্দসই আউটপুটটি মূল্যায়ন করবে।

আপনার কোডটি nনির্বিচারে বৃহত, সিস্টেম সীমা একপাশে কাজ করতে হবে। পাইথনের পুরো নম্বর প্রকারটি সীমাহীন তাই অপারেটরদের কোনও সীমাবদ্ধতা নেই। আপনার কোডটি চালাতে অনেক বেশি সময় নিতে পারে।

Comments

সম্ভবত এটি অজগর ট্যাগ থাকা উচিত?

— fəˈnɛtɪk

Answer 1

43 বাইট

(4**n+1)**n%4**n**2/n&2**(2*n*n+n)/-~2**n<1

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

পদ্ধতিটি ডেনিসের দ্বিতীয় (মুছে ফেলা) উত্তরের মতো, তবে এই উত্তরটি সঠিক প্রমাণ করা সহজ।

প্রমাণ

সংক্ষিপ্ত রূপ

এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অঙ্ক (4**n+1)**n%4**n**2বেস মধ্যে যে বিভাজ্য নয় এন পরবর্তী (কম উল্লেখযোগ্য) অঙ্ক করতে হবে অশূন্য (যদি যে "পরবর্তী অঙ্ক" ভগ্ন অংশে নয়), তারপর বিট-মাস্কের সঙ্গে যাচাই করুন মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা হয় বিজোড় পজিশনে কোনও অঙ্ক যদি ননজারো হয়।$2^n$$n$(4**n+1)**n%4**n**2/n&2**(2*n*n+n)/-~2**n

দীর্ঘ ফর্ম

যাক যে বেস থাকার সংখ্যা হতে খ উপস্থাপনা, অর্থাত, একটি এন বি এন + + ⋯ + + একটি 1 খ 1 + + একটি 0 খ 0 , এবং একটি আমি এ অঙ্ক হতে " বেস বি উপস্থাপনায় " আই ।$[a_n,\dots,a_1,a_0]_b$$b$$a_nb^n+\dots+a_1b^1+a_0b^0$$a_i$$i$$b$

• ।$\texttt{2**(2*n*n+n)/-~2**n} =\lfloor{2^{(2n+1)n}\over1+2^n}\rfloor =\lfloor{4^{n^2}\times 2^n\over1+2^n}\rfloor =\lfloor{{(4^{n^2}-1)\times 2^n\over1+2^n} +{2^n\over1+2^n}}\rfloor$

কারণ (এন2এন-1এস সহ) একটি পূর্ণসংখ্যা এবং⌊2$2^n\times{4^{n^2}-1\over1+2^n} =2^n(2^n-1)\times{(4^n)^n-1\over4^n-1} =[2^n-1,0,2^n-1,0,2^n-1,0]_{2^n}$$n$ $2^n-1$, =[2এন-1,0,2এন-1,0,2এন-1,0]2এন।$\lfloor{2^n\over1+2^n}\rfloor=0$2**(2*n*n+n)/-~2**n$[2^n-1,0,2^n-1,0,2^n-1,0]_{2^n}$

এরপরে, বিবেচনা করুন

$$\begin{align} \texttt{(4**n+1)**n} &=(4^n+1)^n \\ &=\binom n04^{0n}+\binom n14^{1n}+\dots+\binom nn4^{n^2} \\ &=\left[\binom nn,0,\dots,0,\binom n1,0,\binom n0\right]_{2^n} \end{align}$$

, তাইনম্বর অগ্রভাগ ছাঁটিয়া হবে 2 এন গত সংখ্যার - যে বাদ ($4^{n^2}=(2^n)^{2n}$%4**n**2$2n$ (যা 1) তবে অন্যান্য দ্বিপদী সহগগুলি অন্তর্ভুক্ত করুন।$\binom nn$

সম্পর্কে /n:

• তাহলে একটি মৌলিক হয়, ফল কী হবে [ ($n$। বিজোড় অবস্থানের সমস্ত অঙ্ক শূন্য।$\left[\binom n{n-1}/n,0,\dots,0,\binom n1/n,0,0\right]_{2^n}$

