লেবেলযুক্ত গাছগুলির কার্যকর সংকোচন

Question

শিরোনামহীন, মূলযুক্ত বাইনারি গাছগুলি বিবেচনা করুন। আমরা পারি কম্প্রেস যেমন গাছ: যখনই সেখানে সাব-ট্রি পয়েন্টার হয় এবং সঙ্গে (ব্যাখ্যা কাঠামোগত সমতা যেমন), আমরা দোকান (wlog) এবং সব পয়েন্টার প্রতিস্থাপন পয়েন্টার সঙ্গে । উদাহরণস্বরূপ উলির উত্তর দেখুন ।$T$$T'$$T = T'$$=$$T$$T'$$T$

উপরের অর্থে একটি গাছকে ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এমন একটি অ্যালগোরিদম দিন এবং সংক্ষেপণের পরে অবধি ন্যূনতম সংখ্যার নোড গণনা করুন। অ্যালগরিদম সময় চালানো উচিত সঙ্গে (অভিন্ন খরচ মডেল) ইনপুটে নোড সংখ্যা।$\cal{O}(n\log n)$$n$

এটি একটি পরীক্ষার প্রশ্ন হয়ে গেছে এবং আমি একটি ভাল সমাধান নিয়ে আসতে সক্ষম হইনি, অথবা আমি একটিও দেখিনি।

Comments

এবং এখানে প্রাথমিক ব্যয় "ব্যয়", "সময়" কী? নোড সংখ্যা পরিদর্শন করেছেন? প্রান্ত পেরিয়ে গেছে? এবং ইনপুটটির আকারটি কীভাবে নির্দিষ্ট করা হবে?

— uli

এই ট্রি সংক্ষেপণ হ্যাশ কনসিংয়ের একটি উদাহরণ । নিশ্চিত না যে এটি জেনেরিক গণনা পদ্ধতির দিকে নিয়ে যায় কিনা।

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'

@ ওলি আমি কী তা পরিষ্কার করে দিয়েছি । যদিও আমি মনে করি "সময়" যথেষ্ট সুনির্দিষ্ট। অবিচ্ছিন্ন সেটিংসে এটি গণনা কার্যক্রমের সমতুল্য যা প্রায়শই ঘটে যাওয়া প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপ গণনার সমতুল্য ল্যান্ডাউ শর্তে। $n$

— রাফেল

@ রাফেল অবশ্যই উদ্দেশ্যমূলক প্রাথমিক অপারেশনটি কী হওয়া উচিত আমি অনুমান করতে পারি এবং সম্ভবত অন্য সবার মতোই বেছে নেব। তবে, এবং আমি জানি আমি এখানে পেডেন্টিক, যখনই "সময়সীমা" দেওয়া হয় তখন কী গণনা করা হচ্ছে তা উল্লেখ করা গুরুত্বপূর্ণ important এটি কী অদলবদল, তুলনা, সংযোজন, মেমরি অ্যাক্সেস, পরিদর্শন নোড, ট্র্যাভারসড এজগুলি আপনি নাম দিয়েছিলেন? এটি পদার্থবিজ্ঞানের পরিমাপের একক বাদ দেওয়ার মতো। এটি কি বা ? এবং আমি মনে করি মেমরি অ্যাক্সেসগুলি প্রায়শই সর্বাধিক ঘন ঘন অপারেশন। $10\,\mathrm{kg}$$10\,\mathrm{ms}$

— uli

@ উল্লিখিত এই ধরণের বিশদ যা "ইউনিফর্ম ব্যয় মডেল" প্রকাশ করার কথা। অপারেশনগুলি প্রাথমিক কী তা সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা বেদনাদায়ক, তবে 99.99% ক্ষেত্রে (এটি সহ) কোনও অস্পষ্টতা নেই। জটিলতা ক্লাসগুলির মৌলিকভাবে ইউনিট নেই, তারা একটি উদাহরণ সম্পাদন করতে যে সময় নেয় তা পরিমাপ করে না তবে ইনপুট আরও বড় হওয়ার সাথে সাথে এই সময়ের পরিবর্তিত হয়।

— গিলস 'এস-অশুভ হওয়া বন্ধ করুন'

