জর্ডান পচন

Question

গুরুত্বপূর্ণ দ্রষ্টব্য : যেহেতু এই চ্যালেঞ্জটি কেবল বর্গীয় ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যে কোনও সময় আমি "ম্যাট্রিক্স" শব্দটি ব্যবহার করি না কেন, এটি ধরে নেওয়া হয় যে আমি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের কথা উল্লেখ করছি। আমি ব্রিভিটির পক্ষে "বর্গক্ষেত্র" বর্ণনাটি ছেড়ে দিচ্ছি।

পটভূমি

অনেকগুলি ম্যাট্রিক্স-সম্পর্কিত ক্রিয়াকলাপ যেমন নির্ধারণকারীকে গণনা করা, লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করা বা ম্যাট্রিকগুলিতে স্কেলার-মূল্যবান ফাংশনগুলি প্রসারিত করা একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সহজ করা হয় (যার উপাদানগুলি মূল তিরুঙ্গে থাকে না 0) যা একই রকম (অর্থাত, ইনপুট ম্যাট্রিক্স জন্য মূল ম্যাট্রিক্স থেকে Aএবং তির্যক ম্যাট্রিক্স D, কিছু বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান Pযেমন যে D = P^(-1) * A * P; এছাড়াও, Dএবং Aকিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য eigenvalues, নির্ধারক, এবং ট্রেস মত ভাগ করুন)। স্বতন্ত্র ইগেনভ্যালু সহ ম্যাট্রিকের জন্য (ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুভুটির মূলগুলি, সমাধান করে দেওয়া det(A-λI) = 0হয়েছে λ, যেখানে Iএকই মাত্রার সাথে পরিচয় ম্যাট্রিক্স রয়েছে A), তির্যকটি সহজ:Dমূল তির্যকটিতে ইগেনভ্যালুগুলির সাথে একটি ম্যাট্রিক্স, এবং Pসেই ইগেনভ্যালুগুলির সাথে মিলিত (একই ক্রমে) ইগেনভেেক্টরগুলি থেকে গঠিত একটি ম্যাট্রিক্স। এই প্রক্রিয়াটিকে আইজেন্ডেকম্পেশন বলা হয় ।

তবে, বারবার ইগেনুয়ালুগুলি সহ ম্যাট্রিকগুলি এই পদ্ধতিতে তির্যক করা যায় না। ভাগ্যক্রমে, জর্ডানের যে কোনও ম্যাট্রিক্সের স্বাভাবিক ফর্মটি সহজেই গণনা করা যায়, এবং নিয়মিত তির্যক ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করা খুব বেশি কঠিন নয়। এটিতে দুর্দান্ত সম্পত্তিও রয়েছে যে, যদি ইগেনভ্যালুগুলি অনন্য হয় তবে জর্দানের পচাটি ইজেন্ডেকম্পোজিশনের সমান।

জর্ডানের পচনের বিষয়টি ব্যাখ্যা করা হয়েছে

বর্গক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্সের জন্য Aযার ইগেনাল্যুয়াসগুলির সকলের 1 টির জ্যামিতিক গুণন রয়েছে, জর্ডান পচন প্রক্রিয়াটি এইভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে:

1. বারে বারে eigenvalues ​​ধারাবাহিকভাবে উপস্থিত হওয়ার সাথে বহুগুণ সহ, λ = {λ_1, λ_2, ... λ_n}এর ইগেনভ্যালুগুলির তালিকা হওয়া যাক A।
2. একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন Jযার উপাদানগুলি λএকই ক্রমে উপাদান are
3. 1 এর চেয়ে বেশি গুণিতক সহ প্রতিটি ইগন্যালুয়ালের 1জন্য J, শেষ ব্যতীত, মূল ত্রিভুজটিতে ইগেনভ্যালুটির প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ডানদিকে একটি স্থান দিন ।

ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্স Jএকটি জর্দানের স্বাভাবিক ফর্ম A(ইগেনভ্যালুগুলির ক্রমের উপর নির্ভর করে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের জন্য একাধিক জর্ডান সাধারণ ফর্ম থাকতে পারে)।

