গ্রাফের দুটি / তিনটি ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ রয়েছে?

Question

আমি প্রদত্ত গ্রাফ জিতে দুটি ভিন্ন ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ আছে কিনা তা সনাক্ত করার একটি কার্যকর পদ্ধতি সন্ধান করার চেষ্টা করছি। আমি এখানে 3 টি ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ আছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য একটি পদ্ধতিও অনুসন্ধান করার চেষ্টা করছি। যে নিষ্পাপ সমাধানটি আমি প্রায় ক্রুশকলের অ্যালগরিদম একবার চালাচ্ছি এবং সর্বনিম্ন বিস্তৃত গাছের মোট ওজন খুঁজে পাচ্ছি। পরে, গ্রাফ থেকে একটি প্রান্তটি সরিয়ে আবার ক্রুসকলের অ্যালগরিদম চালানো এবং নতুন গাছের ওজন মূল ন্যূনতম বিস্তৃত গাছের ওজন কিনা তা পরীক্ষা করা এবং গ্রাফের প্রতিটি প্রান্তের জন্য। রানটাইম হ'ল ও (| ভি || ই | লগ | ভি |) যা মোটেও ভাল নয় এবং আমি মনে করি এটি করার আরও ভাল উপায় আছে।

কোনও পরামর্শ সহায়ক হবে, আগাম ধন্যবাদ

Comments

এই জাতীয় অ্যালগরিদম সম্পর্কে সচেতন হতে ভাল লাগবে, তবে এটি এই বর্তমান সমস্যার সমাধান করবে না

— Itamar

গ্রাফ একটি অনন্য ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ থাকবে এবং যদি কেবলমাত্র (1) ভি ( জি ) এর যে কোনও বিভাজনের জন্য দুটি উপ-বিভাগে ভাগ করা হয়, প্রতিটি উপসেটে একটি প্রান্তের সাথে সর্বনিম্ন ওজনের প্রান্তটি অনন্য এবং (2) সর্বোচ্চ-ওজন জি এর যে কোনও চক্রের প্রান্তটি অনন্য। $G$$V(G)$$G$

— জুহো

এই প্রশ্নের কি এক এবং দুই ইতিমধ্যে আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে?

— জুহো

কীভাবে দ্বিতীয় সেরা এমএসটি খুঁজে পায় তার জন্য CLRS সমস্যা 23-1 দেখুন । $O(n^2)$

— কাভেহ

Answer 1

কাপুর ও রমেশ ( যথাযথ সিয়াম জে। কম্পিউটার, সংস্করণ , ফ্রি (?) ব্যক্তিগত ওয়েবসাইট সংস্করণ ) ওজনযুক্ত এবং অদ্বিতীয় গ্রাফের সমস্ত ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ গণনার জন্য একটি অ্যালগরিদম দেয়।

প্রাথমিক ধারণাটি সম্পর্কে আমার বোঝাপড়াটি হ'ল আপনি একটি এমএসটি দিয়ে শুরু করেছেন, তারপরে গ্রাফের চক্র ধরে থাকা প্রান্তগুলি অদলবদল করুন (যতক্ষণ ওজন ঠিক আছে ততক্ষণ আপনি একটি কিনারা অন্যটির সাথে প্রতিস্থাপন করছেন যা আপনি জানেন যে গাছটি আবার সংযোগ করবে) ।

ওজনযুক্ত ক্ষেত্রে তারা এর সর্বনিম্ন ছড়িয়ে পড়া সমস্ত গাছের তালিকা করার জন্য একটি চলমান সময় দেয় যেখানে এন এমন বিস্তৃত গাছগুলির সংখ্যা। এটি ওজন বাড়ানোর ক্রম হিসাবে তাদেরকে গণ্য করে এবং আমার বর্তমান (কসরত) বোঝার ফলে প্রদত্ত সংখ্যক গাছ উত্পন্ন হওয়ার পরে অ্যালগরিদমকে সমাপ্ত করা পুরোপুরি সম্ভব (যেমন এটি কেবল এমএসটি দিয়ে শুরু হয় এবং ধারাবাহিকভাবে তাদের উত্পাদন করে)।$O(N\cdot|V|)$$N$

Comments

এখানে এই পরিস্থিতিতে, আমরা যদি জানতে পারি যে এর চেয়েও বেশি সমাধান রয়েছে তবেই আমরা প্রথমে অ্যালগরিদম বাতিল করতে চাই । অ্যালগরিদম কি এটির জন্য অনুমতি দেয়? $k$

— রাফেল

@ রাফেল, আমার সাথে এটি আঁকড়ে ধরার সত্যিই সময় নেই (ইয়য়ে অ্যাসাইনমেন্ট চিহ্নিতকরণ), তবে আমার মোটামুটি বোঝাপড়া থেকে এটি সম্ভব হওয়া উচিত - এটি কিছুটা এমএসটি দিয়ে শুরু হয়, তারপরে একে একে অন্যকে উত্পন্ন করে।

— লুক ম্যাথিসন

@ সাইদআমিরি: "এই জাতীয় বিস্তৃত গাছগুলির সংখ্যা " এর অর্থ " ন্যূনতম বিস্তৃত গাছের সংখ্যা ", "বিস্তৃত গাছগুলির সংখ্যা" নয়। সমস্ত বিস্তৃত গাছ যদি সর্বনিম্ন ছড়িয়ে পড়া গাছ হয় তবে ইনপুট গ্রাফটি সম্পূর্ণ এবং সমস্ত প্রান্তের সমান ওজন থাকে। $n^{n-2}$

