দুটি ফাংশন আঁকো

Question

দুটি ফাংশন সন্তোষজনক:$f,g: R^+ → R^+$

1. $f, g$ অবিচ্ছিন্ন;
2. $f, g$ একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে;
3. $f \ne O(g)$ এবং ।$g \ne O(f)$

Comments

আপনি কি এই সম্ভাবনা বিবেচনা করেছেন যে এই ধরনের ফাংশনগুলির অস্তিত্ব না রয়েছে?

— jmite

যদি উভয়ই লগারিদমিক-এক্সফোনেনশিয়াল হয় তবে f = O ( g ) বা g = O ( f ) হয় । অনুশীলনে সম্মুখীন বেশিরভাগ কার্যাদি এই ফর্মের are $f,g$$f=O(g)$$g=O(f)$

— যুবাল ফিল্মাস

Answer 1

এই ধরনের ফাংশনগুলির জন্য অনেকগুলি উদাহরণ রয়েছে। সম্ভবত এই জাতীয় উদাহরণ কীভাবে বোঝার সহজ উপায় তা হ'ল ম্যানুয়ালি তৈরি করে।

আসুন প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর ফাংশন দিয়ে শুরু করুন, কারণ তারা ক্রমাগত বাস্তবের কাছে সম্পূর্ণ করা যায়।

এবং g ≠ O ( f ) তাদের প্রস্থের ক্রমগুলির মধ্যে বিকল্প হতে পারে তা নিশ্চিত করার একটি ভাল উপায় । উদাহরণস্বরূপ, আমরা সংজ্ঞা দিতে পারি$f\neq O(g)$$g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

তারপরে, আমরা বৈষম্য এবং সন্ধির বিপরীতে আচরণ করতে পারি । তবে এটি আপনার পক্ষে কাজ করে না , কারণ এই ফাংশনগুলি একঘেয়েভাবে বাড়ছে না।$g$

যাইহোক, এর পছন্দটি কিছুটা নির্বিচারে ছিল, এবং আমরা কেবল একরকমত্ব বাড়াতে পারত মাত্রা বাড়াতে। এইভাবে, আমরা সাথে আসতে পারি:$n,n^2$

, এবং ছ ( এন ) = $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$$g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

স্পষ্টতই এগুলি একঘেয়ে ফাংশন। এছাড়াও, , বিজোড় পূর্ণসংখ্যার উপর সাল থেকে চ মত আচরণ এন 2 এন যখন ছ মত আচরণ এন 2 এন - 1 = ঢ 2 এন / এন = ণ ( এন 2 এন ) , এবং সন্ধ্যার বিপরীতে।$f(n)\neq O(g(n))$$f$$n^{2n}$$g$$n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

এখন আপনার যা দরকার তা হ'ল এগুলি বাস্তবায়ন করা (উদাহরণস্বরূপ পূর্ণসংখ্যার মধ্যে লিনিয়ার পার্ট যোগ করে, তবে এটি সত্যই বিন্দুর পাশে)।

এছাড়াও, এখন আপনার এই ধারণাটি রয়েছে, আপনি যেমন ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য `` বদ্ধ সূত্র '' তৈরি করতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করতে পারেন, যেহেতু এবং কোস দোলাচল করছে এবং বিকল্প বিন্দুগুলি শীর্ষে রয়েছে।$\sin$$\cos$

Comments

আমরা কি এবং g ( n ) ∈ O ( n 2 n ) বলতে পারি? চ ( এন ) এবং জি ( এন ) আপনার উত্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। $f(n) \in O(n^{2n})$$g(n) \in O(n^{2n})$$f(n)$$g(n)$

— মায়াঙ্ক

হ্যাঁ. আমরা এমনকি বলতে পারেন (জন্য একভাবে ছ ), যা অনেক শক্তিশালী হে । $f(n)\le n^{2n}$$g$$O$

— শাল

Answer 2

আমার জন্য ভাল উদাহরণ: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

$$f(n) =2x+sin(x)$$ $$g(n) =2x+cos(x)$$ $$f\neq O(g)$$ $$g\neq O(f)$$

Comments

$O$