রাইলির উপপাদ্য

Question

এস। রাইলি 1825 সালে উপপাদ্য অনুসরণ করে প্রমাণিত:

প্রতিটি যৌক্তিক সংখ্যা তিনটি যৌক্তিক কিউবের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

চ্যালেঞ্জ

কিছু যুক্তিযুক্ত নম্বর দেওয়া $r \in \mathbb Q$ তিনটি যৌক্তিক সংখ্যা $a,b,c \in \mathbb Q$ যেমন

$$r= a^3+b^3+c^3.$$

বিস্তারিত

আপনার জমা দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত সময় এবং মেমরি প্রদত্ত প্রতিটি ইনপুটটির জন্য একটি সমাধান গণনা করতে সক্ষম হওয়া উচিত, যার অর্থ intএকটি ভগ্নাংশের প্রতিনিধিত্ব করে দুটি 32-বিট থাকা যথেষ্ট নয়।

উদাহরণ

$$\begin{align} 30 &= 3982933876681^3 - 636600549515^3 - 3977505554546^3 \\ 52 &= 60702901317^3 + 23961292454^3 - 61922712865^3 \\ \frac{307}{1728} &= \left(\frac12\right)^3 + \left(\frac13\right)^3 + \left(\frac14\right)^3 \\ 0 &= 0^3 + 0^3 + 0^3 \\ 1 &= \left(\frac12\right)^3 + \left(\frac23\right)^3 + \left(\frac56\right)^3\\ 42 &= \left(\frac{1810423}{509232}\right)^3 + \left(\frac{-14952}{10609}\right)^3 + \left(\frac{-2545}{4944}\right)^3 \end{align}$$

Comments

আমার কাছে জাপটে এমন ধরনের কাজ ছিল তবে এটি প্রায়শই "অত্যধিক পুনরাবৃত্তি" ত্রুটির মধ্যে পড়ে। সম্ভবত কারণ কৌশলটি "এলোমেলো সংখ্যাগুলি পান, তারা সঠিক উত্তর না পাওয়া পর্যন্ত আবার চেষ্টা করুন"।

— কামিল দ্রাকারী

বিনগম সমর্থনের প্রয়োজনে অযথা প্রচুর ভাষাগুলি বাদ দেওয়া হয়, এবং / অথবা এগুলি বাস্তবায়নের জন্য প্রচুর নষ্ট বয়লারপ্লেটের প্রয়োজন হয়

— স্পার

@ স্পার এটি একটি ইচ্ছাকৃত পছন্দ ছিল, যেহেতু সাধারণ ইনপুটগুলির জন্য এমনকি আউটপুটটি "বড়" হতে পারে, বা আপনি কোন পদ্ধতিটি ব্যবহার করেন তার উপর নির্ভর করে গণনার মধ্যবর্তী মানগুলিও খুব বড় হতে পারে। সুতরাং নির্বিচারে যথাযথ সংখ্যার সাথে কাজ করা এই চ্যালেঞ্জের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট ছিল (এবং সম্ভবত বেশিরভাগ ক্ষেত্রে অন্যান্য সংখ্যা-তত্ত্ব- চ্যালেঞ্জগুলিতেও )।

— flawr

এটি কি আউটপুট গ্রহণযোগ্য হবে [p1,p2,p3,q], ( পি 1) হিসাবে ব্যাখ্যা করা?? $\left(\frac{p_1}{q}\right)^3+\left(\frac{p_2}{q}\right)^3+\left(\frac{p_3}{q}\right)^3$

— আর্নল্ড

একই ধরণের শিরা বরাবর, আউটপুট করা তিনটি যৌক্তিক সংখ্যাগুলি কি সহজ আকারে থাকতে হবে?

— কুইনটেক

Answer 1

পরী / জিপি , 40 বাইট

r->[x=27*r^3+1,9*r-x,z=9*r-27*r^2]/(3-z)

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

---

একই দৈর্ঘ্য, একই সূত্র:

r->d=9*r^2-3*r+1;[x=r+1/3,3*r/d-x,1/d-1]

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

---

এই সূত্রটি দেওয়া হয়েছে: রিচমন্ড, এইচ। (1930)। $x^3+y^3+z^3=R$ এর যৌক্তিক সমাধানগুলিতে । এডিনবার্গ ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির কার্যক্রম, ২ (২), ৯৯-১০০

$$r=\left(\frac{27r^3+1}{27r^2-9r+3}\right)^3+\left(\frac{-27r^3+9r-1}{27r^2-9r+3}\right)^3+\left(\frac{-27r^2+9r}{27r^2-9r+3}\right)^3$$

এটি অনলাইন দেখুন!

