একটি সেট একটি পার্টিশন প্রতিনিধিত্ব করার জন্য একটি কমপ্যাক্ট উপায় কি?

Question

সেট পার্টিশন উপস্থাপনের জন্য দক্ষ ডেটা স্ট্রাকচার রয়েছে । এই ডেটা স্ট্রাকচারগুলিতে ইউনিয়ন এবং ফাইন্ডের মতো ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য ভাল সময় জটিলতা রয়েছে তবে এগুলি বিশেষত স্থান-দক্ষ নয়।

কোনও সেটের বিভাজন উপস্থাপনের জন্য স্থান-দক্ষ উপায় কী?

এখানে একটি সম্ভাব্য সূচনা পয়েন্ট:

আমি জানি যে পার্টিশন সংখ্যা সঙ্গে একটি সেট উপাদান , -th বেল সংখ্যা । সুতরাং উপাদানগুলির সাথে একটি সেটের বিভাজন উপস্থাপনের জন্য অনুকূল স্থান জটিলতা বিট। এই জাতীয় উপস্থাপনাটি খুঁজতে, আমরা ( উপাদানগুলির একটি পার্টিশনের পার্টিশনের সেট ) এবং ( থেকে এর পূর্ণসংখ্যার সেট) এর মধ্যে এক থেকে এক ম্যাপিং সন্ধান করতে ।বি এন এন এন লগ 2 ( বি এন ) এন 1 বি $N$$B_N$$N$$N$$\log_2(B_N)$$N$$1$$B_N$

এমন কোনও ম্যাপিং রয়েছে যা গণনা করার পক্ষে দক্ষ? কি আমি "দক্ষ" দ্বারা মানে আমি থেকে / এই কম্প্যাক্ট প্রতিনিধিত্ব রূপান্তর করতে চান একটি সহজ-থেকে-নিপূণভাবে সময় বহুপদী (যেমন তালিকার একটি তালিকা হিসাবে) উপস্থাপনা বা ।লগ 2 ( বি এন$N$$\log_2(B_N)$

Comments

ভাবছেন, কতটা নির্দোষ / প্রাকৃতিক এনকোডিং হতে পারে কেবলমাত্র সেটের প্রতিটি উপাদানকে অনন্য পূর্ণসংখ্যার নির্ধারণের যেখানে ইন্টিজারটি পার্টিশন # প্রতিনিধিত্ব করে? হতে পারে এটি "এতটা পার্থক্য নয়" ...$\log_2(B_N)$

— vzn

Answer 1

নীচে পুনরুক্তি সূত্রটি আপনার এনকোডিংটি সন্ধান করার জন্য আপনি যেভাবে ব্যবহার করতে পারেন: এটি আরও কতগুলি উপাদান উপাদান রয়েছে এমন অংশ বিবেচনা করে প্রমাণিত হয় । যদি এর মধ্যে , তবে আমাদের কাছে তাদের জন্য পছন্দ রয়েছে এবং ভাগ করার জন্য পছন্দ রয়েছে

$$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k.$$ $n+1$$n-k$$\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$$B_k$

এটি ব্যবহার করে, আমরা যে কোনও বিভাজনকে মধ্যে একটি সংখ্যায় রূপান্তর করতে একটি পুনরাবৃত্ত আলগোরিদিম দিতে পারি । আমি অনুমান আপনি ইতিমধ্যে আকারের একটি উপসেট রূপান্তর একটি উপায় আছে এর সীমার মধ্যে একটি সংখ্যা (যেমন একটি অ্যালগরিদম পাস্কালের পুনরাবৃত্তি ) ব্যবহার করে একই পদ্ধতিতে পরিকল্পনা করা যেতে পারে ।$n+1$$0,\ldots,B_{n+1}-1$$k$$\{1,\ldots,n\}$$0,\ldots,\binom{n}{k}-1$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$

ধরা যাক যে অংশে রয়েছে অন্যান্য উপাদান রয়েছে । তাদের কোডটি । Range of এর একটি পার্টিশনটি সেই সমস্ত উপাদানকে "সঙ্কুচিত" করে গণনা করুন । Recursively এটির কোড গনা । নতুন কোডটি হল$n+1$$k$$C_1$$\{1,\ldots,n-k\}$$C_2$

$$C = \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l + C_1 B_{n-k} + C_2.$$

অন্য দিকে, একটি কোড , অনন্য মতো সন্ধান করুন এবং যেহেতু , এটা হিসেবে লেখা যেতে পারে , যেখানে । এখন অংশটি এমন কোড করে এবং of এর কোড করে$C$$k$

$$\sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l \leq C < \sum_{l=0}^{n-k} \binom{n}{l} B_l,$$ $$C' = C - \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l.$$ $0 \leq C' < \binom{n}{k} B_{n-k}$$C_1 B_{n-k} + C_2$$0 \leq C_2 < B_{n-k}$$C_1$$n+1$$C_2$$\{1,\ldots,n-k\}$, যা পুনরাবৃত্তভাবে ডিকোড করা যায়। ডিকোডিংটি সম্পূর্ণ করার জন্য, আপনাকে পরবর্তী পার্টিশনটি "সঙ্কুচিত" করতে হবে যাতে এতে থাকা অংশে উপস্থিত সমস্ত উপাদান উপস্থিত থাকে ।$n+1$

---

এখানে কিভাবে একই কৌশল ব্যবহার করার জন্য একটি উপসেট এনকোড হয় এর আকারের , যাও recursively। যদি তবে কোডটি , সুতরাং ধরুন । যদি then থাকে তবে of এর সাইজের এর উপসেট হিসাবে of এর কোড হতে দিন ; কোড হয় । যদি ; এর সাইজের এর একটি উপসেট হিসাবে তবে কে কোড হতে দিন ; এর কোড$S$$\{1,\ldots,n\}$$k$$k=0$$0$$k>0$$n \in S$$C_1$$S \setminus \{n\}$$k-1$$\{1,\ldots,n-1\}$$S$$C_1$$n \notin S$$C_1$$S$$k$$\{1,\ldots,n-1\}$$S$হয় ।$C_1 + \binom{n-1}{k-1}$

একটি কোড ডিকোড করার জন্য , দুটি ক্ষেত্রে আছে। যদি তারপর ডিকোড একটি উপসেট এর আকারের যার কোড হল , এবং আউটপুট । অন্যথায়, সাইজের of এর একটি উপসেট ডিকোড করুন যার কোড , এবং আউটপুট ।$C$$C < \binom{n-1}{k-1}$$S'$$\{1,\ldots,n-1\}$$k-1$$C$$S' \cup \{n\}$$S'$$\{1,\ldots,n-1\}$$k$$C - \binom{n-1}{k-1}$$S'$

Comments

দুর্দান্ত উত্তর; ধন্যবাদ. ক্ষুদ্র বাগ: উপরের পুনরাবৃত্তি সূত্রের জন্য প্রমাণ স্কেচে, আমি মনে করি আপনি কি বলতে চান "আছে যারা" এর পরিবর্তে "আছে সেই" - তারপর অবশিষ্ট উপাদানের মধ্যে বিভক্ত করা যেতে পারে উপায়ে । $n - k$$k$$k$$B_k$

— cberzan