• যদি প্রাইম না হয়:$n$

  যাক বৃহত্তর পূর্ণসংখ্যা যেমন n ∤ ($a$ (এন>এ>0)। লভ্যাংশটি পুনরায় লিখুন$n\nmid\binom na$$n>a>0$

  $\left[\binom n{n-1},0,\binom n{n-2},0,\dots,\binom n{a+1}, 0,0,0,\dots,0,0,0\right]_{2^n} + \left[\binom na,0,\binom n{a-1},0,\dots,\binom n0\right]_{2^n}$

  প্রথম যোগফলটিতে দ্বারা বিভাজ্য সমস্ত অঙ্ক রয়েছে$n$, and the digit at position $2a-1$ zero.

  The second summand has its most significant digit (at position $2a$) not divisible by $n$ and (the base) $2^n>n$, so the quotient when dividing that by $n$ would have the digit at position $2a-1$ nonzero.

  Therefore, the final result ((4**n+1)**n%4**n**2/n) should have the digit (base $2^n$, of course) at position $2a+1$ nonzero.

Finally, the bitwise AND (&) performs a vectorized bitwise AND on the digits in base $2^n$ (because the base is a power of 2), and because $a\texttt &0=0,a\texttt&(2^n-1)=a$ for all $0\le a<2^n$, (4**n+1)**n%4**n**2/n&2**(2*n*n+n)/-~2**n is zero iff (4**n+1)**n%4**n**2/n has all digits in first $n$ odd positions zero - which is equivalent to $n$ being prime.

Comments

Would (4**n+1)**n%2**n**2/n&2**n**2/-~2**n<1 work?

— Dennis

If it's easy to prove correct, could you include the proof in the answer? We have MathJax now, so it's relatively easy to make proofs legible, and I can't see an obvious reason for the division by n not to cause unwanted interactions between the digits base 4**n.

— Peter Taylor

"I have discovered a truly remarkable proof of this answer which this comment is too small to contain..."

— Digital Trauma

Suggestions for shortening the proof are welcome.

— user202729

Nicely done! This is the same solution I had come up with. I found a couple of bytes can be cut with (4**n+1)**n%4**n**2/n<<n&4**n**2/-~2**n<1. I'm curious if this challenge is possible without bitwise operators.

— xnor

Answer 2

Python 2, 56 bytes

n**(n*n-n)/(((2**n**n+1)**n**n>>n**n*~-n)%2**n**n)%n>n-2

Try it online!

This is a proof-of-concept that this challenge is doable with only arithmetic operators, in particular without bitwise |, &, or ^. The code uses bitwise and comparison operators only for golfing, and they can easily be replaced with arithmetic equivalents.

However, the solution is extremely slow, and I haven't been able to run $n=6$`, thanks to two-level exponents like $2^{n^n}$.

The main idea is to make an expression for the factorial $n!$, which lets us do a Wilson's Theorem primality test $(n-1)! \mathbin{\%} n > n-2$ where $\mathbin{\%}$ is the modulo operator.

We can make an expression for the binomial coefficient, which is made of factorials

$$\binom{m}{n} \ = \frac{m!}{n!(m-n)!}$$

But it's not clear how to extract just one of these factorials. The trick is to hammer apart $n!$ by making $m$ really huge.

$$\binom{m}{n} \ = \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}= \frac{m^n}{n!}\cdot \left(1-\frac{1}{m}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{m}\right)$$

So, if we let $c$ be the product $\left(1-\frac{1}{m}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{m}\right)$, we have

$$n! = \frac{m^n}{\binom{m}{n}} \cdot c$$

If we could just ignore $c$, we'd be done. The rest of this post is looking how large we need to make $m$ to be able to do this.

