স্কোয়ারগুলির সাথে একটি অর্থোগোনাল বহুভুজ টাইলিং

Question

অরথোগোনাল বহুভুজ দেওয়া (এমন বহুভুজ যার পক্ষের অক্ষগুলির সমান্তরাল), আমি অভ্যন্তরীণ-বিচ্ছিন্ন স্কোয়ারগুলির সবচেয়ে ছোট সেট খুঁজে পেতে চাই, যার ইউনিয়ন বহুভুজটির সমান।

আমি কিছুটা ভিন্ন সমস্যা সম্পর্কিত কয়েকটি উল্লেখ পেয়েছি যেমন:

• আচ্ছাদন স্কোয়ার সঙ্গে একটি লম্ব বহুভুজ - আমার সমস্যা অনুরূপ, কিন্তু আচ্ছাদন স্কোয়ার ওভারল্যাপ অনুমতি দেওয়া হয়। এই সমস্যার একটি বহুপদী সমাধান রয়েছে ( অপার্পেল, কন, কেয়েল এবং ও'রউক, 1988 ; বার-ইহুদা এবং বেন-হ্যানোক, 1996 )।
• আয়তক্ষেত্রগুলিতে একটি অর্থোগোনাল বহুভুজকে টাইলিং / ডিকম্পোজিং / পার্টিশন করা । এই সমস্যার একটি বহুপদী সমাধান রয়েছে ( কেইল, 2000 ; এপস্টিন, 2009 )।
• আচ্ছাদন সহ একটি লম্ব বহুভুজ আয়তক্ষেত্র - এই সমস্যা পরিচিত দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হতে ( Culberson এবং Reckhow, 1988 )।

আমি স্কোয়ারগুলির সাথে ন্যূনতম টাইলিংয়ের জন্য একটি অ্যালগরিদম খুঁজছি ।

Comments

মিমিম আমি এটি এনপি-হার্ড হিসাবে কল্পনা করতে পারি। আমি কিছু গঠনের চেষ্টা করব।

— রিয়েলজ স্লাও

অনুমোদিত গর্তগুলির সাথে সংক্ষিপ্তকরণের সংস্করণটি এনপি-হার্ড, তবে কেবল-সংযুক্ত অর্থোথোনাল বহুভুজগুলির জন্য (অর্থাত্ গর্ত ছাড়াই) এটিতে একটি বহুপদী অ্যালগরিদম রয়েছে। তবে, যদি আপনার সমস্যায় মাপগুলি পূর্ণসংখ্যার হয় এবং আপনি সত্যিকার অর্থে একটি ন্যূনতম কভার এবং ন্যূনতম কভার না বোঝায়, তবে এই ক্ষেত্রে একটি বহুপদী আলগোরিদম সম্ভব is

— পারহাম

মিম, আমার ন্যূনতম স্কোয়ারগুলি যুক্তিসঙ্গতভাবে অবস্থানযুক্ত হবে এবং যৌক্তিক আকারের হবে তার একটি প্রমাণ প্রয়োজন; বা আরও বেশি, যে যদি ইনপুটটি পূর্ণসংখ্যার আকারের এবং পূর্ণসংখ্যার অবস্থানযুক্ত হয়, তবে সর্বনিম্ন স্কোয়ারগুলিও হবে (এটি স্যাট থেকে হ্রাস করতে)। স্বজ্ঞাতভাবে, আমি অনুমান করি যে এটি সত্য, আপনার এটি প্রমাণ করার কোনও ধারণা আছে কি?