Answer 1

হ্যাঁ, আপনি এই সংক্ষেপণটি time সময়ে সম্পাদন করতে পারেন তবে এটি সহজ নয় :) আমরা প্রথমে কিছু পর্যবেক্ষণ করি এবং তারপরে অ্যালগরিদম উপস্থাপন করি। আমরা ধরে নিই যে গাছটি প্রাথমিকভাবে সংকুচিত নয় - এটি সত্যই প্রয়োজন হয় না তবে বিশ্লেষণকে সহজ করে তোলে।$O(n \log n)$

প্রথমত, আমরা 'কাঠামোগত সাম্য' আবেশমূলকভাবে চিহ্নিত করি। যাক এবং দুটি (সাব) গাছ হবে। যদি এবং উভয় নাল গাছ হয় (কোনও বিন্দু বিন্দু না থাকে), তারা কাঠামোগত সমতুল্য। যদি এবং উভয়ই নাল গাছ না হয় তবে তারা কাঠামোগতভাবে সমতুল্য হয় যদি তাদের বাম বাচ্চারা কাঠামোগত সমতুল্য হয় এবং ডান সন্তানেরা কাঠামোগত সমতুল্য হয়। এই সংজ্ঞাগুলির তুলনায় 'স্ট্রাকচারাল ইকুয়্যালেন্স' হ'ল ন্যূনতম নির্দিষ্ট পয়েন্ট।$T$$T'$$T$$T'$$T$$T'$

উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও দুটি পাতার নোড কাঠামোগত সমতুল্য, কারণ উভয়ই তাদের উভয় সন্তানের মতো নাল গাছ রয়েছে যা কাঠামোগত সমতুল্য।

এটি যেমন বিরক্তিকর বলে 'তাদের বাম শিশুরা কাঠামোগত সমতুল্য এবং ঠিক তেমনি তাদের ডান সন্তানও', আমরা প্রায়শই বলব 'তাদের বাচ্চারা কাঠামোগত সমতুল্য' এবং একই উদ্দেশ্য পোষণ করবে। এছাড়াও নোট করুন আমরা কখনও কখনও 'এই শীর্ষটি' বলি যখন আমরা 'এই শীর্ষবিন্দুতে অন্তর্ভুক্ত সাবট্রি' বোঝি।

যদি আমরা সর্বাধিক গভীরতা সঙ্গে সব সাব-ট্রি এর কাঠামোগত সমানতা জানেন: উপরোক্ত সংজ্ঞা অবিলম্বে আমাদের একটি ইঙ্গিতটি কিভাবে কম্প্রেশন সম্পাদন করতে দেয় , তাহলে আমরা সহজেই গভীরতার সাথে সাব-ট্রি এর কাঠামোগত সমানতা গনা করতে । চলমান সময় এড়াতে আমাদের স্মার্ট পদ্ধতিতে এই গণনাটি করতে হবে ।$d$$d+1$$O(n^2)$

অ্যালগোরিদম এর কার্যকর করার সময় প্রতিটি ভার্টেক্সে শনাক্তকারীকে অর্পণ করবে। একটি আইডেন্টিফায়ার সেটে একটি সংখ্যা । শনাক্তকারীগুলি অনন্য এবং কখনই পরিবর্তন হয় না: সুতরাং আমরা ধরেই নিয়েছি আমরা অ্যালগরিদমের শুরুতে কিছু (বৈশ্বিক) ভেরিয়েবল 1 তে নির্ধারণ করেছিলাম এবং প্রতিবার আমরা কোনও ভার্টেক্সের জন্য একটি শনাক্তকারীকে নির্ধারিত করি, আমরা সেই পরিবর্তনকের বর্তমান মানটি শীর্ষবিন্দু এবং বর্ধনের জন্য নির্ধারণ করি we সেই ভেরিয়েবলের মান।$\{ 1, 2, 3, \dots, n \}$

আমরা প্রথমে ইনপুট ট্রিকে (সর্বাধিক ) তালিকায় রূপান্তর করি যার সমান গভীরতার শীর্ষকোষ রয়েছে এবং তাদের পিতামাতার সাথে একটি পয়েন্টার রেখে। এটি সময়ে সহজেই সম্পন্ন হয় ।$n$$O(n)$

