দুটি এন-অঙ্ক সংখ্যার গুণনের জন্য দ্রুততম অ্যালগরিদম কী?

আমি জানতে চাই যে দুটি এন-অঙ্ক সংখ্যার গুণনের জন্য কোন অ্যালগরিদম দ্রুততম? এখানে স্থান জটিলতা শিথিল করা যায়!

algorithms mathematical-programming

আপনি কি তাত্ত্বিক প্রশ্নে আগ্রহী নাকি ব্যবহারিক প্রশ্নে?

— যুবাল ফিল্মাস

উভয়, কিন্তু ব্যবহারিক এক আরও ঝুঁকির!

— অ্যান্ডি

ব্যবহারিক প্রশ্নের জন্য, আমি জিএমপি ব্যবহার করার পরামর্শ দিচ্ছি। যদি আপনি কৌতূহলী হন তবে তারা কী ব্যবহার করেন, ডকুমেন্টেশন বা উত্স কোডটি দেখুন।

— যুবাল ফিল্মাস

কেউ জানে না. আমরা এটি এখনও পাইনি।

— জেফ ই

উত্তর:

মার্টিন ফুরের এখনকার ফারারের অ্যালগরিদমের এর একটি সময়ের জটিলতা রয়েছে $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$ over যা ফিউরিয়ারকে জটিল সংখ্যার উপর রূপান্তর ব্যবহার করে। তাঁর অ্যালগরিদম আসলে স্কেনহেজ এবং স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদমের উপর ভিত্তি করে a সময়ের জটিলতা রয়েছে $Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

অন্যান্য অ্যালগরিদমগুলি যা গ্রেড স্কুল গুণিত অ্যালগরিদমের চেয়ে দ্রুততর সেগুলি করটসুবা গুণফল যা $O(n^{\log_{2}3})$ ≈ $O(n^{1.585})$ এবং টুম 3 অ্যালগরিদমের সময় জটিলতা রয়েছে এর $Θ(n^{1.465})$

দ্রষ্টব্য যে এগুলি দ্রুত অ্যালগরিদম। গুণের জন্য দ্রুততম অ্যালগরিদম সন্ধান করা কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি উন্মুক্ত সমস্যা।

তথ্যসূত্র:

— AVI
সূত্র

ডি (হার্ভে এবং জে ভ্যান ডার হোইভেন (মার্চ 2019) এর সাম্প্রতিক কাগজটি জটিলতার সাথে একটি অ্যালগরিদম বর্ণনা করার জন্য নোট করুন ।

O (n \ln n)

$O(n\ln n)$

— হার্ডম্যাথ

নোট করুন যে এভির তালিকাভুক্ত এফএফটি অ্যালগরিদমগুলি একটি বৃহত ধ্রুবক যুক্ত করে, যা তাদেরকে হাজার + বিটের চেয়ে কম সংখ্যার জন্য অযৌক্তিক করে তোলে।

এই তালিকাটি ছাড়াও, আরও কিছু আকর্ষণীয় অ্যালগরিদম এবং ওপেন প্রশ্ন রয়েছে:

র‌্যাম মডেলের রৈখিক সময়ের গুণন (প্রাকপূরণ সহ)
কনস্ট্যান্ট দ্বারা গুণ করা হ'ল সাবলাইনার ( পিডিএফ ) - এর অর্থ সংযোজনের একটি সাবলাইনার সংখ্যা যা মোটবিট জটিলতা পায়। এটি মূলত দীর্ঘ গুণনের সমান (যেখানে আপনিনিম্ন সংখ্যায়টিরসংখ্যার উপর ভিত্তি করে আপনি স্থানান্তরিত / সংযুক্ত), যা, তবে একটিগতিবেগ। $\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$ $1$ $\mathcal{O}\left({n^2} \right)$ $\mathcal{O}\left(\log n\right)$
অবশিষ্টাংশ নম্বর সিস্টেম এবং সংখ্যার অন্যান্য উপস্থাপনা; গুণ প্রায় লিনিয়ার সময়। নেতিবাচক দিকটি হ'ল, গুণটি মডুলার এবং {ওভারফ্লো সনাক্তকরণ, সমতা, মাত্রার তুলনা all এগুলি যতটা শক্ত বা প্রায় শক্ত হিসাবে সংখ্যাটি বাইনারি বা অনুরূপ উপস্থাপনায় রূপান্তরিত করা এবং traditionalতিহ্যগত তুলনা করার মতো; এই রূপান্তরটি কমপক্ষে traditionalতিহ্যগত গুন হিসাবে খারাপ (এই মুহুর্তে, এএফআইকে)।
- অন্যান্য উপস্থাপনা:
  - [ লোগারিদমিক প্রতিনিধিত্ব ]: গুণগুলি লোগারিথমিক উপস্থাপনার সংযোজন। উদাহরণ:
    $16 \times 32 = 2^{\log_{2} 16 + \log_{2} 32} = 2^{4 + 5} = 2^{9}$
    - ডাউনসাইড হ'ল লোগারিথমিক উপস্থাপনার থেকে রূপান্তর হ'ল গুণ বা শক্ত হিসাবে কঠোর হতে পারে, উপস্থাপনাটি ভগ্নাংশ / অযৌক্তিক / আনুমানিকও হতে পারে Other অন্যান্য ক্রিয়াকলাপ (সংযোজন?) সম্ভবত আরও কঠিন।
  - ক্যানোনিকাল উপস্থাপনা : মূল ফ্যাক্টেরাইজেশনের সংখ্যক হিসাবে সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করুন। গুণগুলি ব্যয়কারীদের সংযোজন। উদাহরণ: $36 \times 48 = 3^{2} \cdot 5^{1} \times 2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 4^{1} = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 4^{1} \cdot 5^{1}$ $36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$
  - ডাউনসাইড হ'ল, গুণকগুলির চেয়ে অনেক বেশি কঠিন সমস্যা, কারণ বা গুণক প্রয়োজন। সংযোজন হিসাবে অন্যান্য ক্রিয়াকলাপ সম্ভবত খুব কঠিন।

— রিয়েলজ স্লাও
সূত্র

আমি একটি অবশিষ্টাংশ অধিকার মডিউল সঙ্গে / চীনা বাকি উপপাদ্য-ভিত্তিক পদ্ধতির বিশ্বাস করতে এমনকি রূপান্তর ফিরে চিরাচরিত গুণ বেশি speedups হতে; এক পর্যায়ে এটি ছিল টিএওসিপি-র চতুর্থ অধ্যায়ে, অন্তত একটি পাদটীকা হিসাবে। (এটি এখনও এফএফটি-ভিত্তিক পদ্ধতিগুলির কাছে

— পৌঁছায়

@ স্টিভেনস্টাডনিকি ওহ শান্ত, আমাকে তখন দেখার প্রয়োজন; জটিলতা জানতে পেরেছ?

— রিয়েলজ স্লাও