— রিয়েলজ স্লাও

@ মাহমুদআলিমোহামাদি: আপনি কি কাগজগুলির শিরোনাম / লেখক সরবরাহ করতে পারেন যেখানে স্কোয়ারগুলির সাথে রন্ধনকোষ বহুভুজ (গর্তযুক্ত বা ছাড়া) টাইলিংয়ের সমস্যাটি অধ্যয়ন করা হয় (এবং সমাধান করা হয়)।

— মাস

BTW, আমি তোমাকে ফোঁটা বোঝানো অধিকৃত উম ফোঁটা পরিবর্তে আল ।

— রিয়েলজ স্লাও

Answer 1

আমি এই সমস্যা দেখানোর জন্য চেষ্টা করবে থেকে হ্রাস করে, দ্বারা NP-কঠিন ।$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

---

প্ল্যানার থেকে $\text{Planar-}3\text{-SAT}$

কিছু বেসিক গ্যাজেটস

গ্যাজেটগুলি জ্যামিতি অভ্যন্তরীণ কনফিগারেশনে আমাদের একটি বর্তনী, যা আমরা কমবে ব্যবহারের জন্য দরজা গঠন করা অনুমতি দেবে আছে ।$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

4X3-গ্যাজেট

এই গ্যাজেটে দুটি বৈধ ন্যূনতম-বর্গ-পার্টিশন-রাষ্ট্র রয়েছে :

               

^{বাম এ 4X3-গ্যাজেট । মধ্য এবং ডান: দুটি সম্ভাব্য ন্যূনতম-বর্গ-পার্টিশন-রাজ্য ।}

5X4-গ্যাজেট

এই গ্যাজেটটি ঠিক 4X3-গ্যাজেটের মতো , কেবলমাত্র বৃহত্তর মাত্রা সহ।

               

^{বাম এ 5 এক্স 4-গ্যাজেট । মধ্য এবং ডান: দুটি সম্ভাব্য ন্যূনতম-বর্গ-পার্টিশন-রাজ্য ।}

শেষবিন্দু-গ্যাজেট

$T$$F$

^{বাম: শেষ পয়েন্ট-গ্যাজেটের ওয়্যারফ্রেম । কেন্দ্র: সত্য-মূল্যবান সমাপ্তি। ডান: মিথ্যা-মূল্যবান শেষ পয়েন্ট।}

আই-তারের গ্যাজেট

জড়িত তারের জন্য একটি আই-ওয়্যার গ্যাজেট সংক্ষিপ্ত ।

নিয়মাবলী:

• $2$$2$
• $3$

উদাহরণ:

^$7$$2$

এটি কীভাবে ব্যবহৃত হয় তা এখানে:

       

^{চিত্র 8,9 , বাম: দুটি শেষ পয়েন্ট জুড়ে তারের ফ্রেম আই-ওয়্যার । ডান: ইউনিয়ন।}

এখন, যদি একটি প্রান্তটি সঠিক অবস্থায় থাকে তবে এটি অন্য প্রান্তকে একটি ধাক্কা-পজিশনে বাধ্য করে। উদাহরণ:

       

^{বাম: স্কোয়ার পার্টিশন ডায়াগ্রাম; বাম স্যুইচটি নীচে রয়েছে, সমস্ত স্কোয়ারটি আই-ওয়্যারের নীচে "ধাক্কা" দেয় এবং শেষ পর্যন্ত, অন্যান্য স্যুইচকে ( শেষ পয়েন্ট ) ধাক্কা দেয় । ডান: স্কোয়ার পার্টিশন ডায়াগ্রাম; বাম দিকের প্রান্তটি পূর্ণ, আই-তারের নীচে সমস্ত স্কোয়ারকে "ধাক্কা দেয়" এবং বামদিকে শেষ পয়েন্টটি "আপ" করতে বাধ্য করে।}

$A \implies \neg B$$A \implies B$

তবে এটি অনিয়ন্ত্রিত ক্ষেত্রে ফেলে দেয়:

যদি আমরা দুটি আই-ওয়্যার একত্রিত করি , তবে আমরা দ্বিমুখীভাবে বোঝাতে পারি, মূলত একটি বুলিয়ান (ইন) সমতা:

       

সুতরাং, দুই ই-পুতুল অনেকটা সার্কিট মত একটি পূর্ণ সমতা সম্পর্ক বহন করতে পারে - আসলে, এটি হল একটি বর্তনী। আমরা এই জোড়গুলিকে ব্যবহারযোগ্য তারের নির্মাণ করতে ব্যবহার করব ।