আমরা প্রথমে সমস্ত পাতাগুলি সংকোচন করি (আমরা এই পাতাগুলি গভীরতার সাথে 0 এর সূচি সহ তালিকায় খুঁজে পেতে পারি) একটি একক প্রান্তে। আমরা এই প্রান্তটিকে একটি সনাক্তকারী নির্ধারণ করি। দুটি উল্লম্বের সংকোচনের পরিবর্তে উভয় প্রান্তের পিতামাতাকে অন্য ভার্টেক্সের দিকে নির্দেশিত করে পুনর্নির্দেশের মাধ্যমে করা হয়।

আমরা দুই পর্যবেক্ষণ করুন: প্রথমত, কোনো প্রান্তবিন্দু কঠোরভাবে ছোট গভীরতা সন্তান আছে, এবং দ্বিতীয়ত, আমরা যদি গভীরতা চেয়ে ছোট সব ছেদচিহ্ন উপর কম্প্রেশন সম্পাদিত হয়েছে (এবং তাদের শনাক্তকারী দিয়েছি), তারপর গভীরতা দু'রকমের গঠনের দিক সমতুল্য এবং যদি তাদের বাচ্চাদের সনাক্তকারী মিলে যায় তবে সংকুচিত হতে পারে। এই শেষ পর্যবেক্ষণটি নিম্নলিখিত যুক্তি থেকে অনুসরণ করা হয়েছে: দুটি ছেদগুলি কাঠামোগতভাবে সমতুল্য হয় যদি তাদের বাচ্চারা কাঠামোগতভাবে সমতুল্য হয়, এবং সংক্ষেপণের পরে এর অর্থ তাদের পয়েন্টারগুলি একই বাচ্চাদের দিকে ইশারা করে, যার পরিবর্তে তাদের বাচ্চাদের সনাক্তকারী সমান হয়।$d$$d$

আমরা ছোট তালিকা থেকে বড় গভীরতার সমান গভীরতার নোড সহ সমস্ত তালিকাগুলির মধ্যে পুনরাবৃত্তি করি। প্রতিটি স্তরের জন্য আমরা সংখ্যার জোড়গুলির একটি তালিকা তৈরি করি, যেখানে প্রতিটি জুটি সেই স্তরের কিছু শীর্ষবিন্দুর বাচ্চাদের সনাক্তকারীদের সাথে মিল রাখে। আমাদের যে স্তরের দুটি সূচিকাগুলি কাঠামোগত সমতুল্য যদি তাদের সংশ্লিষ্ট পূর্ণসংখ্যা জোড়া সমান হয়। লেক্সিকোগ্রাফিক অর্ডার ব্যবহার করে আমরা এগুলি বাছাই করতে এবং সমান সংখ্যক পূর্ণ সংখ্যার জোড়া পেতে পারি। আমরা এই সেটগুলিকে উপরের মতো একক শীর্ষে ছেদ করেছি এবং তাদের শনাক্তকারী দেব।

উপরোক্ত পর্যবেক্ষণগুলি প্রমাণ করে যে এই পদ্ধতিটি সংকুচিত গাছের জন্য কাজ করে এবং ফলাফল করে। মোট চলমান সময় হল সাথে সাথে আমাদের তৈরি তালিকাগুলি বাছাই করার জন্য প্রয়োজনীয় সময়। আমরা যে সংখ্যক পূর্ণ সংখ্যার জোড় তৈরি করি সেগুলি , এটি আমাদের প্রয়োজনীয় সময় হিসাবে চলমান মোট । প্রক্রিয়া শেষে আমরা কয়টি নোড ফেলে রেখেছি তা গণনামূলক তুচ্ছ (কেবলমাত্র আমরা কতজন সনাক্তকারীকে দিয়েছি তা দেখুন)।$O(n)$$n$$O(n \log n)$

Comments

আমি আপনার উত্তরটি বিশদভাবে পড়িনি, তবে আমি মনে করি আপনি নোডগুলি সন্ধান করার এক অদ্ভুত সমস্যা-সুনির্দিষ্ট পদ্ধতিতে কম বা কম পুনর্নবীকরণ হ্যাশ কনসিং করেছেন।

— গিলস 2:56-

@ অ্যালেক্স "কঠোরতর ছোটদের degree" ডিগ্রি সম্ভবত হওয়া উচিত depth? এবং সিএস-গাছগুলি নীচের দিকে বাড়ার পরেও আমি "গাছের উচ্চতা" "গাছের গভীরতা" থেকে কম বিভ্রান্ত দেখতে পাই।

