পাইথন ঘ
letters = []
numbers = []
for n in range(1,27):
if n%2==0 or n%3==0:
offsets=False
else:
offsets = [x for x in range(0,n,2)]
offsets.extend([x for x in range(1,n,2)])
letters.append(chr(96+n))
numbers.append(n)
if offsets :
for y in range(n):
for x in range(n):
let=letters[(x+offsets[y])%n]
num=numbers[(offsets[y]-x)%n]
print (let+str(num), end= " " if num<10 else " ")
print("\n")
else:
print("Impossible\n")
কিভাবে এটা কাজ করে?
নিখুঁত বাস্তবায়ন হ'ল কোনও এনএক্সএন গ্রিডে চিঠি এবং সংখ্যাগুলির সম্ভাব্য সমস্ত ব্যবস্থা সন্ধান করা এবং এটি একটি অর্থোগোনাল-ডায়াগোনাল লাতিন স্কোয়ার (ওডিএলএস) এর জন্য অনুসন্ধান করা (এবং এইভাবে, কারও কারও কাছে এটি পুরোপুরি যেতে হবে কনফিগারেশন এবং ফিরে অসম্ভব)। অযৌক্তিক সময় জটিলতার কারণে এ জাতীয় একটি অ্যালগরিদম এই চ্যালেঞ্জের পক্ষে উপযুক্ত নয়। সুতরাং আমার বাস্তবায়নে ব্যবহৃত ওডিএলএস নির্মাণের জন্য তিনটি বড় সরলকরণ এবং ন্যায্যতা (এটি কেন কাজ করে তার আংশিক প্রমাণ এবং অন্তর্দৃষ্টি) রয়েছে:
প্রথমটি ধারণাটি যে আমাদের কেবলমাত্র একটি বৈধ ডায়াগোনাল ল্যাটিন স্কোয়ার তৈরি করতে হবে (একটি এনএক্সএন গ্রিড যেমন প্রতিটি সারি, কলাম, মোড়ক-তিরোনামে N পৃথক উপাদানগুলির প্রতিটি উপাদানকে ঠিক একবারে অন্তর্ভুক্ত করা হয়) এর প্রথম এন বর্ণগুলির বর্ণমালা। যদি আমরা এই জাতীয় ডায়াগোনাল ল্যাটিন স্কয়ার (ডিএলএস) তৈরি করতে পারি তবে DLS ব্যবহার করে উপাদানগুলির যথাযথ বিনিময় এবং উল্টানো যায়। আত্মপক্ষ সমর্থন:
Let us first look at an example using the example grid
a1 b2 c3 d4 e5
c4 d5 e1 a2 b3
e2 a3 b4 c5 d1
b5 c1 d2 e3 a4
d3 e4 a5 b1 c2
Every ODLS can be separated into two DLS (by definition), so
we can separate the grid above into two DLS, one containing letters, the other - numbers
a b c d e
c d e a b
e a b c d
b c d e a
d e a b c
and
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
2 3 4 5 1
5 1 2 3 4
3 4 5 1 2
If we transform the number DLS by the mapping 1-->e, 2-->d, 3-->c, 4-->b, 5-->a,
1 2 3 4 5 --> e d c b a
4 5 1 2 3 --> b a e d c
2 3 4 5 1 --> d c b a e
5 1 2 3 4 --> a e d c b
3 4 5 1 2 --> c b a e d
Now if we put the transformed number grid next to the original letter grid,
Original | Transformed
a b c d e | e d c b a
c d e a b | b a e d c
e a b c d | d c b a e
b c d e a | a e d c b
d e a b c | c b a e d
It can be clearly seen that the number grid is a horizontal flip of
the letter grid withminor letter to number substitutions.
Now this works because flipping guarantees that no two pairs occur more than once,
and each DLS satisfies the requirements of the ODLS.
