মার্টেনস ফাংশনটি গণনা করুন

Question

একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n দেওয়া হয়েছে , যেখানে Mertens ফাংশন M ( n ) এর মান গণনা করুন

এবং μ ( ট ) হল Möbius ফাংশন যেখানে μ ( ট ) = 1 যদি ট স্বতন্ত্র মৌলিক উত্পাদক একজন জোড় সংখ্যা আছে, -1 যদি ট স্বতন্ত্র মৌলিক উত্পাদক একটি বিজোড় সংখ্যা আছে, এবং 0 যদি মৌলিক উত্পাদক না স্বতন্ত্র হয়।

• এই কোড-গলফ তাই একটি ফাংশন বা প্রোগ্রাম একটি ইনপুট পূর্ণসংখ্যা জন্য Mertens ফাংশন নির্ণয় যে জন্য সবচেয়ে কম কোড তৈরি এন > 0।
• এটি OEIS ক্রম A002321 ।

পরীক্ষার মামলা

n M(n)
1 1
2 0
3 -1
4 -1
5 -2
6 -1
7 -2
8 -2
9 -2
10 -1
117 -5
5525 5
7044 -25
8888 4
10000 -23

Comments

নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত

— পিটার টেলর

আমরা কি 1 এর পরিবর্তে সত্য ফিরিয়ে দিতে পারি ? প্রাসঙ্গিক মেটা আলোচনা: বুলিয়ানদের যেখানে একটি নম্বর প্রয়োজন সেখানে অনুমতি দেওয়া উচিত?

— ডেনিস

@ ডেনিস শিওর যদি আপনার ভাষাটি সত্য হিসাবে ব্যাখ্যা করে

— মাইল

Answer 1

জেলি , 6 বাইট

:Ḋ߀SC

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন! বা ছোট পরীক্ষার কেস যাচাই করুন । (কিছুক্ষণ সময় নেয়)

পটভূমি

এটি সম্পত্তি ব্যবহার করে

A002321 থেকে , যা নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্ত সূত্রের দিকে নিয়ে যায়।

কিভাবে এটা কাজ করে

:Ḋ߀SC  Main link. Argument: n

 Ḋ      Dequeue; yield [2, ..., n].
:       Perform the integer division of n by each k in [2, ..., n].
  ߀    Recursively call the main link on each result.
    S   Sum; add the results from the recursive calls.
     C  Complement; map the sum r to 1 - r.

Answer 2

গণিত, 22 20 বাইট

2 মাইট সংরক্ষণের জন্য @ মাইলসকে ধন্যবাদ।

Tr@*MoebiusMu@*Range

ব্যাখ্যা

Range

ইনপুট থেকে 1 টি তালিকা তৈরি করুন।

MoebiusMu

MoebiusMuপ্রতিটি সংখ্যা খুঁজুন

Tr

ফলাফলের সমষ্টি করুন।

Comments

আমি পছন্দ করি যে কীভাবে ম্যাথামেটিকার প্রতিটি কিছুর জন্য একটি অন্তর্নির্মিত বিষয় রয়েছে তবে এটি সাধারণত গল্ফের ভাষার চেয়ে দীর্ঘতর। = ডি

— ডিজেএমসিএমহেম

Mthmca এর জন্য আর একটি কল, ম্যাথমেটিকার কমান্ড-নাম-দৈর্ঘ্য-অনুকূলিত সংস্করণ।

— মাইকেল স্টার্ন

Answer 3

পাইথন 2, 45 37 বাইট

f=lambda n,k=2:n<k or f(n,k+1)-f(n/k)

আইডিয়নে এটি পরীক্ষা করুন ।

পটভূমি

এটি সম্পত্তি ব্যবহার করে

A002321 থেকে , যা নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্ত সূত্রের দিকে নিয়ে যায়।

