দীর্ঘ চক্র দুটি চক্রের মধ্যে রয়েছে

নিম্নলিখিত সমস্যাটি কি এনপি-সম্পূর্ণ? (আমি হ্যাঁ ধরে নিই)

ইনপুট: একটি পুনর্নির্দেশিত গ্রাফ যেখানে প্রান্ত সেটটি দুটি প্রান্ত-বিচ্ছিন্ন সরল চক্রগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে (এগুলি ইনপুটটির একটি অংশ নয় )। $k \in \mathbb{N},G=(V,E)$

প্রশ্ন: দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি কোনও সরল চক্র রয়েছে ? $G$ $k$

একথাও ঠিক যে সমস্যা দ্বারা NP এবং সর্বোচ্চ ডিগ্রী হয় , কিন্তু যে সাহায্যের বলে মনে হচ্ছে না। $G$ $\leq 4$

graph-theory np-complete decision-problem

— তালিকা
সূত্র

আমি মনে করি না যে আপনি "যে কোনও জোড় সংযোগকারী সর্বাধিক 4 টি পথ" সম্পর্কে ঠিক আছেন। দেখুন: i.imgur.com/mYL4n1V.png

— svinja

@ সোভিনজা আপনি ঠিকই বলেছেন, আমার বলা উচিত যে দুটি জোড়ের যে কোনও জোড়ের মধ্যে প্রায় 4 জোড়া প্রান্তের বিচ্ছিন্ন পথগুলি বিদ্যমান।

— তালিকা

আপনার শিরোনাম বিভ্রান্তিমূলক, কারণ সবচেয়ে দীর্ঘতম চক্র

এর

(কোনও পচে) দুটি চক্রের কোনওটিই হতে পারে না ।

E

$E$

— ডেনিস

@ ডকুপার এটি আসলে দুটি চূড়াটিকে একসাথে সরল চক্রকে পৃথক করতে পারে।

— তালিকা

আমার বক্তব্যটি এমন নয় যে এটি কখনই তাদের একজন হতে পারে না, এটি কখনও কখনও এটির মধ্যে একটিও হয় না। সুতরাং সমস্যাটি দুটির চেয়ে বড় খুঁজে পাচ্ছে না।

— ডেনিস

উত্তর:

একটি হ্রাস প্রচেষ্টা ...

ডিগ্রাফ হ্যামিলটোনীয় পথ থেকে হ্রাস সর্বোচ্চ 3 ডিগ্রি যা এনপিসি [জি অ্যান্ড জে] $G = (V,E)$

প্রান্তগুলির দিকটি অগ্রাহ্য করুন এবং একটি স্বেচ্ছাসেবী নোড থেকে প্রথম গভীরতা (পুনর্নির্দেশিত) স্ক্যান ব্যবহার করে এর প্রান্তগুলি দুটি পৃথক (অনির্দেশিত) পাথগুলিতে বিভক্ত করুন (চিত্রগুলিতে লাল এবং সবুজ); $G$
অতিরিক্ত "লিঙ্কিং নোডস" যুক্ত করে লাল পাথগুলিতে যোগ দিন (চিত্র বিতে বেগুনি নোড) এবং একটি পুনর্নির্দেশিত রেড সার্কিট করুন; সবুজ পাথগুলিতে অতিরিক্ত "লিঙ্কিং নোডগুলি" যোগ করুন (চিত্রায় বেগুনি নোড) এবং একটি অনির্দেশিত সবুজ সার্কিট তৈরি করুন;
প্রতিটি মূল নোড রুপান্তর indegree 1 এবং outdegree 2 (চিত্রে C) যোগ অন্তর্মুখী উপর হলুদ নোড লাল প্রান্ত , এবং যোগ প্রথম বিদেশগামী উপর হলুদ নোড লাল প্রান্ত ; অবশেষে হলুদ নোডগুলি "আউটবাউন্ড সবুজ প্রান্ত দিকে চারপাশে" মোড়ানো "পথ ব্যবহার করুন যা লাল প্রান্তগুলির বহিরাগত হলুদ নোডগুলিকে স্পর্শ করে (চিত্র ডি)। $b \in V$ $k$ $a\to b$ $k$ $b \to c$ $k$ $b \to d$ $b$

ফলস্বরূপ গ্রাফে সমস্ত হলুদ নোড একটি সাধারণ পথ দ্বারা কেবল চিত্র E এবং চিত্র F এ দেখানো দুটি উপায়েই অতিক্রম করতে পারে যা মূল নোড এর দুটি বৈধ ট্র্যাভার্সালের সাথে মিল রয়েছে ; অনানুষ্ঠানিকভাবে যদি অতিরিক্ত "লিঙ্কিং" বেগুনি নোডের দিকে প্রান্ত ব্যবহার করা হয়, হলুদ নোডগুলি পারা যায় না। $3k$ $b \in V$ $k$