একটি কাজের উদাহরণ

Aনিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স হতে দিন :

Aবহুগুণ সহ, এর ইগন্যালুগুলি হয় λ = {1, 2, 4, 4}। এগুলি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সে রেখে, আমরা এই ফলাফলটি পেয়েছি:

এরপরে, আমরা 1পুনরাবৃত্ত ইগেনাল্যুগুলির প্রত্যেকটির একটি ব্যতীত সকলের ডানদিকে রাখি। যেহেতু 4একমাত্র পুনরাবৃত্ত ইগেনুয়ালু, তাই আমরা 1প্রথম 4 এর পাশে একটি একক রাখি:

এটি জর্ডানের একটি সাধারণ ফর্ম A(একক ম্যাট্রিক্সে বেশ কয়েকটি বৈধ জর্দানের স্বাভাবিক ফর্ম থাকতে পারে, তবে ব্যাখ্যাটির উদ্দেশ্যে আমি সেই বিশদটি নিয়ে চকচকে করছি)।

কাজটি

Aইনপুট হিসাবে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স দেওয়া , এর একটি বৈধ জর্ডান স্বাভাবিক ফর্ম আউটপুট A।

• ইনপুট এবং আউটপুট যে কোনও যুক্তিসঙ্গত বিন্যাসে হতে পারে (2 ডি অ্যারে / তালিকা / যাই হোক না কেন, তালিকা / অ্যারে / কলাম বা সারি ভেক্টর যাই হোক না কেন, একটি বিল্টিন ম্যাট্রিক্স ডেটা টাইপ ইত্যাদি)।
• এর উপাদান এবং ইগেনালুগুলি Aসর্বদা ব্যাপ্তির মধ্যে পূর্ণসংখ্যার হবে [-200, 200]।
• সরলতার স্বার্থে, ইগেনভ্যালুগুলির সকলেরই একটি জ্যামিতিক গুণন হবে 1 (এবং এইভাবে উপরের প্রক্রিয়াটি ধারণ করে)।
• A সর্বাধিক 10x10 ম্যাট্রিক্স এবং কমপক্ষে 2x2 ম্যাট্রিক্স হবে।
• যে বিল্টিনগুলি ইগেনভ্যালুগুলি এবং / অথবা আইজেনভেেক্টরগুলি গণনা করে বা আইজেন্ডেকম্পোজিশন করে, জর্ডান পচন বা অন্য কোনও ধরণের পচন / তির্যককরণের অনুমতি দেয় না। ম্যাট্রিক্স গাণিতিক, ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণ এবং অন্যান্য ম্যাট্রিক্স বিল্টিনগুলি অনুমোদিত।

পরীক্ষার মামলা

[[1, 0], [0, 1]] -> [[1, 1], [0, 1]]
[[3, 0], [0, 3]] -> [[1, 1], [0, 1]]
[[4, 2, 2], [1, 2, 2],[0, 3, 3]] -> [[6, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 0]]
[[42, 48, 40, 64, 64], [41, 47, 31, 58, 42], [-55, -47, -27, -74, -46], [-46, -58, -46, -70, -68], [30, 20, 12, 34, 18]] -> [[10, 0, 0, 0, 0], [0, -18, 0, 0, 0], [0, 0, 6, 1, 0], [0, 0, 0, 6, 1], [0, 0, 0, 0, 6]]

Answer 1

গণিত, 140 139 105 বাইট

Total[DiagonalMatrix@@@{{#},{1-Sign[Differences@#^2],1}}]&@(x/.Solve[#~CharacteristicPolynomial~x==0,x])&

আমি সবেমাত্র বিল্টিনটি পেয়েছি DiagonalMatrixযা সুপারডিজোনাল বরাবর 0 এবং 1 গুলি রাখার সহজ উপায়ের অনুমতি দেয়।

ব্যবহার

Comments

কি হবে Last@JordanDecomposition@#&? নাকি এটা প্রতারণা করছে?

