একটি বিন্দু রূপান্তর এবং একটি ভেক্টর রূপান্তর মধ্যে পার্থক্য কি?

Question

কোর্স ওয়ার্কে আমার প্রভাষক আমাকে এই বলেছিলেন:

আমরা কেবল 4 * 4 ম্যাট্রিক বিবেচনা করি। এগুলিকে ঘোরানো, স্কেল বা অনুবাদ করতে (বা এই ক্রিয়াকলাপগুলির কোনও সংমিশ্রণ) ব্যবহৃত হয়। ভার্চুয়াল ক্যামেরা মডেল বাস্তবায়নে ম্যাট্রিকগুলিও ব্যবহৃত হয়। যদি আপনি কোনও ভেক্টর রূপান্তর এবং পয়েন্ট রূপান্তরের মধ্যে পার্থক্য জানেন না, তবে এটি সন্ধান করুন it

আমি কোনও উত্তর খুঁজে পাচ্ছি না এবং কেবল এই প্রশ্নের জন্য এই ওয়েবসাইটের জন্য একটি অ্যাকাউন্ট তৈরি করেছি।

Comments

অন্যান্য সমস্ত উত্তরের পরিপূরক হিসাবে এবং অন্য লোকেরা ইতিমধ্যে অন্য যে কোনও জায়গায় এই প্রশ্নের উত্তর ইতিমধ্যে উত্তর দিয়ে গেছে আপনি পরীক্ষা করতে পারেন: scratchapixel.com/lessons/…

— ব্যবহারকারী 18490

Answer 1

এখানে সহজ উত্তর।

4 ডি-তে, তাদের 4x4 ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণতে সক্ষম হতে, ভেক্টরগুলিকে (x, y, z, 0) হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং পয়েন্টগুলি (x, y, z, 1) হিসাবে উপস্থাপিত হয়।

যেহেতু একটি 4x4 ম্যাট্রিক্সের চতুর্থ সারিটি ম্যাট্রিক্সের অনুবাদকে উপস্থাপন করে, উপরোক্ত উপস্থাপনাগুলি এটি এটিকে তোলে যাতে পয়েন্টগুলি অনুবাদ দ্বারা প্রভাবিত হয় তবে ভেক্টরগুলি তা নয়।

উভয় ভেক্টর এবং পয়েন্ট যদিও আবর্তন, স্কেলিং ইত্যাদি দ্বারা প্রভাবিত হয়।

সতর্কীকরণ:

আপনি যদি ভেক্টরদের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রাখার প্রত্যাশা করেন তবে আরও গভীর আলোচনা হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি একই ম্যাট্রিক্স দ্বারা ত্রিভুজের স্বাভাবিককে রূপান্তর করে আপনি ত্রিভুজের কোণকে রূপান্তর করেন তবে সম্ভবত এটি ত্রিভুজটির স্বাভাবিক ভেক্টর হবে না। এর কারণ এটি হয় যে সাধারণ ভেক্টরগুলির দ্বিখণ্ডিতগুলির সাথে তারা গণনা করা হয় তার সাথে এক ধরণের বিপরীত সম্পর্ক থাকে।

Comments

সাধারণগুলি কাজ করে না কারণ তারা ভেক্টর নয়। যদিও ধারণাটিটির কোনও ভাল পরিচয় সম্পর্কে জানেন না।

— এমবি রেইনল্ডস

@ এমবিআরইনল্ডস গাণিতিক দিক থেকে নরমালগুলি পয়েন্ট বা দিকনির্দেশনার মতো ভেক্টর হিসাবে থাকে। এখানে সমস্যাটি হ'ল যে রূপান্তরগুলি আমরা কোনও পৃষ্ঠের পয়েন্টগুলিতে রূপান্তর করতে প্রয়োগ করি সেগুলি সাধারণের জন্য প্রযোজ্য না।

— nbro

পৃষ্ঠের নরমালগুলি বিভেক্টর হয়, ভেক্টর নয়। দুটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট দ্বারা আমরা একটি সাধারণ খুঁজে পেতে পারি, ফলাফলটি একটি বিভেক্টর। ভোগেনসেনের প্রতি দেখুন: gist.github.com/pervognsen/c6b1d19754c2e8a38b10886b63d7bf2d

— এমবি রেইনল্ডস

Answer 2

$4 \times 4$$4 \times 4$

$4 \times 4$

এখন প্রশ্নটি হল: আমরা কীভাবে একটি 3 ডি স্থানাংক সিস্টেম থেকে 4D এর মধ্যে যেতে পারি? উত্তরটি " সমজাতীয় স্থানাঙ্ক "।

$4 \times 4$

$4 \times 4$$4 \times 4$$3D$

কিভাবে আমরা তা করব?