প্রতিটি আই-তারের গ্যাজেট অবদান করে$\frac{l-1}{2}+2$

প্রয়োজন অনুযায়ী আই-ওয়্যারগুলি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে।

টেলিগ্রাম

একটি তারে আই-তারের একটি জুড়ি থাকে যা প্রতিটি প্রান্তে একই গেটের সাথে সংযুক্ত থাকে।

• ই-পুতুল লাল সবুজের রঙ্গিন হয়।
• $3$
• প্রতিটি গেট পিনের একটি সবুজ এবং লাল যোগাযোগ থাকবে; একটি তারের সঠিকভাবে সংযোগ করতে হবে।
• আক্রমণকারী নিয়ম: একটি আই-তারের অন্য আই-তারের বিপরীত দিকে ঠেলা দেওয়া হবে, প্রতিটি গেট এটি ধরে নেয় এবং এটির কিছু তৈরি করে (অন্যথায় উল্লেখ না করা পর্যন্ত)।
• যেহেতু প্রতিটি তারে দ্বিমুখী জড়িত থাকে, তাই এটি একটি সার্কিটের তারের মতো গেট থেকে গেট পর্যন্ত মান বহন করে।
• প্রতিটি তারের দুটি প্রান্তে একটি গেটের সাথে সংযুক্ত থাকতে হবে। । এটি ব্যর্থ হলে আমি বর্ণনা করছি এমন কয়েকটি গেটের অনুমান এবং উপরে আক্রমণকারীদের নিয়ম নষ্ট করতে পারে; যাইহোক, সীমানা জুড়ে শেষ পয়েন্ট রয়েছে এমন গেটগুলি নিরাপদ - আপনি গেটটি নষ্ট করে দেওয়ার চিন্তা না করেই স্ট্রে ওয়্যারগুলি এই প্রান্তগুলিতে সংযুক্ত করতে পারেন ।
• পুতুল বিজোড় দৈর্ঘ্যের, হওয়া আবশ্যক সহ কোন বর্তনী এটা সাথে সংযোগ করে বাড়ে; তবে আমি নীচে একটি বিজোড়-ছেড়ে যাওয়া-গেটটি বর্ণনা করব যা একটি সম-দৈর্ঘ্য তারকে বিজোড় দৈর্ঘ্য হতে দেয়।

ছবি :

^{উপরে: একটি টেলিগ্রাম ।}

       

^{বাম এবং ডান: দুটি সম্ভাব্য সংক্ষিপ্ত-বর্গক্ষেত্র-পার্টিশন-রাষ্ট্র একটি এর টেলিগ্রাম । নোট করুন যে তারে যদি কেবল এই দৈর্ঘ্য হয় তবে এটি ডান বা বাম দিকে সরে যেতে সক্ষম হবে না এবং এক বর্গক্ষেত্রকে আরও ছোট ছোট টুকরো টুকরো করতে হবে।}

তারের প্রয়োজন হিসাবে ওরিয়েন্টেড হতে পারে।

বাঁকানো গেট : তারের বাঁকানো

       

^{বাম: তারের-ফ্রেম দর্শন। ডান: ইউনিয়ন দেখুন।}

4X3-গ্যাজেটের ব্যবহারটি নোট করুন । এটি বিজোড় দৈর্ঘ্যের লাল সীসা ঠিক করতে ব্যবহৃত হয়।

নীচে বেন্ডের সম্ভাব্য দুটি ন্যূনতম-বর্গ-পার্টিশন-রাষ্ট্র রয়েছে:

       

^{বাম এবং ডান: বাঁকানো তারের দুটি সম্ভাব্য ন্যূনতম-বর্গক্ষেত্র-পার্টিশন-রাজ্য ।}

প্রয়োজনীয় হিসাবে গেটটি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, এই গেটটি অন্য দিকে কাজ করার জন্য মিরর করা যেতে পারে।

একটি তারের স্কেওয়েং

এটি একটি তারের ওপরে স্থানান্তর করা সহজ। ওয়্যারফ্রেমের চিত্র:

নামে-মান-গেট

একটি নামযুক্ত-মান-গেটটি একটি তারের যোগাযোগের দরজা হিসাবে মূলত একটি শেষ পয়েন্ট is

বিজোড়-স্কিপ-গেট : অদ্ভুতভাবে একটি তারে বাদ দেওয়া

কখনও কখনও কেবল বিজোড় দৈর্ঘ্যের তারগুলি থাকা অসুবিধে হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে সামান্য বিস্তৃতি কিছুটা বিরক্তিকর। 4X3-গেট ব্যবহার করে এখানে একটি সম্পর্কিত সমাধান দেওয়া হচ্ছে :

সুতরাং, এটিকে একটি গেটে রূপান্তরিত করার পরে, আমরা বিজোড়-স্কিপ-গেটটি পেয়েছি (ওয়্যারফ্রেমে):

প্রয়োজনীয় হিসাবে গেটটি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে।

টুইস্ট গেট : একটি তারের পাকান

সোমটাইমস আপনি একটি গেটের সাথে ব্যবহারের জন্য ভুল দিকে লাল এবং কালো আই-তারগুলি পান । এই ক্ষেত্রে, বিপরীত দিকগুলিতে লাল এবং কালো আই-ওয়্যারগুলি মোচড়ানোর জন্য একটি টুইস্ট গেট সরবরাহ করা হয়।

ওয়্যারফ্রেমের চিত্র:

এটি কাজ করে নিজেকে বিশ্বাস করুন:

       

^$A$

প্রয়োজনীয় হিসাবে গেটটি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে।

বিভক্ত-গেট : একটি তারের বিভাজন

একটি তারের বিভাজন, তারের ফ্রেম:

নিজেকে বিশ্বাস করুন যে এটি কাজ করে:

^$A$

^$A$

দ্রষ্টব্য: বিচ্ছিন্নতা বজায় রাখার জন্য স্প্লিটার থেকে আসা এবং বাইরে আসা প্রতিটি তারের অবশ্যই কোনও প্রান্তের সাথে সংযোগ স্থাপন করতে হবে । বিকল্পভাবে, আপনি বিভক্তের সীসা প্রতিটি জোড় এন্ডপয়েন্টগুলি যোগ করতে পারেন।

প্রয়োজনীয় হিসাবে গেটটি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে।

না গেট

নট গেটটি তারে নিয়ে যায় এবং তারের আউটপুট দেয় যার বিপরীত প্রভাব রয়েছে। এটি মূলত একটি টুইস্ট-গেট , এটি তারের বর্ণগুলি রিলেবল করে except না গেট ভালো দেখায়:

এবং সম্ভাব্য দুটি রাষ্ট্রের একটি দৃষ্টিভঙ্গি:

       

প্রয়োজনীয় হিসাবে গেটটি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে।

দফা-গেট

জন্য দফা-গেট , তাই আমরা প্রথমেই পরিচয় করিয়ে দফা-গ্যাজেট :

^$3$

গেটটি দেখতে এটির মতো:

$3$

ব্যাখ্যা:

2. ক্লজ-গ্যাজেটটি শুরু করুন এবং তীরগুলি অনুসরণ করুন।
3. অ-তীর-রেখার অর্থ হ'ল এটি একটি সার্কিটের অংশ, তবে এটি গেটের সাহায্যে একটি রাজ্যে বাধ্য করা হয় না।
4. ক্লজ-গ্যাজেটের রাজ্য শেষ প্রান্তগুলির একটিকে সত্য হিসাবে মূল্য দিতে বাধ্য করে ।

$3\text{-CNF}$

প্রয়োজনীয় হিসাবে গেটটি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে।

কমানো

$\Phi(\mathbf x)$$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

$$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_i^n C_i,\\ C=\left\{(x_j \vee x_k \vee x_l)\right\}$$

একটি চাক্ষুষ সহায়তা (মূল উত্স: টেরিন গার্ডিং হ'ল এনপি-হার্ড (পিডিএফ) , টিকজে পুনরুত্পাদন করা):

তারপর:

1. $x_i\in\mathbf x$$x_i$$\neg x_i$
2. একটি সঙ্গে প্রতিটি-অপরের সাথে দরজা সংযোগ করুন না গেট , যাতে তারা কথাটি একে-অপরের মান অস্বীকার।
3. প্ল্যানার-এম্বেডিংয়ে ভেরিয়েবলগুলি তাদের গেটগুলিতে 'গেটস' বহুভুজ রাখুন।
4. প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য, প্ল্যানার-এম্বেডিংয়ে ক্লজের অবস্থানটিতে একটি ক্লজ-গেট রাখুন ।
5. উপরে বর্ণিত গেটগুলি ব্যবহার করে, সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি তাদের ধারাগুলিতে সংযুক্ত করুন।
6. গেটের সমস্ত বহুভুজ (পুরো সার্কিট) এর ফলাফলের ইউনিয়নে একটি সর্বনিম্ন-বর্গ-পার্টিশন-অ্যালগরিদম চালান Run
7. যদি অ্যালগরিদম সমস্ত গেটের ন্যূনতম-বর্গক্ষেত্র-পার্টিশন-রাষ্ট্র মাপের (ভাগ করা অংশগুলির জন্য বিয়োগ করে) যোগফল দেয় তবে তা সন্তোষজনক। যদি এটি সন্তোষজনক না হয় তবে এটি একটি সীমিত গ্যাজেটকে ছোট স্কোয়ারে বিভক্ত করতে বাধ্য করবে, এইভাবে সার্কিট বিভাজনের জন্য প্রয়োজনীয় স্কোয়ারের সংখ্যা বাড়িয়ে তুলবে।

কেন এটি কাজ করে

• প্রতিটি গ্যাজেটের একটি ন্যূনতম-বর্গ-পার্টিশন-রাষ্ট্রের আকার থাকে; অর্থাৎ, গ্যাজেটের একটি ন্যূনতম-বর্গ-পার্টিশন একটি নির্দিষ্ট আকার।
• কিছু গ্যাজেটের এই আকার সহ বেশ কয়েকটি রাজ্য রয়েছে; এই রাজ্যের প্রতিটি বৈধ ন্যূনতম-বর্গ-পার্টিশন ।
• যখন গ্যাজেটগুলি কেবল কোণে একত্রিত করা হয়, তখন গ্যাজেটগুলির ন্যূনতম-বর্গক্ষেত্র-বিভাজন-রাষ্ট্রগুলির যোগফল * এখনও তাদের ইউনিয়নের ন্যূনতম-বর্গ-বিভাগ-রাষ্ট্র হয়; আপনি স্বজ্ঞাতভাবে এটি দেখতে পারেন: কোণে যোগদান করা কোনও বর্গক্ষেত্রকে অন্য গ্যাজেট থেকে স্কোয়ারের সাথে প্রসারিত / সংযোগ করার জন্য পর্যাপ্ত স্থান দেয় না।
• যদিও কোণায় গ্যাজেটগুলি মিশ্রন হ্রাস নেই মোট ন্যূনতম-বর্গক্ষেত্র-পার্টিশন আকার , এটা নেই কহা এবং প্রতিটি-অপরের সাথে গ্যাজেটগুলি সীমাবদ্ধ।
• উপরের দেখানো গেটগুলির সাহায্যে আপনি রাজ্যগুলিকে পর্যাপ্ত পরিমাণে সীমাবদ্ধ করতে পারেন, যাতে যদি লজিকাল সূত্রটি অসন্তুষ্ট হয় তবে এক বা একাধিক গ্যাডকে আরও ছোট স্কোয়ারে বিভক্ত হতে হবে এবং সর্বনিম্ন-বর্গ-পার্টিশনের আকার বাড়াতে হবে ।

গ্রাফ উত্স

• স্কয়ারটিলিংস ১.টেক্স ( রাইলেটেক্স )
• বর্গক্ষেত্র 2.tex ( রাইলেটেক্স )
• ক্লজগেট.টেক্স ( রাইলেটেক্স )