— রুসলান

@ রাস্লান হ্যাঁ, একটি নিয়ম হ'ল জর্ডান পচে যাওয়া বিল্টিনগুলি অনুমোদিত নয়। ধন্যবাদ যদিও.

— মাইল 13

Answer 2

সেজ, 79 বাইট

lambda A:block_diagonal_matrix([jordan_block(*r)for r in A.charpoly().roots()])

এটি অনলাইনে চেষ্টা করুন

যেহেতু অন্য কেউ সমাধান পোস্ট করছেন না, তাই আমিও এগিয়ে যেতে এবং একটি পোস্ট করতে পারি।

A.charpoly.roots()এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী A(ওরফে ইগেনভ্যালুস এবং বহুগুণ) এর শিকড়গুলি (এবং বীজগণিতীয় গুণাগুণ) গণনা করে । jordan_blockপ্রদত্ত মূল এবং গুণক থেকে জর্ডান ব্লক তৈরি করে। block_diagonal_matrixত্রিভুজটিতে জর্ডান ব্লকগুলির সাথে একটি ম্যাট্রিক্স গঠন করে যা জর্দানের স্বাভাবিক ফর্মের ঠিক সংজ্ঞা।

Answer 3

জে , 78 71 বাইট

1(#\.|."_1#{."1],.2=/\,&_)@>@{[:p.@>[:-&.>/ .(+//.@(*/)&.>)],&.>[:-@=#\

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

এই কাজের দুটি চ্যালেঞ্জিং অংশ, এগেনভ্যালুগুলি পাওয়া এবং তির্যক সম্পাদন করা, উভয়ই সমান সংখ্যক বাইট গ্রহণ করা শেষ করে। এগুলি বিধি দ্বারা অনুমোদিত নয় তবে যদি কোনও কৌতূহলী হয় তবে জে কিউআর পচন ( 128!:0) পাশাপাশি ল্যাপাক অ্যাডনগুলির জন্য বিল্টিনস তৈরি করেছেন যা ইগেনালুয়েসগুলি সন্ধান করতে ব্যবহৃত হতে পারে।

ব্যাখ্যা (পুরানো)

এই ক্রিয়াটির দুটি প্রধান অংশ রয়েছে: ইগেনভ্যালুগুলি সন্ধান করা এবং তির্যক সম্পাদন করা। প্রথমে, এগেনভ্যালুগুলি সন্ধান করতে, ইনপুট ম্যাট্রিক্সের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদীগুলির শিকড়গুলি সন্ধান করতে হবে। উদাহরণ থেকে একই ইনপুট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে,

   ] m =: _4 ]\ 5 4 2 1 0 1 _1 _1 _1 _1 3 0 1  1 _1 2
 5  4  2  1
 0  1 _1 _1
_1 _1  3  0
 1  1 _1  2

| ম্যাট্রিক্স এম এর জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুভুজটি ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া যাবে এম - λআই | = 0 যেখানে আমি এম এর মতো একই মাত্রাগুলির সাথে পরিচয় ম্যাট্রিক্স । অভিব্যক্তি এম - λI জে মধ্যে অনুকরণে করা যাবে প্রতিটি উপাদান বক্সিং দ্বারা এম সঙ্গে একটি -1 যদি এটা অন্য তির্যক হয় অন্যথায় একটি 0. প্রতিটি বক্স সহগ আকারে একটি বহুপদী প্রতিনিধিত্ব করে।

   (],&.>[:-@=#\) m
┌────┬────┬────┬────┐
│5 _1│4 0 │2 0 │1 0 │
├────┼────┼────┼────┤
│0 0 │1 _1│_1 0│_1 0│
├────┼────┼────┼────┤
│_1 0│_1 0│3 _1│0 0 │
├────┼────┼────┼────┤
│1 0 │1 0 │_1 0│2 _1│
└────┴────┴────┴────┘