কিভাবে এটা কাজ করে

আমরা কেবল উদ্ধৃতিগুলির জন্য এম গণনা করতে পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করি না , পাশাপাশি সেই চিত্রগুলির যোগফলও গণনা করতে পারি। এটি নিম্নরূপে 8 টি বাইট সংরক্ষণ করে, সরাসরি বাস্তবায়ন করে implementation

M=lambda n:1-sum(M(n/k)for k in range(2,n+1))

যখন f কে একটি একক আর্গুমেন্ট n দিয়ে ডাকা হয় , option চ্ছিক আর্গুমেন্ট k কে 2 এ ডিফল্ট করে ।

যদি এন = 1 হয় , তবে সত্যn<k ফলন হয় এবং চ এই মানটি প্রদান করে। এটি আমাদের বেস কেস।

যদি এন> 1 , n<kপ্রাথমিকভাবে মিথ্যা প্রদান করে এবং নিম্নলিখিত কোডটি orকার্যকর করা হয়। f(n/k)পুনরাবৃত্তির সাথে যোগফলের একটি শর্ত গণনা করে, যা এর ফেরতের মান থেকে বিয়োগ করা হয় f(n,k+1)। উত্তরোত্তর বৃদ্ধিগুলি কে এবং পুনরাবৃত্তভাবে চ কল করে , যাতে কে এর সম্ভাব্য মানগুলির উপর পুনরাবৃত্তি হয় । একবার এন <কে + 1 বা এন = 1 , পুনরাবৃত্তি শেষ করে 1f(n,k+1) ফিরে আসবে ।

Comments

বাহ, এটি মবিয়াস বাস্তবায়নের চেয়েও খাটো। কোডগল্ফ.স্ট্যাককেঞ্জেনজিও

— 70024/

অনেক খাটো। :) এখন, যাইহোক।

— ডেনিস

Answer 4

05 এ বি 1 ই , 16 15 বাইট

LÒvX(ygmyyÙïQ*O

ব্যাখ্যা

L        # range [1 .. n]
Ò        # list of prime factors for each in list
v        # for each prime factor list
 X(ygm   # (-1)^len(factors)
 yyÙïQ*  # multiplied by factors == (unique factors)
 O       # sum

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

Answer 5

ব্র্যাচল্যাগ , 22 20 বাইট

yb:1a+
$p#dl:_1r^|,0

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

ব্যাখ্যা

yb                 The list [1, 2, …, Input]
  :1a              Apply predicate 1 (second line) to each element
     +             Sum the resulting list


    $p#d               All elements of the list of prime factors of the Input are distinct
        l:_1r^         Output = (-1)^(<length of the list of prime factors>)
|                  Or
    ,0                 Output = 0

Answer 6

জেলি , 9 বাইট

RÆFỊNP€FS

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন! অথবা সমস্ত পরীক্ষার কেস যাচাই করুন ।

কিভাবে এটা কাজ করে

RÆFỊNP€FS  Main link. Argument: n

R          Range; yield [1, ..., n].
 ÆF        Factor; decompose each integer in that range into prime-exponent pairs.
   Ị       Insignificant; yield 1 for argument 1, 0 for all others.
    N      Negative; map n to -n.
           This maps primes to 0, exponent 1 to -1, and all other exponents to 0.
     P€    Reduce the columns of the resulting 2D arrays by multiplication.
           The product of the prime values will always be 0; the product of the
           exponent values is 0 if any exponent is greater than, 1 if there is an
           even number of them, -1 is there is an odd number of them.
       FS  Flatten and sum, computing the sum of µ(k) for k in [1, ..., n].