Note that $c$ approaches $1$ from below as $m \to \infty$. We just need to make $m$ huge enough that omitting $c$ gives us a value with integer part $n!$ so that we may compute

$$n! = \left\lfloor \frac{m^n}{\binom{m}{n}} \right\rfloor$$

For this, it suffices to have $1 - c < 1/n!$ to avoid the ratio passing the next integer $n!+1$.

Observe that $c$ is a product of $n$ terms of which the smallest is $\left(1-\frac{n-1}{m}\right)$. So, we have

$$c > \left(1-\frac{n-1}{m}\right)^n > 1 - \frac{n-1}{m} n > 1-\frac{n^2}{m},$$

which means $1 - c < \frac{n^2}{m}$. Since we're looking to have $1 - c < 1/n!$, it suffices to take $m \geq n! \cdot n^2$.

In the code, we use $m=n^n$. Since Wilson's Theorem uses $(n-1)!$, we actually only need $m \geq (n-1)! \cdot (n-1)^2$. It's easy to see that $m=n^n$ satisfies the bound for the small values and quickly outgrows the right hand side asymptotically, say with Stirling's approximation.

Answer 3

This answer doesn't use any number-theoretic cleverness. It spams Python's bitwise operators to create a manual "for loop", checking all pairs $1 \leq i,j < n$ to see whether $i \times j = n$.

Python 2, way too many bytes (278 thanks to Jo King in the comments!)

((((((2**(n*n)/(2**n-1)**2)*(2**((n**2)*n)/(2**(n**2)-1)**2))^((n*((2**(n*n-n)/(2**n-1))*(2**((n**2)*(n-1))/(2**n**2-1))))))-((2**(n*n-n)/(2**n-1))*(2**((n**2)*(n-1))/(2**(n**2)-1))))&(((2**(n*(n-1))/(2**n-1))*(2**((n**2)*(n-1))/(2**(n**2)-1)))*(2**(n-1)))==0))|((1<n<6)&(n!=4))

Try it online!

This is a lot more bytes than the other answers, so I'm leaving it ungolfed for now. The code snippet below contains functions and variable assignment for clarity, but substitution turns isPrime(n) into a single Python expression.

def count(k, spacing):
    return 2**(spacing*(k+1))/(2**spacing - 1)**2
def ones(k, spacing):
    return 2**(spacing*k)/(2**spacing - 1)

def isPrime(n):
    x = count(n-1, n)
    y = count(n-1, n**2)
    onebits = ones(n-1, n) * ones(n-1, n**2)
    comparison = n*onebits
    difference = (x*y) ^ (comparison)
    differenceMinusOne = difference - onebits
    checkbits = onebits*(2**(n-1))
    return (differenceMinusOne & checkbits == 0 and n>1)or 1<n<6 and n!=4

Why does it work?

I'll do the same algorithm here in base 10 instead of binary. Look at this neat fraction:

$$\frac{1.0}{999^2} = 1.002003004005\dots$$

If we put a large power of 10 in the numerator and use Python's floor division, this gives an enumeration of numbers. For example, $10^{15}/(999^2) = 1002003004$ with floor division, enumerating the numbers $1,2,3,4$.

Let's say we multiply two numbers like this, with different spacings of zeroes. I'll place commas suggestively in the product.

$$1002003004 \times 1000000000002000000000003000000000004 =$$ $$1002003004,002004006008,003006009012,004008012016$$

The product enumerates, in three-digit sequences, the multiplication table up to 4 times 4. If we want to check whether the number 5 is prime, we just have to check whether $005$ appears anywhere in that product.

To do that, we XOR the above product by the number $005005005\dots005$, and then subtract the number $001001001\dots001$. Call the result $d$. If $005$ appeared in the multiplication table enumeration, it will cause the subtraction to carry over and put $999$ in the corresponding place in $d$.

To test for this overflow, we compute an AND of $d$ and the number $900900900\dots900$. The result is zero if and only if 5 is prime.

Comments

A quick print of the expression puts this at 278 bytes (though I'm sure a lot of the parenthesises aren't necessary)

— Jo King