আমরা দিক এবং অবস্থান ভেক্টরগুলির মধ্যে পার্থক্য করি । নাম অনুসারে দিক নির্দেশক ভেক্টরগুলির একটি দিক রয়েছে যা তারা ইশারা করছে; আমরা তাদের দৈর্ঘ্য সম্পর্কেও যত্নশীল, তবে তারা অনুবাদ দ্বারা প্রভাবিত হয় না, যেহেতু আমরা তাদের অবস্থান সম্পর্কে চিন্তা করি না। অবস্থান ভেক্টরগুলি (বা কেবল "পয়েন্ট") অনুবাদ করা বা আশেপাশে সরানো যেতে পারে; এগুলি সাধারণত উত্সের প্রতি শ্রদ্ধা হিসাবে উপস্থাপিত হয়, অর্থ উত্স থেকে বিন্দু পর্যন্ত ভেক্টর হিসাবে।

$0$$4$$0$$1$

$3D$$v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}$$v' = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ 0\end{pmatrix}$$u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix}$$u' = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ 1\end{pmatrix}$

$3D$$4th$$1$$0$

Comments

$(wx, wy, wz, w)$$w \ne 0$$(x, y, z)$$w = 1$$w$4D ম্যাট্রিক্স গুণনও ব্যবহার করে।

— ইলমারি করোনেন

Answer 3

আপনি যদি কোনও ভেক্টর এবং বিন্দুর সংজ্ঞাটি দেখেন তবে কোনও ভেক্টর হ'ল:

গতিবেগের মতো একটি পরিমাণ, সম্পূর্ণভাবে একটি প্রস্থ এবং দিক দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। http://www.thefreedictionary.com/vector

এবং একটি বিষয় হল:

একটি মাত্রাবিহীন জ্যামিতিক বস্তুর অবস্থান ব্যতীত কোনও বৈশিষ্ট্য নেই। http://www.thefreedictionary.com/point

সুতরাং আপনি বলতে পারেন যে ভেক্টর একটি স্কেল সহ একটি দিক এবং একটি বিন্দু একটি অবস্থান।

সুতরাং, আপনি যদি কোনও ভেক্টর রূপান্তর করেন তবে আপনি কেবল এটি ঘোরান এবং স্কেল করুন। একটি বিন্দুর সাহায্যে আপনি এটিও অনুবাদ করেন (কোনও বিন্দুর ঘূর্ণন এবং স্কেলিং মূলের চারপাশে থাকে, যেহেতু এটি কেবলমাত্র একটি অবস্থান জারি করে যে বিন্দুটি নিজেই ঘোরানো যায় না)।

বেশিরভাগ সময় ভেক্টর এবং পয়েন্ট একই পাত্রে রাখা হয়, 4 উপাদানযুক্ত ভেক্টর। পার্থক্য শুধুমাত্র ডাব্লু উপাদান। যদি ডাব্লু উপাদান 0 হয় তবে এটি একটি দিক। যদি এটি 1 হয় তবে ভেক্টরটি একটি বিন্দু।

এর কারণটি ম্যাট্রিক্সেই পাওয়া যাবে। আপনি 4x4 ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে ভেক্টরকে 4 টি উপাদান দিয়ে গুণিত করার উপায়টি ব্যবহার করে। এটি কীভাবে কাজ করে তা আপনি যদি না জানেন তবে আমি একটি দ্রুত গুগলের পরামর্শ দেব।

$$\begin{bmatrix}rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, শেষের উপাদানটি 0 হয়, তবে আপনার 0 এর সাথে একটি গুণ আছে এবং ফলস্বরূপ 0 এবং কোনও অনুবাদ নেই।

এটি বহুভুজযুক্ত বস্তু সহ কম্পিউটার গ্রাফিকগুলিতে সহজ করে তোলে। পজিশনগুলিকে রুপান্তর করতে আপনার একই ট্রান্সফর্মেশন ম্যাট্রিক্স তবে নরমালগুলিও রয়েছে। কারণ নরমালগুলির ডাব্লু উপাদানটি 0 তে সেট থাকে এবং অবস্থানগুলির ডাব্লু উপাদান 1 হয়, নরমালগুলি কেবল ঘোরানো হয় (এবং এটি মাপাও হয় যা কিছু অদ্ভুত স্টাফের দিকে নিয়ে যেতে পারে, তাই বেশিরভাগ সময় স্বাভাবিকের পরে স্বাভাবিক হয় It টি অদ্ভুত স্টাফের কারণে অবস্থান এবং আবর্তনের জন্য আসলে একই ম্যাট্রিক্সটি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়েছিল! @ জারকোএল এর মন্তব্য দেখুন।) এবং অবস্থানগুলি অনুবাদ করা হয়েছে (এবং ঘুরানো এবং উত্সের চারপাশে ছোট)।

আশা করি আমি কোনও ভুল করিনি: পি, এবং এটি আপনাকে সহায়তা করেছে!

Comments

অবস্থানগুলি হিসাবে একই রূপান্তর ম্যাট্রিক্সের সাথে সাধারণগুলি রূপান্তরিত হয় না। অ-ইউনিফর্ম স্কেলিং এবং / অথবা স্কিউংয়ের সাথে ট্রান্সফর্মেশনের জন্য নরমালগুলি সঠিকভাবে রূপান্তর করতে আপনাকে 3x3 সাব-ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের বিপরীত গণনা করতে হবে।

— জার্ককোএল

@ জারকোএল হ্যাঁ এটি সত্য, আপনি ঠিক তা-ই করেছেন। একই ম্যাট্রিক্স ব্যবহার না করা ভাল, তবে বাস্তবায়নের উপর নির্ভর করে এটি সম্পন্ন করা হয়। বেশিরভাগ সময় লোকেরা সাধারণের স্কিউিং সম্পর্কে খুব বেশি চিন্তা করে না, কারণ তারা হয় অ-ইউনিফর্ম স্কেলিং বা স্কেলিং মোটেই ব্যবহার করে না। অবস্থান ও নরমালকে রূপান্তর করার বিষয়ে সেই অংশটি ছিল যে এটি একটি ধারক ব্যবহার করতে কার্যকর হতে পারে।

— bram0101