গল্ফস্ক্রিপ্ট, 68 67 62 61 অক্ষর
[.]({[.2@{1$1$%{)}{\1$/1$}if}*;;].,*0+{+}*.2$?@@.@+\@)!}do;,(
এটি একটি অভিব্যক্তি: এটি nস্ট্যাকটি নেয় এবং ফলাফলটি স্ট্যাকের উপরে ফেলে। এটি একটি প্রোগ্রাম লাগে পরিণত nstdin থেকে এবং stdout- এ ফলাফলের ছাপে শীর্ষস্থানীয় প্রতিস্থাপন [সঙ্গে~
এর হৃদয় হ'ল [.2@{1$1$%{)}{\1$/1$}if}*;;](২৮ টি অক্ষর) যা স্ট্যাকের শীর্ষ নম্বরটি নিয়ে যায় এবং (অবিশ্বাস্যভাবে অদক্ষ অ্যালগরিদম দ্বারা) এর প্রধান কারণগুলির একটি তালিকা উত্পন্ন করে। সি-স্টাইল সিউডোকোড সমতুল্য:
ps = [], p = 2;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (n % p == 0) {
ps += p;
n /= p;
}
else p++;
}
0+ঠিক আগে {+}*বিশেষ ক্ষেত্রে পরিচালনা করতে হয় n==1কারণ Golfscript খালি তালিকা উপর একটি বাইনারি অপারেশন ভাঁজ পছন্দ করেন না।
অ-প্রাইম ফিক্সপয়েন্টগুলির মধ্যে একটি হল 27; আমি ম্যাপিং (P বিবেচনা করে প্রোগ্রাম ব্যবহার ছাড়াই এই পাওয়া একটি -> একটি 2 P), যা একটি fixpoint হলে একটি == পি (ক -1) / 2 এবং ক্ষুদ্র চেষ্টা a। ( a==1প্রাইমগুলির স্থিরতা দেয়)।
প্রোগ্রামটির সাথে অনুসন্ধান করা দ্বিতীয় ফিক্সপয়েন্টে পরিণত হয়: 30 = (2 + 3 + 5) * 3
পরিশিষ্ট: প্রমাণ যে মাত্র দুটি অ-প্রাইম ফিক্সপয়েন্ট রয়েছে
স্বরলিপি: পুনরাবৃত্তি (A001414) সহ sopfr(x)প্রধান উপাদানগুলির যোগফল x। (A001222) Omega(x)এর প্রধান কারণগুলির সংখ্যা x। হিগলে উত্তরসূরি ফাংশন হয়h(x) = sopfr(x) Omega(x)
ধরুন আমাদের কাছে একটি ফিক্সপয়েন্ট রয়েছে N = h(N)যা n=Omega(N)প্রাইমের একটি পণ্য ।
N = p_0 ... p_{n-1} = h(N) = n (p_0 + ... + p_{n-1})
বেসিক সংখ্যার তত্ত্ব: এর মধ্যে nবিভক্ত হয় p_0 ... p_{n-1}, তাই w=Omega(n)সেই সমস্ত মৌলিক বিষয়গুলির প্রধান কারণ n। Wlog আমরা তাদের শেষ হতে হবে w। সুতরাং আমরা উভয় পক্ষকে পাশাপাশি ভাগ করে নিতে nপারি
p_0 ... p_{n-w-1} = p_0 + ... + p_{n-1}
অথবা
p_0 ... p_{n-w-1} = p_0 + ... + p_{n-w-1} + sopfr(n)
প্রদত্ত যে মৌলিক সংখ্যার সব p_0থেকে p_{n-w-1}1 তার চেয়ে অনেক বেশী হয়, বৃদ্ধি তাদের কোন LHS RHS চেয়ে বেশি বৃদ্ধি পায়। একটি প্রদত্ত জন্য n, আমরা সমস্ত প্রার্থী সমাধান গণনা করতে পারেন।
বিশেষত, এলএইচএস সমস্ত "ফ্রি" প্রাইম সেট করে আরএইচএসের চেয়ে 2 বেশি হলে কোনও সমাধান হতে পারে না, অর্থাত্ কোনও সমাধান নেই যদি
2^{n-w} > 2 (n-w) + sopfr(n)
যেহেতু sopfr(n) <= n(কেবলমাত্র এন = 4 বা এন প্রাইমের জন্য সমতা সহ), আমরা দুর্বল বক্তব্য দিতে পারি যে কোনও ফিক্সপয়েন্ট নেই
2^{n-w} > 3 n - 2 w
wস্থির হোল্ডিং আমরা nসন্তোষজনক বিভিন্ন মান নির্বাচন করতে পারেন w=Omega(n)। সবচেয়ে ছোট nএটি হয় 2^w। নোট করুন যে যদি 2^{n-w}কমপক্ষে 3 হয় (যেমন, যদি n-w>1এটি সত্য হয় n>2) তবে ধ্রুবক nধরে রাখার সময় wবাড়লে আরএইচএসের চেয়ে LHS আরও বাড়বে। এটিও নোট করুন যে w>2সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্যতার পক্ষে এবং গ্রহণ করা nঅসমতাকে সন্তুষ্ট করে এবং এর কোনও স্থিরতা নেই।
এটি আমাদের তিনটি ক্ষেত্রে ফেলেছে: w = 0এবং n = 1; w = 1এবং nপ্রধান; বা w = 2এবং nআধা-প্রধান হয়।
কেস w = 0। n = 1, যে Nকোনও প্রধান।
কেস w = 1। তাহলে n = 2তারপর N = 2pএবং আমরা প্রয়োজন p = p + 2, যা কোন সমাধান হয়েছে। যদি n = 3তারপর আমরা আছে pq = p + q + 3এবং দুই সমাধান, (p=2, q=5)এবং (p=3, q=3)। যদি n = 5তা হয় 2^4 > 3 * 5 - 2 * 1তবে এর সাথে আর কোনও সমাধান নেই w = 1।
কেস w = 2। যদি n = 4তবে N = 4pqএবং আমাদের প্রয়োজন pq = p + q + 4। এটিতে পূর্ণসংখ্যার সমাধান রয়েছে p=2, q=6তবে প্রাথমিক সমাধান নেই। যদি n = 6তা হয় 2^4 > 3 * 6 - 2 * 2তবে এর সাথে আর কোনও সমাধান নেই w = 2।
সমস্ত কেস ক্লান্ত হয়ে গেছে, সুতরাং একমাত্র অ-মৌলিক ফিক্সপয়েন্টগুলি 27 এবং 30।
highley(1) == 1? একটির কোনও প্রধান উপাদান নেই, সুতরাং 4-এ ফলাফলের তালিকাটি হ'ল[1, 0],highley(1) == 2যেমনটি আমি এটি দেখছি।