সি
ভূমিকা
ডেভিড ক্যারাহারের মন্তব্য অনুসারে, ষড়ভুজ টাইলিং বিশ্লেষণের সহজতম উপায়টি 3 টি মাত্রিক ইয়ং ডায়াগ্রামের সাথে আইসোমর্ফিজমের সুবিধা গ্রহণ করা বলে মনে হয়েছে, মূলত একটি x, y বর্গ যার পূর্ণসংখ্যার উচ্চতার বারগুলিতে ভরা হবে অবশ্যই z উচ্চতা একই থাকবে বা বৃদ্ধি হবে z অক্ষটি যেমন পৌঁছেছে
আমি প্রকাশিত অ্যালগরিদমের চেয়ে প্রতিসাম্য গণনার জন্য অভিযোজনে আরও বেশি উপযুক্ত, মোটগুলি সন্ধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম দিয়ে শুরু করেছি, যা তিনটি কার্তেসিয়ান অক্ষের একটি পক্ষপাতিত্বের ভিত্তিতে রয়েছে।
অ্যালগরিদম
আমি এক্স, ওয়াই এবং জেড প্লেনের কোষগুলিকে 1 এর সাথে পূরণ করে শুরু করব, অন্যদিকে অঞ্চলে শূন্য রয়েছে। এটি হয়ে গেলে, আমি স্তর দ্বারা প্যাটার্ন স্তরটি তৈরি করি, প্রতিটি স্তর দিয়ে কোষগুলি থাকে যা থেকে সাধারণ 3 ডি ম্যানহাটনের দূরত্ব থাকে containing একটি কক্ষে কেবলমাত্র 1 থাকতে পারে যদি নীচের তিনটি কোষেও 1 থাকে them যদি তাদের কোনওটিতে 0 থাকে তবে তার পরে অবশ্যই সেলটি 0 হবে।
এই পদ্ধতিতে প্যাটার্নটি বাড়ানোর সুবিধাটি হ'ল প্রতিটি স্তরটি x = y = z লাইন সম্পর্কে প্রতিসম হয়। এর অর্থ প্রতিটি স্তরের প্রতিসাম্যের জন্য স্বাধীনভাবে চেক করা যায়।
প্রতিসম পরীক্ষা করা
শক্তির প্রতিসাম্যগুলি নিম্নরূপ: x = y = z লাইন সম্পর্কে 3 ভাঁজ ঘূর্ণন -> ষড়্ভুজ কেন্দ্রের প্রায় 3 ভাঁজ ঘোরানো; এবং x = y = z লাইন এবং প্রতিটি অক্ষের প্রতিটি x, y, z -> ষড়ভুজ কোণে লাইনগুলি সম্পর্কে প্রতিচ্ছবি যুক্ত 3 টি প্লেন সম্পর্কে 3 এক্স প্রতিচ্ছবি।
এটি কেবল 6 টি ভাগে প্রতিসাম্য যুক্ত করে। ষড়ভুজের সম্পূর্ণ প্রতিসাম্য পেতে, অন্য ধরণের প্রতিসাম্য বিবেচনা করতে হবে। প্রতিটি কঠিন (1 এর থেকে নির্মিত) এর পরিপূরক কঠিন (0 এর থেকে নির্মিত) থাকে। যেখানে এন বিজোড়, পরিপূরক কঠিনটি অবশ্যই মূল কঠিন থেকে আলাদা হতে হবে (কারণ তাদের পক্ষে একই সংখ্যক কিউব থাকা সম্ভব নয়)। তবুও যখন পরিপূরক শক্তটি গোলাকার হয়ে যায়, তখন দেখা যাবে যে হীরা টাইলিং হিসাবে এটির 2D প্রতিনিধিত্ব মূল শক্তির সাথে অভিন্ন (2-ভাঁজ প্রতিসাম্য অপারেশন বাদে) is যেখানে এন সমান, শক্তির পক্ষে স্ব-বিপরীত হওয়া সম্ভব।
এটি প্রশ্নের মধ্যে এন = 2 এর উদাহরণগুলিতে দেখা যাবে। বাম দিক থেকে যদি দেখা যায় তবে প্রথম ষড়জাগুলি 8 টি কিউবযুক্ত শক্ত ঘনক্ষেত্রের মতো দেখায়, শেষ ষড়জাগুলি 0 টি ছোট কিউবযুক্ত খালি শেলের মতো দেখায়। যদি ডান থেকে দেখা যায় তবে বিপরীতটি সত্য। 3 য়, চতুর্থ এবং 5 র্থ হেক্সাগন এবং 16 তম, 17 এবং 18 তম হেক্সাগনগুলি দেখতে 2 বা 6 কিউব রয়েছে বলে মনে হয় এবং তারা একে অপরের পরিপূরককে 3 টি মাত্রায় পরিপূরক করে। তারা 2-ভাগে প্রতিসাম্য ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে 2 টি মাত্রায় একে অপরের সাথে সম্পর্কিত (2 ভাঁজ ঘূর্ণন, বা ষড়্ভুজগুলির প্রান্তগুলির মধ্য দিয়ে একটি অক্ষ সম্পর্কে প্রতিচ্ছবি।) অন্যদিকে 9 ম, 10 তম, 11 তম এবং 12 তম ষড়ভুজগুলি 3 ডি প্যাটার্ন দেখায় যা তাদের নিজস্ব পরিপূরক, এবং সেইজন্য উচ্চতর প্রতিসাম্য রয়েছে (এ কারণেই বিজোড় সংখ্যাবৃদ্ধির একমাত্র নিদর্শন)।
