দেরিতে যোগদানের সময় ফেয়ার কেক কাটা

Question

ফেয়ার কেক কাটা সমস্যার স্বাভাবিক বিবৃতি ধরে নেওয়া হয় যে সমস্ত খেলোয়াড় একই সাথে তাদের ভাগ পাবে। যাইহোক, অনেক ক্ষেত্রে খেলোয়াড়গুলি ক্রমবর্ধমান আগমন করে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা এন খেলোয়াড়দের উপর একটি কেক বিভক্ত করতে পারি , কিন্তু তারপরে একটি নতুন প্লেয়ার উপস্থিত হয়ে অংশ চান wants$n$$n$

সাধারণত, ফেয়ার কেক বিভাগে প্রচুর পরিশ্রমের প্রয়োজন হয় (উদাহরণস্বরূপ, খেলোয়াড়দের অনেক প্রশ্নের উত্তর দেওয়া প্রয়োজন), বিশেষত যখন খেলোয়াড়ের সংখ্যা বেশি থাকে।

ন্যূনতম অতিরিক্ত পরিশ্রমের সাথে (যেমন স্ক্র্যাচ থেকে কেকটি পুনরায় বিতরণ করার চেয়ে যথেষ্ট কম প্রচেষ্টা) সহ এন + 1 প্লেয়ারগুলিতে কেকের নতুন বিভাগ তৈরি করার জন্য প্লেয়ারদের উপর কেকের বিদ্যমান ডিভিশনটি ব্যবহার করা সম্ভব ?$n$$n+1$

Comments

প্রথম খেলোয়াড়রা কি খাওয়া শুরু করেছে? কোনও খেলোয়াড়কে একাধিক টুকরা দেওয়া কি ন্যায্য, বা প্রত্যেকেরই ঠিক এক টুকরো পেতে হবে? $n$

— রাফেল

@ রাফেল, আমি জমির সুষ্ঠু বিভাগে বিশেষভাবে আগ্রহী, তাই খেলোয়াড়রা আক্ষরিক অর্থে তাদের ভাগ খাওয়া শুরু করতে পারে না (তারা তাদের অংশটি তৈরি করতে পারে, তবে আসুন মুহূর্তের জন্য এই সমস্যাটিকে উপেক্ষা করুন)। প্রতিটি খেলোয়াড়কে ঠিক এক টুকরো দেওয়াই পছন্দনীয়, তবে কেবলমাত্র একজন নতুন ব্যক্তি উপস্থিত হলে এগুলি মোটামুটিভাবে করা সম্ভব নয়। সম্ভবত আমি জিজ্ঞেস করা উচিত তাহলে কি হয়েছে তা নতুন খেলোয়াড়দের পৌঁছা। সেক্ষেত্রে প্রথম এন খেলোয়াড়দের প্রতিটি ভাগকে 2 টি নতুন শেয়ারে ভাগ করা সম্ভব (কমপক্ষে তত্ত্বের ক্ষেত্রে) । যে কোনও ক্ষেত্রে, যে কোনও রেফারেন্স স্বাগত। $n$$n$

— এরেল সেগাল-হালেভি

অব্যবহৃত জমির ক্ষেত্রে কেন সবকিছু পুনরায় বিতরণ করবেন না?

— রাফেল

আমি মনে করি আপনার লক্ষ্য কী তা আপনাকে পরিষ্কার করতে হবে। হালনাগাদ কাটা সংখ্যা কমানো? নতুন কাটা মোট দৈর্ঘ্য কমান? আমরা কি পুরানো খেলোয়াড়দের কাছে অংশগুলি পুনর্নির্ধারণ করতে পারি, বা একমাত্র কি কখনও হারাতে পারি?