Answer 7

হাস্কেল, 29 27 বাইট

f n=1-sum(f.div n<$>[2..n])

Answer 8

জেলি , 7 বাইট

Ị*%ðþÆḊ

খুব দক্ষ নয়; নির্ধারক কঠোর হয়।

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন! অথবাছোট পরীক্ষার কেস যাচাই করুন । (কিছুক্ষণ সময় নেয়)

পটভূমি

এটি A002321 এর সূত্র ব্যবহার করে :

এম (ঢ) বুলিয়ান ম্যাট্রিক্স নির্ধারক হয় একটি _{× এন এন} , যেখানে একটি _{আমি, ঞ} হয় 1 যদি ঞ = 1 বা আমি | j , এবং 0 অন্যথায়

কিভাবে এটা কাজ করে

Ị*%ðþÆḊ  Main link. Argument: n

   ð     Combine the preceding atoms into a chain (unknown arity).
         Begin a new, dyadic chain with arguments a and b.
Ị        Insignificant; return 1 iff a = 1.
  %      Compute a % b.
 *       Compute (a == 1) ** (a % b).
         This yields 1 if a = 1, or if a ≠ 1 and a % b = 0; otherwise, it yields 0.
    þ    Table; construct the matrix A by calling the defined chain for every pair
         of integers in [1, ..., n].
     ÆḊ  Compute the determinant of the resulting matrix.

Answer 9

পিএইচপি, 113 বাইট

for(;$i=$argv[1]--;){for($n=$j=1;$j++<$i;)if(!($i%$j)){$i/=$j;$n++;if(!($i%$j))continue 2;}$a+=$n%2?1:-1;}echo$a;

যতদূর আমি জানি পিএইচপি তে মূল সংখ্যার কার্যকারিতার মতো কোনও কিছুর অভাব তাই এটি এক ধরনের ব্যথা। আরও ভাল করা সম্ভবত সম্ভব।

যেমন ব্যবহার করুন:

 php -r "for(;$i=$argv[1]--;){for($n=$j=1;$j++<$i;)if(!($i%$j)){$i/=$j;$n++;if(!($i%$j))continue 2;}$a+=$n%2?1:-1;}echo$a;" 10000

Answer 10

র‌্যাকেট 103 বাইট

(λ(N)(for/sum((n(range 1 N)))(define c(length(factorize n)))(cond[(= 0 c)0][(even? c)1][(odd? c)-1])))

Ungolfed:

(define f
  (λ(N)
    (for/sum ((n (range 1 N)))
      (define c (length (factorize n)))
      (cond
        [(= 0 c) 0]
        [(even? c) 1]
        [(odd? c) -1]))))

Answer 11

সিজেএম (20 বাইট)

qiM{_,:)(@@f/{j-}/}j

অনলাইন ডেমো

ওইআইএসের সূত্র ব্যবহার করে

sum(k = 1..n, a([n/k])) = 1। - ডেভিড ডাব্লু। উইলসন, ফেব্রুয়ারী 27 2012

এবং সিজেমের স্মৃতিচারণকারী অপারেটর j।

ব্যবচ্ছেদ

qi       e# Read stdin as an integer
M{       e# Memoise with no base cases
         e#   Memoised function: stack contains n
  _,:)(  e#   Basic manipulations to give n [2 .. n] 1
  @@f/   e#   More basic manipulations to give 1 [n/2 ... n/n]
  {j-}/  e#   For each element of the array, make a memoised recursive call and subtract
}j

Answer 12

জাভাস্ক্রিপ্ট (ES6), 50 বাইট

n=>[1,...Array(n-1)].reduce((r,_,i)=>r-f(n/++i|0))

ডেনিসের পাইথনের উত্তর বন্দর

Answer 13

জুলিয়া, 26 25 বাইট

!n=1-sum(map(!,n÷(2:n)))

এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

পটভূমি

এটি সম্পত্তি ব্যবহার করে

A002321 থেকে , যা নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্ত সূত্রের দিকে নিয়ে যায়।

কিভাবে এটা কাজ করে

আমরা ইউনারি অপারেটরের নতুন সংজ্ঞা দিই !আমাদের উদ্দেশ্যে

n÷(2:n)সমস্ত প্রয়োজনীয় ভাগফল গণনা, আমাদের নতুন সংজ্ঞায়িত ! তাদের উপর ম্যাপ করা হয় এবং অবশেষে সমস্ত পুনরাবৃত্ত কলগুলির যোগফল 1 থেকে বিয়োগ করা হয় ।