— uli

চমৎকার উত্তর. আমার মনে হয় বাছাই করার কোনও উপায় থাকা উচিত। @ গিলস উত্তর সম্পর্কে আমার দ্বিতীয় মন্তব্যটি এখানেও বৈধ।

— রাফেল

@ ওলি: হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন, আমি এটি সংশোধন করেছি (কেন আমি এই দুটি শব্দ বিভ্রান্ত করেছি তা নিশ্চিত নয়)। উচ্চতা এবং গভীরতা দুটি সূক্ষ্মভাবে পৃথক ধারণা এবং আমার পরবর্তীটির প্রয়োজন ছিল :) আমি ভেবেছিলাম যে আমি প্রচলিত 'গভীরতা' এর সাথে লেগে থাকি বরং প্রত্যেককে এলোমেলো করে বিভ্রান্ত করার পরিবর্তে।

— অ্যালেক্স দশ ব্রিংক

Answer 2

একটি অ-পরিবর্তনীয় ডেটা স্ট্রাকচারকে সংকুচিত করে যাতে এটি কোনও কাঠামোগত সমান সাবটারমকে হুপ কনসিং নামে পরিচিত হিসাবে নকল না করে । ফাংশনাল প্রোগ্রামিংয়ে এটি মেমরি ম্যানেজমেন্টের একটি গুরুত্বপূর্ণ কৌশল। হ্যাশ কনসিং হ'ল ডেটা স্ট্রাকচারের জন্য এক প্রকারের নিয়মতান্ত্রিক স্মৃতি।

আমরা গাছটিকে হ্যাশ-কনস করতে যাচ্ছি এবং হ্যাশ কনসিংয়ের পরে নোডগুলি গণনা করব। আকার এর ডেটা স্ট্রাকচারযুক্ত হ্যাশ সর্বদা ও ( এন) এ করা যেতে পারে$n$ অপারেশন; শেষে নোডের সংখ্যা গণনা নোডের সংখ্যায় রৈখিক।$O(n\:\mathrm{lg}(n))$

আমি গাছগুলিকে নিম্নলিখিত কাঠামো হিসাবে বিবেচনা করব (হাস্কেল সিনট্যাক্সে এখানে লিখিত):

data Tree = Leaf
          | Node Tree Tree

প্রতিটি কনস্ট্রাক্টরের জন্য, আমাদের এই সম্ভাব্য তর্কগুলি থেকে এই যুক্তিগুলিতে কন্সট্রাক্টর প্রয়োগের ফলাফল পর্যন্ত একটি ম্যাপিং বজায় রাখা দরকার। পাতা তুচ্ছ। নোডের জন্য, আমরা একটি সীমাবদ্ধ আংশিক মানচিত্র বজায় রাখি যেখানে টি গাছ সনাক্তকারীগুলির সেট এবং এন হ'ল নোড শনাক্তকারীর সেট; টি = এন ⊎ { ℓ } যেখানে ℓ একমাত্র পাতার শনাক্তকারী। (কংক্রিটের ভাষায়, একটি সনাক্তকারী হ'ল মেমরি ব্লকের একটি নির্দেশক))$\mathtt{nodes} : T \times T \to N$$T$$N$$T = N \uplus \{\ell\}$$\ell$

আমরা এর জন্য লগারিদমিক-সময় ডেটা কাঠামো ব্যবহার করতে পারি nodes, যেমন একটি ভারসাম্য বাইনারি অনুসন্ধান গাছ। নীচে আমি lookup nodesঅপারেশনটিকে কল করব যা nodesডেটা কাঠামোর একটি কী দেখায় এবং insert nodesসেই অপারেশন যা একটি তাজা কী এর অধীনে একটি মান যুক্ত করে এবং সেই কীটি ফিরিয়ে দেয়।

এখন আমরা গাছটি অতিক্রম করব এবং আমরা পাশাপাশি যাব নোডগুলি। যদিও আমি হাস্কেলের মতো সিউডোকোডে লিখছি, আমি nodesএকটি বিশ্বব্যাপী পরিবর্তনীয় পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করব ; আমরা কেবল এটিতে যোগ করব, তবে সন্নিবেশগুলি জুড়ে থ্রেড করা দরকার। addফাংশন একটি গাছ recurses তার সাব-ট্রি যোগ nodes, মানচিত্র এবং মূল এর আইডেন্টিফায়ার ফেরৎ।

insert (p1,p2) =
add Leaf = $\ell$
add (Node t1 t2) =
    let p1 = add t1
    let p2 = add t2
    case lookup nodes (p1,p2) of
      Nothing -> insert nodes (p1,p2)
      Just p -> p

insertকলগুলির সংখ্যা , যা nodesডেটা কাঠামোর চূড়ান্ত আকারও , সর্বাধিক সংকোচনের পরে নোডের সংখ্যা। (প্রয়োজনে খালি গাছের জন্য একটি যোগ করুন))

