আফাইন ট্রান্সফর্মেশনগুলি কী কী?

অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মেশনগুলি কী কী? এগুলি কি কেবলমাত্র পয়েন্টগুলিতে বা অন্য আকারগুলিতেও প্রয়োগ হয়? এর অর্থ কী যে তারা "রচিত" হতে পারে?

transformations affine-transformations

— লুজার ড্রাগ
সূত্র

একটি অ্যাফাইন ট্রান্সফর্ম হল একটি লিনিয়ার ট্রান্সফর্ম + একটি অনুবাদ ভেক্টর।

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$

এটি পৃথক পয়েন্ট বা লাইন বা এমনকি বেজিয়ার কার্ভে প্রয়োগ করা যেতে পারে। লাইনের জন্য, এটি সেই সম্পত্তি সংরক্ষণ করে যে সমান্তরাল লাইনগুলি সমান্তরাল থাকে। বেজিয়ার কার্ভগুলির জন্য, এটি নিয়ন্ত্রণ পয়েন্টগুলির উত্তল-হলের সম্পত্তি সংরক্ষণ করে।

গুণিতকৃত, এটি মূল জোড় থেকে "রূপান্তরিত" স্থানাঙ্ক জোড়া এবং ধ্রুবকের তালিকার দুটি সমীকরণ উত্পন্ন করে । $(x', y')$ $(x, y)$ $(a, b, c, d, e, f)$

x^{'} = a \cdot x + c \cdot y + e y^{'} = b \cdot x + d \cdot y + f

$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$

সুবিধাজনকভাবে, লিনিয়ার ট্রান্সফর্ম এবং অনুবাদ ভেক্টরকে একত্রে একটি 3 ডি ম্যাট্রিক্সে স্থাপন করা যেতে পারে যা 2D সমজাতীয় স্থানাঙ্কগুলি পরিচালনা করতে পারে।

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$

যা উপরোক্ত একই 2 সমীকরণের ফলন দেয়।

খুব সহজেই ম্যাট্রিকগুলি তৃতীয় ম্যাট্রিক্স (ধ্রুবকগুলির) উত্পাদনে একসাথে গুণিত হতে পারে যা মূল 2 অনুসারে একই রূপান্তর সম্পাদন করে। সহজ কথায় বলতে গেলে ম্যাট্রিক্সের গুণগুলি সাহসী হয়।

\begin{matrix} [\begin{matrix} x^{″} & y^{″} & 1 \end{matrix}] & = & ([\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} a \cdot x + c \cdot y + e & b \cdot x + d \cdot y + f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} g (a \cdot x + c \cdot y + e) + i (b \cdot x + d \cdot y + f) + k \\ h (a \cdot x + c \cdot y + e) + j (b \cdot x + d \cdot y + f) + m \\ 1 \end{matrix}]}^{T} \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a g + b i & a h + b j & 0 \\ c g + d i & c h + d j & 0 \\ e g + f i + k & e h + f j + m & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$

বিকল্পভাবে আপনি কয়েকটি বেসিক ট্রান্সফর্মের ধরণগুলি বিবেচনা করতে পারেন এবং এগুলি (একসাথে বহুগুণে) একত্রিত করে আরও জটিল কোনও রূপান্তর রচনা করতে পারেন।

পরিচয়ের রূপান্তর

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

আরোহী

[\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

* দ্রষ্টব্য: একটি প্রতিবিম্ব স্কেলিং পরামিতি বা দিয়ে সম্পাদন করা যেতে পারে । $(S_x, S_y) = (-1,1)$ $(1,-1)$

অনুবাদ

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_{x} & T_{y} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$

এক্স বাই ওয়াই

[\begin{matrix} 1 & Q_{x} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

এক্স দ্বারা বাইক

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

ঘূর্ণন

[\begin{matrix} \cos θ & - s i n θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[দ্রষ্টব্য আমি এখানে ম্যাট্রিক্সের ফর্মটি দেখিয়েছি যা বামদিকে একটি সারি ভেক্টর গ্রহণ করে । এই ম্যাট্রিকগুলির স্থানান্তর ডানদিকে কলামের ভেক্টরের সাথে কাজ করবে]]

স্কেলিং, আবর্তন এবং অনুবাদ থেকে বিশুদ্ধভাবে রচিত একটি ম্যাট্রিক্স এই তিনটি উপাদানকে আবার পচে যেতে পারে ।

— লুজার ড্রাগ
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তর। অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মগুলি সম্পর্কে চিন্তা করার এক উপায় আপনি যুক্ত করতে চাইতে পারেন যে তারা সমান্তরাল রেখাগুলিকে সমান্তরাল রাখে। অতএব, স্কেলিং, ঘূর্ণন, অনুবাদ, শিয়ার এবং সংমিশ্রণগুলি অ্যাফাইন হিসাবে গণ্য। দৃষ্টিভঙ্গি প্রজেকশন একটি অ-অ্যাফাইন রূপান্তরকরণের একটি উদাহরণ।

— এপি_

আপনি কিছু ছবি যোগ করতে পারে। আপনি যদি না চাই তবে: পি ম্যাট্রিক্সে ক্রম উল্লেখ করা ভাল হতে পারে এবং সারি / কলাম ওরিয়েন্টেশন স্বেচ্ছাসেবী। এবং 3 ডি তে ঘূর্ণন কমপিটিভ নয়।

— joojaa

@ joojaa আমি ছবি বানিয়েছি!

— পোস্টস্ক্রিপ্ট

এটি উল্লেখ করার মতোও হতে পারে যে অনমনীয় শরীরের রূপান্তরগুলি অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মগুলির একটি উপসেট এবং অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মগুলি দৃষ্টিভঙ্গি রূপান্তরগুলির একটি উপসেট।

— ব্যবহারকারী 1118321

আমি একবারে এটি একবারে পড়তে থাকি এবং আমি বেশ কিছু বলতে পারি না তবে আমার কাছে স্কিউ রূপান্তরগুলি ভুলভাবে বর্ণিত হতে পারে। স্কিউজ গুলিয়ে ফেলছে। যদি কেউ এটি দেখে এবং সম্পাদনায় যেতে চান তবে দয়া করে সেই অংশটি স্পষ্ট করতে সহায়তা করুন!

— লুসার ড্রোগ