অগণিত 2 এবং আউটডিগ্রি 1 এর প্রতিটি মূল নোডকে একইভাবে রূপান্তর করুন

একটি বড় পরিমাণে , ফলে গ্রাফ চেয়ে দৈর্ঘ্য বৃহত্তর একজন সহজ পথ রয়েছে যদি এবং কেবল যদি মূল গ্রাফ একটি হ্যামিল্টনিয়ান পথ আছে (দৈর্ঘ্য ) $k \gg |V|$ $G'$ $3k(|V|-1)$ $G$ $|V|-1$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

বৃহত্তর ছবি এখানে ডাউনলোড করা যেতে পারে

— মাস
সূত্র

এটি খুব সুন্দর প্রমাণ, সম্ভবত পথগুলি কীভাবে পাওয়া যায় তা বুঝতে সহজ করার জন্য আপনার চিত্র 'এ' তে প্রান্তগুলি পরিচালনা করা উচিত (আমি মনে করি আমি এটি বুঝতে পেরেছিলাম)।

— তালিকা

@ তালিকাবদ্ধকরণ: পাথের নির্মাণ নির্দেশিত প্রান্তগুলির উপর নির্ভর করে না (প্রকৃতপক্ষে আমি উত্তরে "অনির্দেশিত" অনুসন্ধান লিখেছি)। আপনি একটি স্বেচ্ছাসেবী নোড থেকে শুরু করা উচিত, লাল প্রান্তগুলি উল্টানো রঙের সাথে রঙিন করে প্রথমে একটি গভীরতার স্ক্যান তৈরি করা উচিত, তারপরে ব্যাকট্র্যাকটি প্রথম ডিগ্রি 3 নোডে এসে পৌঁছেছে এবং এর থেকে গভীরতার প্রথম স্ক্যানটি চালিয়ে যাওয়া সবুজ প্রান্তগুলি দিয়ে রঙ করা, এবং আরও কিছু চালিয়ে যেতে হবে। .. সম্ভবত এটির আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আছে, তবে এটি এখন আমার মনে আসে না। আপনার আরও বিশদ বিবরণ প্রয়োজন হলে আমাকে জানান।

— মাস

আমি দেখতে পাচ্ছি যে প্রান্তটি 'সঠিক' দিকনির্দেশে বিভ্রান্ত হয়েছে তা সর্বশেষ রূপান্তর দ্বারা প্রয়োগ করা হয়েছে। সুস্পষ্ট করার জন্য ধন্যবাদ.

— তালিকা

ভোরের উত্তরে অনুপ্রাণিত হয়ে আমি একটি সহজ উত্তর দিতে চাই।

গ্রিড গ্রাফগুলির সমস্যার জন্য হ্যামিল্টোনীয় চক্র সমস্যাটি শুরু করুন যা এটিই দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।

এটি সহজেই দেখা যায় যে গ্রিড গ্রাফের প্রান্ত সেটটি 2 টি বিচ্ছিন্ন সাবসেটগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে: অনুভূমিক এবং উল্লম্ব।

সুতরাং, এখন আমাদের সমস্ত অনুভূমিকগুলি একটি সাধারণ চক্রের মধ্যে বুনতে হবে এবং সমস্ত উল্লম্বগুলি অন্য একটি সহজ চক্রের মধ্যে বুনতে হবে।

এটি খুব সহজ কাজ: লম্বালম্বীদের জন্য, বাম দিক থেকে ডানদিকের দিকে ঝাপটান, কেবল যে কোনও উল্লম্ব ফাঁকগুলি সংযুক্ত করুন, তারপরে একটানা এক্স-সমন্বিত উল্লম্ব লাইনটি সংযুক্ত করুন, তারপরে সর্বনিম্ন বামতম প্রান্তকে সর্বাধিক ডানদিকের প্রান্তে যুক্ত করুন connect অনুভূমিক প্রান্তের জন্য একইভাবে করুন।

মনে রাখবেন যে প্রাপ্ত গ্রাফটি এখনও সহজ, পুনর্নির্দেশিত এবং প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। এটি সহজ কারণ উল্লম্ব ফেজ এবং অনুভূমিক পর্যায়ের শেষ ধাপগুলিতে, আমরা দুটি পৃথক ভার্টেক্স জোড় নিয়ে ডিল করি।

$k$ $k$ $2k|V|$

— থিনহ ডি এনগুইন
সূত্র