দুর্ভাগ্যবশত,

!n=1-sum(!,n÷(2:n))

যেহেতু ডায়ডিক যোগফল খালি সংগ্রহের উপরে চাপ সৃষ্টি করবে তা কার্যকর হয় না ।

!n=n<2||1-sum(!,n÷(2:n))

এটি ঠিক করে তবে এটি কোনও বাইট সংরক্ষণ করে না এবং ইনপুট 1 এর জন্য সত্য দেয় ।

Answer 14

সি, 51 50 47 বাইট

f(n,t,u){for(t=u=1;n/++u;t-=f(n/u));return t;}

সম্পাদনা করুন: -3 বাইটের জন্য @ ডেনিসকে ধন্যবাদ !

Answer 15

স্কালা, 53 বাইট

def?(n:Int,k:Int=2):Int=if(n<k)1 else?(n,k+1)- ?(n/k)

ডেনিসের পাইথিন উত্তরের একটি বন্দর।

আমি পদ্ধতিটি বলেছি ?, যা একটি টোকেন যা অক্ষরে আটকে থাকে না।

Answer 16

পাইথ, 12 বাইট

এর মধ্যে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত yকরে n।

L-1syM/LbtSb

টেস্ট স্যুট এখানে। (মনে রাখবেন যে এখানে চলার অর্থ yহ'ল ঘোষিত ফাংশনটি কল করা))

Answer 17

আসলে, 18 17 16 বাইট

গল্ফিং পরামর্শ স্বাগত জানাই। এটি অনলাইন চেষ্টা করুন!

R`;y;l0~ⁿ)π=*`MΣ

Ungolfing

         Implicit input n.
R        Push the range [1..n].
`...`M   Map the following function over the range. Variable k.
  ;        Duplicate k.
  y        Push the distinct prime factors of k. Call it dpf.
  ;        Duplicate dpf.
  l        Push len(dpf).
  0~       Push -1.
  ⁿ        Push (-1)**len(dpf).
  )        Move (-1)**len(dpf) to BOS. Stack: dpf, k, (-1)**len(dpf)
  π        Push product(dpf).
  =        Check if this product is equal to k.
            If so, then k is squarefree.
  *        Multiply (k is squarefree) * (-1)**(length).
            If k is NOT squarefree, then 0.
            Else if length is odd, then -1.
            Else if length is even, then 1.
           This function is equivalent to the Möbius function.
Σ        Sum the results of the map.
         Implicit return.

Answer 18

প্যারি / জিপি, 24 বাইট

n->sum(x=1,n,moebius(x))

Answer 19

জে, 19 বাইট

1#.1*/@:-@~:@q:@+i.

পরিসীমাতে Möbius ফাংশনের nযোগফল ব্যবহার করে Merten ফাংশনটিকে গণনা করে[1, n] ।

ব্যবহার

   f =: 1#.1*/@:-@~:@q:@+i.
   (,.f"0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117 5525 7044 8888 10000
    1   1
    2   0
    3  _1
    4  _1
    5  _2
    6  _1
    7  _2
    8  _2
    9  _2
   10  _1
  117  _5
 5525   5
 7044 _25
 8888   4
10000 _23

ব্যাখ্যা

1#.1*/@:-@~:@q:@+i.  Input: integer n
                 i.  Range [0, 1, ..., n-1]
   1            +    Add 1 to each
             q:@     Get the prime factors of each
          ~:@        Sieve mask of each, 1s at the first occurrence
                     of a value and 0 elsewhere
        -@           Negate
    */@:             Reduce each using multiplication to get the product
1#.                  Convert that to decimal from a list of base-1 digits
                     Equivalent to getting the sum