— রাফেল

আহ, এখন আমি কী বলতে চাইছি তা দেখতে পেয়েছি: আপনার অর্থ হ'ল কিছু খেলোয়াড় তাদের ভাগ খাওয়া শুরু করেছিল, এবং এখন নতুন খেলোয়াড় এসেছে, এবং প্রতিটি খেলোয়াড় ইতিমধ্যে যা খেয়েছে তা বিবেচনায় নিয়ে আমরা অনুস্মারকগুলিকে মোটামুটি ভাগ করতে চাই। যদিও এটি নিজেই একটি আকর্ষণীয় সমস্যা, আমার উদ্দেশ্যটি অন্যরকম ছিল - আমি আশা করি আমার সাম্প্রতিক সম্পাদনাটি এটিকে পরিষ্কার করে দিয়েছে।

— এরেল সেগাল-হালেভি

Answer 1

আমি সামনেই বলব যে আমি আপনার প্রশ্নের ভাল উত্তর দিতে পারছি না (আমি মনে করি আপনি যদি পারেন তবে আপনি এটি থেকে একটি গবেষণা পত্র বের করতে পারেন), তবে আমি মনে করি সমস্যাটি আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করে এবং যেখানে কিছু উল্লেখ করে আমি সাহায্য করতে পারি অসুবিধা মিথ্যা।

পটভূমি । আমাকে পরিষ্কারভাবে কেক-কাটার জন্য মডেলটি বলি। আমরা n খেলোয়াড়দের মধ্যে ব্যবধান ভাগ করতে চাই । প্রতিটি খেলোয়াড় আমি একটি মূল্যনির্ধারণ ফাংশন আছে বনাম আমি ( এস ) সাব-সেট নির্বাচন উপর S পিষ্টক। আমরা ধরে নেব যে এই ফাংশনটি সম্ভাবনার পরিমাপ; এটি অবৈধ এবং সংযোজক ( এ , বি ⊆ [ 0 , 1 ] , v i ( A ∪ B ) = v আমি$[0,1]$$n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$ ) এবং ভি আই ( [ 0 , 1 ] ) = 1 । এই সমস্যার সমাধান হ'ল একটিপ্রোটোকলবা অ্যালগরিদম যা খেলোয়াড়দের জিজ্ঞাসা করে এবং ব্যবধানের অংশগুলি বরাদ্দ করে। নোট করুন যে খেলোয়াড়েরা প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার ক্ষেত্রে ভুল ধারণা / মিথ্যা বলতে পারে।$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

কিছু কাগজপত্র আরো নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা থাকবে; উদাহরণস্বরূপ , ভ্যালুয়েশন ফাংশনগুলি অবিচ্ছিন্ন, বা টুকরোচক-লিনিয়ার, বা টুকরোচক ধ্রুবক।

$\{S_1,\dots,S_n\}$

• $i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• $v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

নোট করুন যে enর্ষা-নির্দয়তা আনুপাতিকতা বোঝায়।

আমরা চাইলে "অপারেশনাল" বৈশিষ্ট্যগুলিও রয়েছে যেমন কয়েকটি টুকরো টুকরো করে কাটা, বহুপক্ষীয় চলমান সময় (বা প্রকৃতপক্ষে গণ্যতা / গঠনযোগ্যতা - আমরা কেকের একটি সাবসেট নির্বাচন করতে পছন্দের অ্যাক্সিম ব্যবহার করতে চাই না! ), ইত্যাদি।

---

$1$

দ্বিতীয়ত, প্রত্যেকের কাছ থেকে পুরো কেকটি ফিরিয়ে নিয়ে এবং স্ক্র্যাচ থেকে পুনরায় বিতরণের জন্য একটি পরিচিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে আমরা সর্বদা আপনার সমস্যার সমাধান করতে পারি। সুতরাং প্রশ্নটি হ'ল যদি এটি করার কিছুটা মার্জিত উপায় থাকে। আমি মনে করি এটি পরিমাপ করার একটি ভাল উপায় হ'ল "পুনরায় বিতরণ করার জন্য কখন স্ক্র্যাচ শুরু করার চেয়ে কম সময় বা কম কাট লাগবে; এবং / বা খেলোয়াড়রা কখন তাদের বর্তমান টুকরোটির একটি উল্লেখযোগ্য অংশ রাখবে?"