মনে রাখবেন (এন ^ 3) / 2 কিউব থাকা স্ব পরিপূরক হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত, তবে সাধারণভাবে এন> 2 হলে এটি পর্যাপ্ত শর্ত নয়। এই সমস্তটির ফলস্বরূপ যে বিজোড় এন এর জন্য, ঝুঁকি সর্বদা জোড়া হয় (এন ^ 3) / 2 কিউবগুলি অবশ্যই সাবধানে পরীক্ষা করা উচিত।
বর্তমান কোড (এন = 1,2,3,5 এর জন্য সঠিক মোট উত্পন্ন করে N এন = 4 এর জন্য আলোচিত হিসাবে ত্রুটি))
int n; //side length
char t[11][11][11]; //grid sized for N up to 10
int q[29][192], r[29]; //tables of coordinates for up to 10*3-2=28 layers
int c[9]; //counts arrangements found by symmetry class. c[8] contains total.
//recursive layer counting function. m= manhattan distance, e= number of cells in previous layers, s=symmetry class.
void f(int m,int e,int s){
int u[64], v[64], w[64]; //shortlists for x,y,z coordinates of cells in this layer
int j=0;
int x,y,z;
for (int i=r[m]*3; i; i-=3){
// get a set of coordinates for a cell in the current layer.
x=q[m][i-3]; y= q[m][i-2]; z= q[m][i-1];
// if the three cells in the previous layer are filled, add it to the shortlist u[],v[],w[]. j indicates the length of the shortlist.
if (t[x][y][z-1] && t[x][y-1][z] && t[x-1][y][z]) u[j]=x, v[j]=y, w[j++]=z ;
}
// there are 1<<j possible arrangements for this layer.
for (int i = 1 << j; i--;) {
int d = 0;
// for each value of i, set the 1's bits of t[] to the 1's bits of i. Count the number of 1's into d as we go.
for (int k = j; k--;) d+=(t[u[k]][v[k]][w[k]]=(i>>k)&1);
// we have no interest in i=0 as it is the empty layer and therefore the same as the previous recursion step.
// Still we loop through it to ensure t[] is properly cleared.
if(i>0){
int s1=s; //local copy of symmetry class. 1's bit for 3 fold rotation, 2's bit for reflection in y axis.
int sc=0; //symmetry of self-complement.
//if previous layers were symmetrical, test if the symmetry has been reduced by the current layer
if (s1) for (int k = j; k--;) s1 &= (t[u[k]][v[k]][w[k]]==t[w[k]][u[k]][v[k]]) | (t[u[k]][v[k]][w[k]]==t[w[k]][v[k]][u[k]])<<1;
//if exactly half the cells are filled, test for self complement
if ((e+d)*2==n*n*n){
sc=1;
for(int A=1; A<=(n>>1); A++)for(int B=1; B<=n; B++)for(int C=1; C<=n; C++) sc&=t[A][B][C]^t[n+1-A][n+1-B][n+1-C];
}
//increment counters for total and for symmetry class.
c[8]++; c[s1+(sc<<2)]++;
//uncomment for graphic display of each block stacking with metadata. not recommended for n>3.