দ্বিতীয় সরলীকরণটি ধারণাটি হ'ল আমরা যদি একটি উপাদানটির একটি উপযুক্ত কনফিগারেশন (এসসি) খুঁজে পাই (প্রতিটি এন সারিন, কলাম, মোড়ানো-তির্যকটি সেই উপাদানটি ঠিক একবারে ধারণ করে) তবে উপাদানটি প্রতিস্থাপন করে একটি ডিএলএস তৈরি করা যেতে পারে if এবং এসসি স্থানান্তর। আত্মপক্ষ সমর্থন:
If "_" is an empty space and "a" the element then a valid SC of a 7x7 grid is
a _ _ _ _ _ _
_ _ a _ _ _ _
_ _ _ _ a _ _
_ _ _ _ _ _ a
_ a _ _ _ _ _
_ _ _ a _ _ _
_ _ _ _ _ a _
or
a _ _ _ _ _ _
_ _ _ a _ _ _
_ _ _ _ _ _ a
_ _ a _ _ _ _
_ _ _ _ _ a _
_ a _ _ _ _ _
_ _ _ _ a _ _
(the second one can actually be obtained from the first one via rotation)
now say we took the second SC, shifted it one unit to the right and
replaced all "a" with "b"
a _ _ _ _ _ _ _ a _ _ _ _ _ _ b _ _ _ _ _
_ _ _ a _ _ _ _ _ _ _ a _ _ _ _ _ _ b _ _
_ _ _ _ _ _ a a _ _ _ _ _ _ b _ _ _ _ _ _
_ _ a _ _ _ _ --> _ _ _ a _ _ _ --> _ _ _ b _ _ _
_ _ _ _ _ a _ _ _ _ _ _ _ a _ _ _ _ _ _ b
_ a _ _ _ _ _ _ _ a _ _ _ _ _ _ b _ _ _ _
_ _ _ _ a _ _ _ _ _ _ _ a _ _ _ _ _ _ b _
Now if we overlaid the SC of "a" with the SC of "b" we get
a b _ _ _ _ _
_ _ _ a b _ _
b _ _ _ _ _ a
_ _ a b _ _ _
_ _ _ _ _ a b
_ a b _ _ _ _
_ _ _ _ a b _
If we repeated these steps for the other five letters, we would arrive at a DLS
a b c d e f g
e f g a b c d
b c d e f g a
f g a b c d e
c d e f g a b
g a b c d e f
d e f g a b c
This is a DLS, since each SC follows the general requirements of a DLS
and shifting ensured that each element has its own cell.
Another thing to note is that each row contains the string "abcdefg" that is offset
by some cells. This leads to another simplification: we only need to find the
offsets of the string in every row and we are finished.
সর্বশেষ সরলীকরণটি নিম্নরূপ - এন = 2 বা এন = 3 ব্যতীত প্রাইম এন এর সমস্ত ডিএলএস তৈরি করা যেতে পারে, এবং এন যদি দুটি সংখ্যায় ভাগ করা যায় যার উপযুক্ত ডিএলএস তৈরি করা যায় তবে সেই এন এর একটি ডিএলএস পারে নির্মাণ করা। আমি অনুমান করি যে কনভার্সটিও ধারণ করে। (অন্য কথায় আমরা কেবল এন এর জন্য একটি ডিএলএস তৈরি করতে পারি যা 2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়)
Pretty obvious why 2x2 or 3x3 cant be made. For any other prime this can be done
by assigning a each consecutive row a shift that is by two bigger than the previous,
for N=5 and N=7 this looks like (with elements other than "a" ommited)
N=5
a _ _ _ _ offset = 0
_ _ a _ _ offset = 2
_ _ _ _ a offset = 4
_ a _ _ _ offset = 6 = 1 (mod 5)
_ _ _ a _ offset = 8 = 3 (mod 5)
N=7
a _ _ _ _ _ _ offset = 0
_ _ a _ _ _ _ offset = 2
_ _ _ _ a _ _ offset = 4
_ _ _ _ _ _ a offset = 6
_ a _ _ _ _ _ offset = 8 = 1 (mod 7)
_ _ _ a _ _ _ offset = 10 = 3 (mod 7)
_ _ _ _ _ a _ offset = 12 = 5 (mod 7
(Why this works on all prime N (actually all N that are not divisible
by 3 or 2) can probably be proven via some kind of induction but i will
omit that, this is just what my code uses and it works)
Now, the first composite number that is not
divisible by 2 or 3 is 25 (it also occurs in the range our program must test)
Let A denote the DLS of N = 5
a b c d e
d e a b c
b c d e a
e a b c d
c d e a b
Let F be the DLS A where each letter is substituted by the letter five postions after it
a-->f, b-->g etc. So F is
f g h i j
j e f g h
g h i j f
j f g h i
h i j f g
Let K be the DLS a where each letter is substituted by the letter ten postions after it
a-->k, b--> l etc.
Let P be defined likewise (so a-->p, b-->q etc)
Let U be defined likewise (so a-->u, b-->v etc)
Now, since the DLS A could be constructed, then by substituting a --> A, b--> F etc.
we get a DLS of N=5*5 (A has five rows and five columns and each is filled with a
grid of five rows and five columns)
A F K P U
P U A F K
F K P U A
U A F K P
K P U A F
Now since smaller DLS in the big DLS satisfies the
conditions of a DLS and the big one also satisfies the DLS conditions,
then the resulting grid is also a DLS
আমি ছোট - বড় ডিএলএস দিয়ে কী বোঝাতে চাইছি তার একটি চিত্র
Now this kind of thing works for all constructible N and can be proven similiarly.
I have a strong sense that the converse (if some N isnt constructible
(2 and 3) then no multiple of that N is constructible) is also true but have a hard time
proving it (test data up to N=30 (took a veeery long time to calculate) confirm it though)