Comments

-5 বাইট কারণ আপনি সামনের ক্রম পরিবর্তন করতে পারেন

— কালো আউল কাই

@ ব্ল্যাকওলকাই দ্বিতীয় শীর্ষ সম্মেলনের অঙ্কটি হ'ল , নয় - 27 আর 2 + 9 আর - 1 । $-27r^{\color{Red}3}+9r-1$$-27r^{\color{Red}2}+9r-1$

— আলেফাল্ফা

Answer 2

হাস্কেল , 95 89 76 69 68 বাইট

• -18 বাইট ধন্যবাদ H.PWiz
• -1 বাইট ক্রিশ্চিয়ান সিভার্সকে ধন্যবাদ

f x=[w|n<-[1..],w<-mapM(\_->[-n,1/n-n..n])"IOU",x==sum((^3)<$>w)]!!0

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

সহজ ব্রুটফোর্স সমাধান। এটি ফর্মের যুক্তিযুক্ত সংখ্যার সমস্ত ট্রিপল পরীক্ষা করে

$$\left(\frac{a_1}{n},\frac{a_2}{n},\frac{a_3}{n}\right)\qquad\text{with }-n\le\frac{a_i}{n}\le n.$$

• $$\left(\frac{a_1}{n_1},\frac{a_2}{n_2},\frac{a_3}{n_3}\right)=\left(\frac{a_1n_2n_3}{n_1n_2n_3},\frac{a_2n_1n_3}{n_1n_2n_3},\frac{a_3n_1n_2}{n_1n_2n_3}\right).$$
• We can always assume that $-n\le\frac{a_i}{n}\le n$, since $$\frac{a_i}{n}=\frac{a_iN}{nN}$$ for any arbitrarily large integer $N$.

Comments

What does the "IOU" do?

— Solomon Ucko

@SolomonUcko Nothing special, it's as good as any other list of length 3

— Delfad0r

@H.PWiz I couldn't find any consensus on Meta on whether assuming typed input is accepted, but I still found a way to shorten the code without that assumption. Thanks!

— Delfad0r

@Delfad0r There is a "consensus" that you do not have to count a possible import, that is only needed to construct the type needed, if you do not explicitly need anything from that import for defining your function. (And you can assume that the correct type is passed to your function, when it is called.)

— flawr

Save one byte by using [-n,1/n-n..n]

— Christian Sievers

Answer 3

Husk, 14 bytes

ḟo=⁰ṁ^3π3×/NİZ

Simple brute force solution. Try it online!

Explanation

Division in Husk uses rational numbers by default and Cartesian products work correctly for infinite lists, making this a very straightforward program.

ḟo=⁰ṁ^3π3×/NİZ
            İZ  Integers: [0,1,-1,2,-2,3,-3...
           N    Natural numbers: [1,2,3,4,5...
         ×/     Mix by division: [0,1,0,-1,1/2,0,2,-1/2,1/3...
                This list contains n/m for every integer n and natural m.
       π3       All triples: [[0,0,0],[0,0,1],[1,0,0]...
ḟ               Find the first one
    ṁ^3         whose sum of cubes
 o=⁰            equals the input.

Answer 4

JavaScript (Node.js), 73 bytes

Takes input as (p)(q), where $p$ and $q$ are BigInt literals.

Returns [[p1,q1],[p2,q2],[p3,q3]] such that $\frac{p}{q}=\left(\frac{p_1}{q_1}\right)^3+\left(\frac{p_2}{q_2}\right)^3+\left(\frac{p_3}{q_3}\right)^3$.

p=>q=>[x=p*(y=p*(p*=9n*q*q)*3n/q)/q+(q*=q*q),p-x,p-=y].map(x=>[x,3n*q-p])

Try it online!

Derived from H. W. Richmond (1930), On Rational Solutions of x³ + y³ +z³ = R.

Answer 5

Haskell, 70 bytes

In An introduction to the Theory of Numbers (by Hardy and Wright) there is an construction that even includes a rational parameter. For golfing purposes I just set this parameter to 1, and tried reducing as much as possible. This results in the formula

$$r \mapsto \left[ {{r^3-648\,r^2+77760\,r+373248}\over{72\,\left(r+72\right)^2 }} , {{12\,\left(r-72\right)\,r}\over{\left(r+72\right)^2}} , -{{r^2 -720\,r+5184}\over{72\,\left(r+72\right)}} \right]$$

f r|t<-r/72,c<-t+1,v<-24*t/c^3,a<-(v*t-1)*c=((a+v*c+c)/2-)<$>[a,v*c,c]

Try it online!

Answer 6

perl -Mbigrat -nE, 85 bytes

$_=eval;($a,$b)=($_*9,$_**2*27);$c=$b*$_;say for map$_/($b-$a+3),$c+1,-$c+$a-1,-$b+$a

You can save 8 bytes (the leading $_=eval;) if you know the input is an integer; this part is needed to have the program grok an input of the form 308/1728. Input is read from STDIN. I'm using the formula given by @alephalpha.