//printf("m=%d j=%d i=%d c1=%d-2*%d=%d c3=%d cy=%d(cs=%d) c3v=%d ctot=%d\n",m,j,i,c[0],c[2],c[0]-2*c[2],c[1],c[2],c[2]*3,c[3],c[8]);
//printf("m=%d j=%d i=%d C1=%d-2*%d=%d C3=%d CY=%d(CS=%d) C3V=%d ctot=%d\n",m,j,i,c[4],c[6],c[4]-2*c[6],c[5],c[6],c[6]*3,c[7],c[8]);
//for (int A = 0; A<4; A++, puts(""))for (int B = 0; B<4; B++, printf(" "))for (int C = 0; C<4; C++) printf("%c",34+t[A][B][C]);
//recurse to next level.
if(m<n*3-2)f(m + 1,e+d,s1);
}
}
}
main()
{
scanf("%d",&n);
int x,y,z;
// Fill x,y and z planes of t[] with 1's
for (int a=0; a<9; a++) for (int b=0; b<9; b++) t[a][b][0]= t[0][a][b]= t[b][0][a]= 1;
// Build table of coordinates for each manhattan layer
for (int m=1; m < n*3-1; m++){
printf("m=%d : ",m);
int j=0;
for (x = 1; x <= n; x++) for (y = 1; y <= n; y++) {
z=m+2-x-y;
if (z>0 && z <= n) q[m][j++] = x, q[m][j++] = y, q[m][j++]=z, printf(" %d%d%d ",x,y,z);
r[m]=j/3;
}
printf(" : r=%d\n",r[m]);
}
// Set count to 1 representing the empty box (symmetry c3v)
c[8]=1; c[3]=1;
// Start searching at f=1, with 0 cells occupied and symmetry 3=c3v
f(1,0,3);
// c[2 and 6] only contain reflections in y axis, therefore must be multiplied by 3.
// Similarly the reflections in x and z axis must be subtracted from c[0] and c[4].
c[0]-=c[2]*2; c[2]*=3;
c[4]-=c[6]*2; c[6]*=3;
int cr[9];cr[8]=0;
printf("non self-complement self-complement\n");
printf("c1 %9d/12=%9d C1 %9d/6=%9d\n", c[0], cr[0]=c[0]/12, c[4], cr[4]=c[4]/6);
if(cr[0]*12!=c[0])puts("c1 division error");if(cr[4]*6!=c[4])puts("C1 division error");
printf("c3 %9d/4 =%9d C3 %9d/2=%9d\n", c[1], cr[1]=c[1]/4, c[5], cr[5]=c[5]/2);
if(cr[1]*4!=c[1])puts("c3 division error");if(cr[5]*2!=c[5])puts("C3 division error");
printf("cs %9d/6 =%9d CS %9d/3=%9d\n", c[2], cr[2]=c[2]/6, c[6], cr[6]=c[6]/3);
if(cr[2]*6!=c[2])puts("cs division error");if(cr[6]*3!=c[6])puts("CS division error");
printf("c3v %9d/2 =%9d C3V %9d/1=%9d\n", c[3], cr[3]=c[3]/2, c[7], cr[7]=c[7]);
if(cr[3]*2!=c[3])puts("c3v division error");
for(int i=8;i--;)cr[8]+=cr[i];
printf("total =%d unique =%d",c[8],cr[8]);
}
আউটপুট
শক্তির 8 টি প্রতিসাম্য অনুসারে প্রোগ্রামটি 8 টি এন্ট্রিগুলির একটি আউটপুট টেবিল উত্পন্ন করে। শক্তিতে নিম্নোক্ত 4 টি প্রতিসাম্য থাকতে পারে (স্নোফ্লাইস স্বরলিপি)
c1: no symmetry
