বিরোধী যুক্তি ব্যবহার করে kth ক্ষুদ্রতম উপাদান সন্ধানের জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধ

Question

অনেক গ্রন্থেই একটি নিম্ন খোঁজার জন্য আবদ্ধ মধ্যমা ব্যবহার আর্গুমেন্ট ব্যবহার তম ক্ষুদ্রতম উপাদান তৈরীর প্রাপ্ত করা হয়। কীভাবে আমি একটি বিরোধী যুক্তি ব্যবহার করে খুঁজে পেতে পারি?$k$

উইকিপিডিয়া বলছে যে টুর্নামেন্ট অ্যালগরিদম রান , এবং এন - ট + + Σ এন ঞ = ঢ + + 2 - ট ⌈ $O(n+k\log n)$ হয়দেওয়াআবদ্ধ নিম্ন হিসাবে।$n - k + \sum_{j = n+2-k}^{n} \lceil{\operatorname{lg}\, j}\rceil$

Answer 1

আমি সংক্ষেপে একটি বিরোধী যুক্তি একটি স্কেচ রূপরেখা করতে যাচ্ছি।

আপনার নির্বাচনের অ্যালগরিদম কোনও প্রতিপক্ষের বিরুদ্ধে খেলাকে বিবেচনা করুন যা আমরা বিরোধীদের বলব the প্রতিপক্ষের লক্ষ্যটি হল আপনার অ্যালগরিদমের জন্য একটি ইনপুট $X$ করা যা আপনার অ্যালগরিদমের দ্বারা তুলনামূলক ক্রিয়াকলাপের সংখ্যা সর্বাধিক করে তোলে। প্রকৃতপক্ষে, আপনার অ্যালগরিদমকে তুলনা গাছ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেখানে কোনও পথ আংশিক ক্রমের সাথে মিলে যায়। অ্যালগরিদম একজোড়া সম্পর্কে প্রতিদ্বন্দ্বী জিজ্ঞেস যখন $(x, y)$ উপাদানের, প্রতিদ্বন্দ্বী আয় পারেন $x < y$ বা $y < x$ । বিরোধী উত্তরগুলি কখনই পূর্ববর্তী ফলাফলগুলির সাথে বিরোধিতা করতে পারে না।

অনুমান $k$ -th বৃহত্তম উপাদান $x^*$ : আংশিক তুলনা গাছের কোন গাছের পাতা থেকে সংশ্লিষ্ট অর্ডার বিবেচনা করা, তারপর $x^*$ অনুক্রমে প্রত্যেক অন্যান্য উপাদান দিয়ে তুলনীয় হতে হবে জন্য অ্যালগরিদম সঠিক বলে, যাতে অ্যালগরিদম থাকতে হবে তৈরি অন্তত একটি তুলনা $(y, z)$ $\forall y \neq x^*$ যার পরিণতি হয় হয় $y < z \leq x^*$ বা $x^* \leq z < y$ । এলিমেন্ট y এর জন্য এই জাতীয় তুলনাটিকে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ Call$y$। স্পষ্টতই, বিরোধীরা আপনার অ্যালগরিদমের দ্বারা সম্পন্ন নন-ক্রুয়ালিয়াল তুলনা সংখ্যাটি সর্বোচ্চ করতে চায় ize

$L$$k−1$ বৃহত্তম উপাদান সেট করা যাক ; আপনার অ্যালগরিদম চাহিদা সঠিকভাবে উপাদানের সব চিহ্নিত করতে $L$ বৃহত্তম উপাদান এবং মধ্যে $X \setminus L$ , অর্থাত্ $x^*$ । মান্য যে প্রতিটি উপাদান $X \setminus L$ অন্তত একটি গুরুত্বপূর্ণ তুলনা হারিয়েছে। এখন, শত্রুদের একটি কৌশল রয়েছে যা এল এর প্রতিটি $k - 1$ উপাদানকে কমপক্ষে জিততে বাধ্য করে ⌈ lg n$L$$\left\lceil {\lg \frac{n}{{k - 1}}} \right\rceil$তুলনা, যার কোনটি$X \setminus L$জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এক্স-এল এরজন্যঅবশিষ্ট$n - k$ক্রুশিয়ালতুলনা যুক্ত করেআপনি নিম্নসীমাটিঅর্জন করেন। বিশদগুলির জন্য, দয়া করে নিম্নলিখিত, দুর্দান্ত, জেফ এরিকসননোটগুলি পড়ুন।$X \setminus L$

Comments

@JeffE আমি সংজ্ঞা সম্পর্কে বিভ্রান্ত করছি crucial comparison for $y$তুলনা: যেখানে পারেন Y < z- র ≤ এক্স * বা এক্স * ≤ z- র < Y এবং এক্স * হয় লক্ষ্য উপাদান। এই তুলনা করা হয় যখন আমরা z এবং x ∗ মধ্যে সম্পর্ক জানি না ? আমাদের এখানে কি ওরাকল আছে? বা আমরা কি পুরো তথ্য (এমনকি পাতায় ভবিষ্যতের তথ্য) সহ সর্বজ্ঞানী? $y : z$$y < z \le x^{\ast}$$x^{\ast} \le z < y$$x^{\ast}$$z$$x^{\ast}$

— hengxin