— জেফই

কাগজটি ওজনযুক্ত এবং অদ্বিতীয় গ্রাফ উভয়ই বিবেচনা করে, সুতরাং আপনি উভয়ই ঠিক আছেন;)। আমি আরও মনে করি যে অ্যালগোরিদম আপনার পছন্দমতো গাছের সংখ্যা তৈরি করার পরে থামার সম্ভাবনাটিকে মঞ্জুরি দেয়, সুতরাং ওপি-র জন্য এটি এটি নেমে যায় । আবার, আরও ভাল চেহারা পেতে আমার কিছুটা ফ্রি সময় দরকার। $O(|V|)$

— লুক ম্যাথিসন

দ্রুত পড়ার পরে, ভারী অ্যালগরিদম ওজন ক্রম বৃদ্ধির জন্য গাছগুলি উত্পন্ন করে (স্পষ্টতই এমএসটি থেকে শুরু করে)। সুতরাং এটি ওপি'র উদ্দেশ্যে করা উচিত।

— লুক ম্যাথিসন

Answer 2

কেউ দেখিয়ে দিতে পারেন যে কৃসকলের অ্যালগরিদম প্রতিটি ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ খুঁজে পেতে পারে; দেখতে এখানে ।

$k$$k$

Comments

$k$$k$$K_{1,5}$

@ ভনব্র্যান্ড ভাল পয়েন্ট আমরা অবশ্যই গণনার সমস্ত শাখা শেষ করেই চালিয়ে যেতে পারি, তবে রানটাইমটি বিস্তৃত গাছগুলির সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা তাত্পর্যপূর্ণ হতে পারে।

— রাফেল

Answer 3

একাধিক এমএসটি আছে কিনা তা দেখতে, উদাহরণস্বরূপ ক্রুসকলের অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন। বিভিন্ন এমএসটি নির্মাণের একমাত্র উপায় হ'ল একই ওজন সহ বেশ কয়েকটি যখন থাকে তখন অন্যটি বেছে নিয়ে প্রান্তগুলি রেখে। তবে সেই একই ওজনযুক্ত প্রান্তগুলি এড়িয়ে যেতে পারে কারণ তারা হালকা প্রান্ত সহ একটি চক্র গঠন করেছিল ...

সুতরাং আপনার ক্রুসকলের অ্যালগরিদম চালানো উচিত এবং যখন একই ওজন সহ বেশ কয়েকটি প্রান্ত বিবেচনা করার জন্য থাকে তখন তাদের সমস্তগুলি যোগ করুন যা চক্র তৈরি না করে যুক্ত করা যায়। যদি এই ওজনের প্রান্তটি বাকী থাকে এবং এটি নিম্ন ওজনের (যা আগে যুক্ত করা হয়েছিল) কোনও প্রান্তের সাথে একটি চক্র বন্ধ করে না, তবে একাধিক এমএসটি রয়েছে। ঠিক 2 বা 3 বা ততোধিক কিছু আছে কিনা তা পরীক্ষা করা দেখতে আরও শক্ত মনে হচ্ছে ...

Answer 4

কৃসকলের অ্যালগরিদম সংশোধন করা হচ্ছে: প্রান্তগুলি অর্ডার করার সময়, সমান ওজন সহ ক্লাস্টার প্রান্তগুলি। এখন, আপনি যে বিন্যাসটি ক্রম অনুসারে প্রক্রিয়াকরণ করছেন, প্রতিবার যখন আপনি একটি নতুন ক্লাস্টারে পৌঁছাবেন, প্রথমে পৃথকভাবে সমস্ত প্রান্তগুলি পরীক্ষা করুন এবং ক্লাস্টারের আগে নির্মিত যা দেওয়া হয়েছিল তা দিয়ে একটি চক্র বন্ধ করবে এমনগুলি ক্লাস্টার থেকে সরান। তারপরে ক্লাস্টারে বাকী সমস্ত প্রান্তটি চালান এখন সেগুলি এমএসটিতে যুক্ত করার চেষ্টা করছেন। যদি তাদের মধ্যে কোনও চক্র বন্ধ করে দেয় তবে অগত্যা একই ক্লাস্টারের অন্যান্য প্রান্তগুলি আগে sertedোকানো হয়েছিল কারণ আপনার একাধিক এমএসটি রয়েছে।

এই দ্রবণটি কৃসকলের অ্যালগরিদমের জটিলতা সংরক্ষণ করে, কেবল এটি প্রতিটি প্রান্তে প্রক্রিয়াজাতকরণের সময় বাড়ায়।

Comments

আপনি দাবি করছেন বলে মনে হচ্ছে আপনি ধ্রুবক সময়ে একটি পুরো ক্লাস্টারটি প্রসেস করতে পারেন তবে আমি একটি ক্লাস্টারের আকারের সাথে কোনও স্পষ্ট ধ্রুবক দেখতে পাচ্ছি না। কিভাবে আপনি এই পর্যায়টি সম্পন্ন হয় সে সম্পর্কে আরও বিস্তারিত জানাতে পারেন?

— ডেভিড রিচারবি