c3: 3-fold axis of rotation (produces 3-fold axis of rotation in hexagon tiling)
cs: plane of reflection (produces line of reflection in hexagon tiling)
c3v both of the above (produces 3-fold axis of rotation and three lines of reflection through the hexagon corners)
অতিরিক্তভাবে, যখন কঠিনটির 1 এর অর্ধেক এবং 0 এর সাথে অর্ধেক কোষ থাকে, তখন 1 এবং 0 এর সমস্তগুলি উল্টিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা থাকে, তারপরে ঘনক্ষেত্রের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী স্থানাঙ্কগুলিকে উল্টো করে দেয়। এটাকে আমি স্ব-পরিপূরক বলছি, তবে আরও গাণিতিক শব্দটি হবে "বিপর্যয়ের কেন্দ্রের প্রতি সম্মান সহকারে অ্যান্টিসিমমেট্রিক"।
এই প্রতিসাম্য ক্রিয়াকলাপটি ষড়ভুজ টাইলিংয়ে ঘূর্ণনের 2-গুণ অক্ষ দেয়।
যে প্যাটার্নগুলির এই প্রতিসাম্যতা রয়েছে সেগুলি একটি পৃথক কলামে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। এগুলি কেবল যেখানে এন সমান হয় occur
আমার গণনা N = 4 এর জন্য কিছুটা বন্ধ বলে মনে হচ্ছে। পিটার টেইলরের সাথে আলোচনায় এটি প্রদর্শিত হয় যে আমি এমন টিলিংসগুলি সনাক্ত করতে পারছি না যেগুলি কেবল ষড়ভুজ প্রান্তের মধ্য দিয়ে একটি লাইনের প্রতিসাম্য রয়েছে। এটি সম্ভবত এটি কারণ আমি (বিপর্যয়) এক্স (পরিচয়।) অপারেটনগুলির জন্য স্ব পরিপূরক (বিপরীত) এক্স (প্রতিবিম্ব) এবং (বিপরীত) এক্স (3-ভাঁজ ঘূর্ণন) ছাড়া অন্য ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য স্ব পরিপূরক (অ্যান্টিসিমমেট্রি) পরীক্ষা করিনি because ) অনুপস্থিত প্রতিসাম্যগুলি উদঘাটন করতে পারে। আমি তখন এন = 4 এর জন্য ডেটার প্রথম লাইনটি দেখতে (সি 1 তে 16 কম এবং সি 1 তে 32 টি বেশি) দেখতে আশা করব:
c1 224064/12=18672 C1 534/6=89
এটি পিটারের উত্তর এবং https://oeis.org/A066931/a066931.txt এর সাথে মিল রেখে মোটের পরিমাণ নিয়ে আসবে
বর্তমান আউটপুট নিম্নরূপ:
N=1
non self-complement self-complement
c1 0/12= 0 C1 0/6= 0
c3 0/4 = 0 C3 0/2= 0
cs 0/6 = 0 CS 0/3= 0
c3v 2/2 = 1 C3V 0/1= 0
total =2 unique =1
non self-complement self-complement
N=2
c1 0/12= 0 C1 0/6= 0
c3 0/4 = 0 C3 0/2= 0
cs 12/6 = 2 CS 3/3= 1
c3v 4/2 = 2 C3V 1/1= 1
total =20 unique =6
N=3
non self-complement self-complement
c1 672/12=56 C1 0/6= 0
c3 4/4 = 1 C3 0/2= 0
cs 288/6 =48 CS 0/3= 0
c3v 16/2 = 8 C3V 0/1= 0
total =980 unique =113
N=4 (errors as discussed)
non self-complement self-complement
c1 224256/12=18688 C1 342/6=57
c3 64/4 =16 C3 2/2= 1
cs 8064/6 =1344 CS 54/3=18
c3v 64/2 =32 C3V 2/1= 2
total =232848 unique =20158
N=5
