দৈর্ঘ্য 6, আকার 32 এবং দূরত্ব 2 সহ একটি বাইনারি কোডটি কি বিদ্যমান?

Question

সমস্যাটি হ'ল , st, অস্তিত্ব প্রমাণ করতে বা অস্বীকার করার ;; ; । ( হামিং দূরত্ব)$C$$|c| = 6,\forall c\in C$$|C| = 32$$d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$$d$

আমি একটি সন্তোষজনক কোড নির্মাণ করার চেষ্টা করেছি। আমি যে সর্বোত্তমটি পেতে পারি তা হ'ল , , যা আকারের 16 32 32 আকারের তাত্ত্বিক bound হিসাবে দেখা যায়, এখন আমি ডন করি না সমস্যা সমাধানের জন্য পরবর্তী কী করবেন তা জানেন না।$C = C'\times C'$$C' = \{000,011,110,101\}$

Answer 1

হ্যাঁ, এমন একটি সেট আছে। নিম্নলিখিত উদাহরণটি সন্ধান করার জন্য আপনি প্রকৃতপক্ষে সঠিক পথে আছেন।

দিন $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$। আপনি নিম্নলিখিত পরীক্ষা করতে পারেন।

• $|C|=32$।
• $d(u,v)\geq2$ সবার জন্য $u,v\in C$, $u\not=v$। (আসলে,$d(u,v)=2$ বা 4 বা 6)

---

এখানে চারটি সম্পর্কিত অনুশীলন, ক্রমবর্ধমান অসুবিধার ক্রমের তালিকাভুক্ত। প্রশ্ন হিসাবে, শুধুমাত্র বাইনারি কোড সম্পর্কিত।

অনুশীলন 1. কমপক্ষে 2 এর দৈর্ঘ্যের 32 টি এবং জোড়াওয়ালা দূরত্বের সেটটির আরেকটি উদাহরণ দিন।

অনুশীলন ২. উত্তর এবং অনুশীলন 1 তে যেমন দুটি সেট রয়েছে তা দেখান।

অনুশীলন ৩. যে কোনও প্রদত্ত দৈর্ঘ্য এবং জোড়াওয়ালা দূরত্বের শব্দটিকে কমপক্ষে ২ এর উপরের শব্দকে সাধারণীকরণ করুন (ইঙ্গিত,$32=2^{6-1}$।)

অনুশীলন ৪. (যুবালের উত্তরে আরও সাধারণীকরণ বর্ণিত) যদি হয়$A(n,d)$ দৈর্ঘ্যের একটি কোডের সর্বাধিক আকার $n$ এবং ন্যূনতম জোড়াযুক্ত দূরত্ব $d$তাহলে $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$।

Comments

আমি মনে করি $d(u,v)$ এছাড়াও 6 হতে পারে, বিশেষত জন্য $u=000000$ এবং $v=111111$, দ্বৈত ভাবে $u\in C$ এবং $v\in C$কারণ উভয়েরই 1 এর সংখ্যাও রয়েছে। নাকি আমি কিছু মিস করছি?

— সিইগি

@ সিগি, ধন্যবাদ আপডেট করা হয়েছে।

— জন এল।

@ মিয়ানগু আমার উত্তর কি সহায়ক ছিল? আপনি এটি গ্রহণ বিবেচনা করেছেন? (এই মন্তব্য প্রতিক্রিয়া মুছে ফেলা হবে।)

— জন এল।

Answer 2

এর সাথে লিনিয়ার কোড থেকে সমতুল্য সমস্ত শব্দ $2^{n-1}$ কোডওয়ার্ড এবং সর্বনিম্ন দূরত্ব $2$।

আরও সাধারণভাবে, যদি $A_2(n,d)$ দৈর্ঘ্যের একটি কোডের সর্বাধিক আকার $n$ এবং সর্বনিম্ন দূরত্ব $d$তাহলে $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$।

Comments

ভাল ঘটনা, upvated। যাইহোক, কেন শুধু না$A(n,d)$ পরিবর্তে $A_2(n,d)$? ওহ, দুটি চিঠি।

— জন এল।

সাবস্ক্রিপ্ট ক্ষেত্রটির পরিচয় দেয় $\mathbb{F}_2$।

— যুবাল ফিল্মাস