সিয়েরপিস্কি গ্রাফে হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যা

আমি এই ফোরামে নতুন এবং কেবল একজন পদার্থবিজ্ঞানী যিনি নিজের মস্তিষ্ককে আকারে রাখতে এই কাজটি করেন, তাই দয়া করে যদি আমি সর্বাধিক মার্জিত ভাষা না ব্যবহার করি তবে দয়া করে দয়া করুন। এছাড়াও আপনি যদি মনে করেন যে অন্য ট্যাগগুলি আরও উপযুক্ত হবে।

আমি এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছি যার জন্য আমাকে হ্যামিলটোনিয়ান চক্র $C(n)$ এর $n$ ম অর্ডার সিয়েরপিনস্কি-গ্রাফ এর সংখ্যা গণনা করা দরকার $S_n$ । (সিয়েরপিনস্কি-গ্রাফের সংজ্ঞা এবং ছবিগুলির জন্য দয়া করে উপরের লিঙ্কটিও দেখুন)

আমি খুঁজে পেয়েছি $C(n)$ তবে অবশ্যই আমি কিছু , কারণ আমার সমাধান দেওয়া মান মেলে না $C(5) = 71328803586048$ । আমার যুক্তিটি খুব প্রাথমিক চিন্তা নিয়ে গঠিত এবং আমি ভুলটি খুঁজে পাই না। কোন সাহায্য ব্যাপকভাবে প্রশংসা করা হয়। এমনকি এটি লম্বা মনে হলেও, গ্রাফগুলিতে নজর রাখলে চিন্তাগুলি তুচ্ছ হয়ে ওঠে হলেও, নিম্নলিখিতগুলি অনুসরণ করার পরে ।

(ক) প্রদত্ত গ্রাফ $S_n$ -তে বাইরের কোণগুলিকে কল করুন $A,B,C$ । তারপরে আমি নিম্নলিখিত পরিমাণগুলি সংজ্ঞায়িত করব:

থেকে পর্যন্ত হ্যামিলটোনীয় পাথের সংখ্যা। $N(n) :=$ $A$ $C$

থেকেপর্যন্ত পাথের সংখ্যাযাবাদ ব্যতীত প্রতিটি নোডে একবার পরিদর্শন করে। $\bar{N}(n) :=$ $A$ $C$ $B$

আমি এই জাতীয় পাথগুলিকে নীচে - বা টাইপ । $N$ $\bar{N}$

(খ) এটি দেখতে সহজ । $N(n)=\bar{N}(n)$

কারণটি নিম্নলিখিত: টাইপ পাথটি বিবেচনা করুন । থেকে শুরু এই পথ ফর্ম হল । বিভাগের দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আমরা একটি টাইপ পাথ । এই অপারেশনটি অনন্যভাবে সমস্ত মানচিত্র করে $N$ $A$ $(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$ $(X_1,B,X_2)$ $(X_1,X_2)$ $\bar{N}$ $N$ টাইপ পাথ $\bar{N}$ টাইপ পাথ।

(গ) আমরা পুনরাবৃত্তি । $N(n+1)=2N(n)^3$

থেকে তে একটি টাইপ পাথ বিবেচনা করুন এবং যথাক্রমে দ্বারা বাইরের কোণে এর সাবট্রিঙ্গলগুলি বোঝান । এটা পরিষ্কার যে টাইপ পথ ঠিক একবার প্রতিটি subtriangle পরিদর্শন করব থেকে শুরু ওভার থেকে । এখন নোড বিবেচনা করুন যেখানে এবং সাবট্রায়াঙ্গল রয়েছে $N$ $A$ $B$ $A,B,C$ $T_A,T_B,T_C$ $N$ $T_A$ $T_B$ $T_C$ $Z$ $T_A$ $T_C$ স্পর্শ. দুটি সম্ভাবনা রয়েছে, যখন এই পয়েন্টটি পথ দ্বারা পরিদর্শন করা হয়, হয় (i) ছাড়ার আগে বা (ii) প্রবেশের পরে । এই ক্ষেত্রে এর ভিতরে তিনটি উপপথ যথাক্রমে (i) বা (ii) । এটি মাথায় রেখে আমরা গণনা করতে পারি $T_A$ $T_C$ $T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

এবং(b) সহ $N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$ আমরা উপরের পুনরাবৃত্তিতে পৌঁছাই।

(d) আমরা দিয়ে পুনরাবৃত্তি (সি) সমাধান করি এবং $N(1)=1$ $N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$ ।

(ঙ) গ্রাফ একটি হ্যামিল্টোনীয় চক্র বিবেচনা করুন । যেহেতু তিনটি subtriangles এর প্রত্যেকটি কেবল দুটি নোডের মাধ্যমে অন্যের সাথে সংযুক্ত রয়েছে, এটি স্পষ্ট যে চক্রটি প্রতিটি সংযোজক নোডের মাধ্যমে একবার প্রতিটি subtriangle প্রবেশ করবে, তারপরে "পূরণ করুন", শেষ পর্যন্ত এটি অন্য সংযোগকারী নোডের মাধ্যমে রেখে দিন। সুতরাং তে হ্যামিলটোনিয়ান চক্রটি সাবট্রায়াঙ্গলে তিনটি টাইপ সাবপাথ নিয়ে গঠিত যা সকলেরই এর কাঠামো রয়েছে । হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যার জন্য আমরা উপসংহার করতে পারি $S_n$ $S_n$ $N$ $S_{n-1}$

। $C(n) = N(n-1)^3$

তবে এটি জন্য অনুসরণ করে $n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

যেখানে সমস্যাটি পৃষ্ঠা অনুযায়ী উপরেরটি পাওয়া উচিত (উপরের লিঙ্ক)।

কোন সাহায্য বা মন্তব্যের জন্য আবার ধন্যবাদ।

graph-theory combinatorics check-my-proof

— flonk
সূত্র

এটি সত্যিই মজার, আমি একই ধারণাগুলি নিয়ে সমস্ত কিছু পেয়েছি এবং ঠিক একই ভুলটি করেছি =) আপনি কি এতক্ষণে সমাধান করেছেন?

— flawr

ভাল যুক্তি! সমস্যাটি ধাপে রয়েছে বলে মনে হয় । প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে একটি ইন দ্বারা -path একটি দেয় -path, কিন্তু প্রতিটি -path উপস্থিত থাকবে । সুতরাং এটি কোনও সক্ষমতা নয়। এটি কেবলমাত্র বলছেন । $(b)$ $(X_1,B,X_2)$ $N$ $(X_1,X_2)$ $\bar{N}$ $\bar{N}$ $(X_1,X_2)$ $N(n) \leq \bar{N}(n)$

অথবা আপনি কি করতে পারেন আসলে শোতে যে , ফলে । $\bar{N}(n) = 3N(n)/2$ $N(n+1) = 3N^3$

— polkjh
সূত্র

ধন্যবাদ, আপনি আমার দিনটি করেছেন + আমার কাছে অনুশীলন হিসাবে সঠিক প্রমাণ রেখে যাওয়ার জন্য আরও একটি ধন্যবাদ!