non self-complement self-complement
c1 266774112/12=22231176 C1 0/6= 0
c3 1100/4 =275 C3 0/2= 0
cs 451968/6 =75328 CS 0/3= 0
c3v 352/2 =176 C3V 0/1= 0
total =267227532 unique =22306955
করণীয় তালিকা (আপডেট করা)
সজ্জিত বর্তমান কোড।
হয়ে গেছে, কমবেশি
বর্তমান স্তরটির জন্য প্রতিসম চেকিং প্রয়োগ করুন, এবং পূর্ববর্তী স্তরের প্রতিসাম্যটির জন্য একটি প্যারামিটার পাস করুন (শেষ স্তরটি অসমমিত ছিল কিনা তা খতিয়ে দেখার কোনও দরকার নেই)
সম্পন্ন, বিজোড় এন এর ফলাফল প্রকাশিত ডেটার সাথে সম্মত
অসমসংখ্যার পরিসংখ্যান গণনা দমন করতে একটি বিকল্প যুক্ত করুন (আরও দ্রুত চালানো উচিত)
পুনরাবৃত্তি কলটিতে অন্য শর্ত যুক্ত করে এটি করা যেতে পারে: if(s1 && m<n*3-2)f(m + 1,e+d,s1)এটি এন = 5 এর জন্য রান সময়কে 5 মিনিট থেকে প্রায় এক সেকেন্ডে হ্রাস করে। ফলস্বরূপ আউটপুট প্রথম লাইন মোট আবর্জনা হয়ে ওঠে (সামগ্রিক মোট হিসাবে) কিন্তু মোট ইতিমধ্যে OEIS থেকে জানা থাকলে কমপক্ষে বিজোড় এন এর জন্য অসমিত পরিমাণের সংখ্যার পুনর্গঠন করা যেতে পারে least
তবে এমনকি এন এর জন্য, অসম্পূর্ণ সংখ্যার (সি 3 ভি প্রতিসাম্য অনুসারে) স্ব-পরিপূরকযুক্ত সলিডগুলি হারিয়ে যাবে। এই ক্ষেত্রে, ঠিক 1 (ন ** 3) / 2 কোষ সহ সলিডকে উত্সর্গ করা একটি পৃথক প্রোগ্রাম কার্যকর হতে পারে। এটি উপলব্ধ (এবং সঠিকভাবে গণনা করা) এর সাথে এন = 6 চেষ্টা করা সম্ভব হতে পারে তবে এটি চালাতে অনেক সময় লাগবে।
(N ^ 3) / 2 কিউব্যাক্স পর্যন্ত অনুসন্ধান কমাতে ঘর গণনা কার্যকর করুন।
সম্পন্ন হয়নি, সঞ্চয় প্রান্তিক হবে বলে আশা করা হচ্ছে
হুবহু (এন ^ 3) / 2 কিউবযুক্ত নিদর্শনগুলির জন্য প্রতিসম (পরিপূরক কঠিন) চেকিং প্রয়োগ করুন।
সম্পন্ন হয়েছে তবে মনে হচ্ছে বাদ পড়েছে, দেখুন এন = 4।
অ্যাসিমেট্রিকাল একটি থেকে রক্ষিতভাবে সর্বনিম্ন চিত্র বেছে নেওয়ার একটি উপায় সন্ধান করুন।
সঞ্চয়গুলি দুর্দান্ত হওয়ার আশা করা যায় না। অসমসংখ্যার পরিসংখ্যানকে দমন করা এগুলির বেশিরভাগ সরিয়ে দেয়। একমাত্র প্রতিবিম্ব যা যাচাই করা হয় তা হল y অক্ষের মাধ্যমে বিমান (x এবং z পরে 3 দ্বারা গুণ করে গণনা করা হয়)) কেবলমাত্র ঘূর্ণমান প্রতিসাম্যযুক্ত চিত্রগুলি তাদের উভয় এন্যানটিওমেরিক ফর্মে গণনা করা হয়। কেবলমাত্র একজনকে গণনা করা হলে এটি প্রায় দ্বিগুণ দ্রুত চলবে।
এটির সুবিধার্থে, প্রতিটি স্তরের স্থানাঙ্কগুলি তালিকাভুক্ত করার পদ্ধতিটি সম্ভবত উন্নত করুন (তারা স্তরটির সঠিক কেন্দ্রে সম্ভবত 1 এর একটি গ্রুপ সহ 6 বা 3 এর অধঃপতন গ্রুপ গঠন করেন))
আকর্ষণীয় তবে সম্ভবত অন্বেষণ করার জন্য সাইটে অন্যান্য প্রশ্ন রয়েছে।
N = 610 ^ 12 এরও বেশি আউটপুট দেয়, তাই অ-গঠনমূলক সমাধানটি প্রায় অবশ্যই পাওয়া দরকার।