আপনি ইমাগুল url এর প্রত্যয় "s", "m", "l" মুছে ফেলে আরও বৃহত্তর চিত্র দেখতে পাচ্ছেন। : উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি এই একটি বৃহত্তর চিত্র দেখতে পারেন http://i.stack.imgur.com/6CKlGs.jpg গিয়ে http://i.stack.imgur.com/6CKlG.jpg । এর আগে অনুপস্থিত "গুলি" লক্ষ্য করুন .jpg।

Comments

বাহ, এটা একেবারে চিত্তাকর্ষক। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি হ্রাসটি পরীক্ষা করতে যথেষ্ট স্মার্ট নই, তবে আমি এর জন্য আপনার কথাটি নিচ্ছি :) ধন্যবাদ!

— এরেল সেগাল-হালেভি

সুতরাং, টাইলিংয়ের পরিস্থিতি আচ্ছাদন হওয়ার বিপরীত: আবরণে, বর্গাকার-আচ্ছাদনটি বহুপদী এবং আয়তক্ষেত্রাকার প্রচ্ছদটি এনপি-হার্ড, যখন টাইলিংয়ের ক্ষেত্রে বর্গাকার আচ্ছাদনটি এনপি-হার্ড এবং আয়তক্ষেত্রাকার আবরণটি বহুপদী হয়।

— এরেল সেগাল-হালেভি

আমার ব্যবহৃত গ্যাজেটগুলি প্রকৃতপক্ষে ন্যূনতম স্কোয়ারযুক্ত তা প্রমাণ করার জন্য কিছু ফলোআপ প্রশ্ন রয়েছে: 3X2 আয়তক্ষেত্রের নূন্যতম বর্গক্ষেত্রের 3 স্কোয়ার রয়েছে কীভাবে প্রমাণ করতে হবে | প্রায় বর্গাকার আয়তক্ষেত্রের সর্বনিম্ন বর্গ বিভাজন কী? | 4x3 এবং 5x4 আয়তক্ষেত্রগুলির জন্য সর্বনিম্ন বর্গ পার্টিশন ।

— রিয়েলজ স্লাও

Answer 2

$N$$O(N^{3/2})$

"স্কোয়ারগুলি দিয়ে অর্থোগোনাল বহুভুজগুলি ingেকে দেওয়া হচ্ছে।" এলজে আউপারল এবং এইচই কন এবং জেএম কেইল এবং জোসেফ ও'রউর্ক। Proc। 26 তম অ্যালারটন কনফ। কলাম। নিয়ন্ত্রণ কম্পিউটার , পিপি। 97-106, 1988. ( পিডিএফ স্ক্যান ডাউনলোডের লিঙ্ক )

যাইহোক, ফলস্বরূপ প্রচ্ছদটি ওভারল্যাপ হওয়া স্কোয়ারগুলিতে অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে। আপনি একটি টাইলিং সন্ধান করছেন, যেখানে স্কোয়ারগুলি ওভারল্যাপ করার অনুমতি নেই, সুতরাং আপনার সমস্যাটি এক রকম নয়।

Comments

LOL আমি একটি সূত্র মাধ্যমে আধা পথ ছিল :(। যদিও খুব আকর্ষণীয়! সিএসএসইতে স্বাগতম

— রিয়েলজ স্লাও

যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে এই কাগজটি স্কোয়ারগুলি ওভারল্যাপ করার অনুমতি দেয় (অর্থাত এটি একটি আচ্ছাদন সমস্যা)। স্কোয়ারগুলি ওভারল্যাপ করার অনুমতি নেই এমন ক্ষেত্রে আমি আগ্রহী (যেমন এটি একটি বিভাজন / টাইলিং সমস্যা)।

— এরেল সেগাল-হালেভি

@ ইরেলসিগাল হালেভি: ওহ, আমি দুঃখিত, আমি আপনার প্রশ্নটি মনোযোগ দিয়ে পড়িনি read

— জোসেফ ও'রউর্ক

ওহ্ তবে আমি চালিয়ে যাব: ডি

— রিয়েলজ স্লাও