জেতে নির্ধারকটি -/ .*অবশ্য সংখ্যায় পরিচালিত হয়, বাক্সযুক্ত বহুভুজ নয়। গুণনের পরিবর্তে, বহুপদী পণ্য প্রয়োজন যা কনভলিউশন ( [:+//.*/) ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া যায় । ভাঁজ বিয়োগফল এখনও ব্যবহৃত হয়, এবং এই দুটি ক্রিয়া বাক্সের মধ্যেই পরিচালনা করতে হবে সুতরাং ( &.) আনবক্স ( >) এর অধীনে ব্যবহৃত হয়।

   ([:-&.>/ .(+//.@(*/)&.>)],&.>[:-@=#\) m0
┌───────────────┐
│32 _64 42 _11 1│
└───────────────┘

এগুলি হ'ল বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুবর্ষের সহগ। শিকড়গুলি ব্যবহার করে সন্ধান করা যেতে পারে p.যা গুণফল এবং শিকড়ের ফর্মগুলির মধ্যে বহুবর্ষের প্রতিনিধিত্বকে রূপান্তর করে।

   ([:p.@>[:-&.>/ .(+//.@(*/)&.>)],&.>[:-@=#\) m0
┌─┬───────┐
│1│4 4 2 1│
└─┴───────┘

শিকড়গুলি [4, 4, 2, 1]এবং সেগুলি হ'ল এম ।

দ্বিতীয়ত, তির্যকটি সম্পাদন করতে হবে। প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন জোড় সাম্যের জন্য পরীক্ষা করা হয়।

   (2=/\]) 4 4 2 1
1 0 0

একটি শূন্য যুক্ত করা হয় এবং সেই মানগুলি ইগেনভ্যালুগুলির সাথে একত্রিত হয়।

   (],.0,~2=/\]) 4 4 2 1
4 1
4 0
2 0
1 0

তারপরে প্রতিটি সারিতে বর্গক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্স গঠনের জন্য ইগেনভ্যালুগুলির সংখ্যার সমান দৈর্ঘ্যে প্যাড করা হবে।

   (#{."1],.0,~2=/\]) 4 4 2 1
4 1 0 0
4 0 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0

অবশেষে প্রতিটি সারি ডানদিকে সরে যাওয়া এবং বামদিকে শূন্যগুলি প্রবেশ করানোর সাথে ডানদিকে সরানো হবে। প্রথম সারিতে শূন্য বার, দ্বিতীয়বার একবার, তৃতীয়বার দু'বার স্থানান্তরিত হয়।

   (-@i.@#|.!.0"_1#{."1],.0,~2=/\]) 4 4 2 1
4 1 0 0
0 4 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1

আউটপুট হ'ল এম এর জর্ডান পচন ।

Answer 4

অক্টাভা , 60 বাইট

@(a)diag(1-sign(diff(v=round(roots(poly(a)))).^2),1)+diag(v)

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

আমার গাণিতিক সমাধানের একটি বন্দর ।

Answer 5

এমএটিএল , ২৯ বাইট, প্রতিদ্বন্দ্বী

1$Yn1$ZQYotdUZS~0hXdF1hYSwXd+

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

এটি আমার প্রথম এমএটিএল জমা দেওয়া তাই উন্নতি হতে বাধ্য। আমি কাটিয়েছি যখন এটি শেখার এবং শুধুমাত্র শেষে আমার মনে আছে যে, এই শক্তি মে 7, 2016. নিশ্চিত যথেষ্ট থেকে MATL ব্যবহার করছেন না কাজ করেছি, আমি উপান্ত্য চেক আউট কমিট যে দিন এবং এটি চালাতে না হয়নি।

আমি ব্যবহার করতে পছন্দ করতাম diagতবে মনে হয় এমএটিএল কেবলমাত্র একক যুক্তির সংস্করণকে সমর্থন করে। দ্বিতীয় আর্গুমেন্টটি সুপারডিজোনাল (বা বিভিন্ন সমস্যার জন্য অন্য কোনও ত্রিভুজ) বরাবর মান স্থাপনের প্রয়োজন হবে।