1. $n$$n+1$

$n+1$

1. $n$$n+1$

$1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$$2$$1$$3$$2$

---

একটি উল্লেখ হতে পারে ওয়ালশ, অনলাইন কেক কাটিং , অ্যালগরিদমিক সিদ্ধান্ত থিওরি 2011 (পিডিএফ লিঙ্ক) এ। তবে আমি মনে করি যে কাগজটি ধরে নিয়েছে যে আমরা আগত এজেন্টদের সংখ্যা আগেই জানি এবং খেলোয়াড়রা চলে যাওয়ার সময় অবশ্যই একটি টুকরো বরাদ্দ করতে হবে (যা প্রোটোকলের সমাপ্তির আগে), তাই এটি সত্যিই আপনার সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

---

$n$$n+1$$n+1$$n$

Comments

আমি নিশ্চিত নই যে এখানে সাধারণ সমস্যা (অ-ইউনিফর্মের পছন্দ সহ) কীভাবে সাহায্য পাওয়া যায়; ওফফফ ? অপরিবর্তিত প্লেয়ারদের (এবং যুক্তিসঙ্গত আকারগুলি) সমস্যার সমাধান করা সহজ। আমি অনুমান করি যে "দক্ষ" রেস "ভাল" এর অর্থ রিট কাটা / বরাদ্দ এবং এর পরিবর্তনগুলি কী আমাদের ঠিক করতে হবে।

— রাফেল

@ রাফেল - আমি যতদূর বলতে পারি প্রশ্নটি সাধারণ সমস্যা সমাধানের বিষয়ে জিজ্ঞাসা করে। (আমি সম্মত হই যে কোন নির্দিষ্ট করা হইলে আমাদের অতিরিক্ত কাঠামো ব্যবহার করা উচিত))

— usul

ধন্যবাদ, আপনার সংজ্ঞাটি আমার উদ্দেশ্যটি অবিকলভাবে ধারণ করেছিল। এবং অনলাইন কেক কাটা সম্পর্কে উল্লেখটি আকর্ষণীয় এবং প্রাসঙ্গিক।

— এরেল সেগাল-হালেভি

Answer 2

$C$$r$$n$$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

সংখ্যাগুলি কাজ করা সহজ; প্রথম নতুন খেলোয়াড়ের জন্য, সহজভাবে সমাধান করুন

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

তার চক্রান্ত জন্য ব্যাসার্ধ পেতে। দ্বিতীয় জন্য, সমাধান করুন

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

$n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

$n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ উত্স ]}

$n$$n$

Comments

এই পদ্ধতির দ্বারা পুনরায় স্বাক্ষরিত অঞ্চলটিকে কেকের নতুন টুকরো (অর্থাত্ সেক্টর) andোকানো এবং বিদ্যমান বিদ্যমান টুকরোগুলি ঘড়ির কাঁটার দিক দিয়ে সরানো (এবং সঙ্কুচিত করা) দিয়ে পুনরায় সাইন করা হয়েছে এমন অঞ্চলটির সাথে তুলনা করা আকর্ষণীয় হবে। একটি পদক্ষেপ দ্বারা প্রভাবিত পক্ষের সংখ্যা (কেবল ক্ষতি নয়) কেবল একটি ধ্রুবক দ্বারা পৃথক হয়। এছাড়াও নোট করুন যে রিংগুলি সেক্টরগুলির চেয়ে বেশি কার্যকর নয়, তবে একটি পদ্ধতি থেকে অন্য পদ্ধতিতে পরিবর্তন প্রথম পদ্ধতির দ্বারা নির্ধারিত অঞ্চলটি সরিয়ে নিতে দেয় না।

— ফ্রেফএল

@ ফ্রাফাল আমি সম্মত আপনি একটি উত্তরে অন্যান্য রূপ (গুলি) উপস্থাপন করতে পারেন? (আপনি ঠিক বলেছেন: পদ্ধতিগুলি মিশ্রণের কোনও ভাল কারণ বলে মনে হচ্ছে না me আমার জন্য এটি কেক সমস্যার দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল: ধরে নিন কেকটি ইতিমধ্যে কাটা হয়েছে, কী করব?)

— রাফেল

$n+1$

এটি একটি সুন্দর ভূতাত্ত্বিক সমাধান, তবে এটি কেবল ইউনিফর্ম কেক এবং অভিন্ন প্রিরিরেন্সগুলির জন্য প্রাসঙ্গিক। আমি সাধারণ কেক কাটার সমস্যাটি দেখেছি: এন.ইউইউইকিপিডিয়া.আর / উইকি / ফায়ার_ডিজিশন যা ধরে নিয়েছে যে কেকটি অ-ইউনিফর্ম হতে পারে এবং বিভিন্ন খেলোয়াড়ের কেকের বিভিন্ন অংশের মূল্যবান মূল্য থাকতে পারে।

— এরেল সেগাল-হালেভি