Comments

আপনি কি "সাইজের এর ডেটা কাঠামোযুক্ত হ্যাশ সর্বদা ও ( এন এল জি ( এন ) ) ক্রিয়াকলাপে করা যেতে পারে " এর জন্য একটি রেফারেন্স দিতে পারেন ? নোট করুন যে কাঙ্ক্ষিত রানটাইম অর্জনের জন্য আপনার ভারসাম্যযুক্ত গাছের প্রয়োজন হবে । $n$$O(nlg(n))$nodes

— রাফেল

আমি কেবল কাঠামোগত উপায়ে সংখ্যায় হ্যাশিংয়ের কাঠামোগুলি বিবেচনা করছিলাম যাতে একই গাছের জন্য হ্যাশকে স্বাধীনভাবে গণনা করা সর্বদা একই ফলাফল দেয় yield আপনার সমাধানটিও ঠিক আছে, তবে আমাদের হাতে যদি পরিবর্তনীয় ডেটাস্ট্রাকচার থাকে। আমি মনে করি এটি একটি বাচ্চা পরিষ্কার করা যেতে পারে, যদিও; এর ইন্টারলিভিং insertএবং addস্পষ্ট করে দেওয়া উচিত এবং এমন একটি ফাংশন দেওয়া উচিত যা সমস্যার সমাধান করে should

— রাফেল

@ রাফেল হ্যাশ পয়েন্টার / আইডেন্টিফায়ারগুলির দ্বিগুণ উপর একটি সীমাবদ্ধ মানচিত্রের কাঠামোর উপর নির্ভর করে, আপনি এটি প্রয়োগের জন্য লগারিদমিক সময় সহ প্রয়োগ করতে পারেন (যেমন একটি ভারসাম্য বাইনারি অনুসন্ধান গাছের সাহায্যে)। আমার সমাধানটির পরিবর্তনের প্রয়োজন হয় না; আমি nodesসুবিধার জন্য একটি পরিবর্তনীয় পরিবর্তনশীল করি , তবে আপনি এটি জুড়ে থ্রেড করতে পারেন। আমি পুরো কোড দিতে যাচ্ছি না, এটি এসও নয়।

— গিলস 'এস-অশুভ হওয়া বন্ধ করুন'

@ রাফেল হ্যাশিং স্ট্রাকচারগুলি তাদের স্বেচ্ছাসেবী সংখ্যা দেওয়ার বিপরীতে, কিছুটা দোষজনক। অভিন্ন দামের মডেলটিতে, আপনি যে কোনও কিছুকে বড় পূর্ণসংখ্যায় এনকোড করতে পারেন এবং এটিতে ধ্রুবক-সময় অপারেশন করতে পারেন, এটি বাস্তবসম্মত নয়। আসল বিশ্বে, আপনি অসীম সেট থেকে একটি সীমাবদ্ধ পরিসীমা পর্যন্ত একটি ডি-ফ্যাক্টো ওয়ান-টু-ওয়ান ম্যাপিংয়ের জন্য ক্রিপ্টোগ্রাফিক হ্যাশগুলি ব্যবহার করতে পারেন, তবে সেগুলি ধীর গতির। যদি আপনি হ্যাশ হিসাবে একটি নন-ক্রিপ্টো চেকসাম ব্যবহার করেন তবে আপনাকে সংঘর্ষের বিষয়ে ভাবতে হবে।

— গিলস 'এস-অশুভ হওয়া বন্ধ করুন'

Answer 3

এখানে আরেকটি ধারণা দেওয়া হয়েছে যা গাছের কাঠামোটিকে স্বেচ্ছায় লেবেল না করে সংখ্যায় এনকোড করা (ইনজেকশনে) লক্ষ্য করে। তার জন্য, আমরা ব্যবহার করি যে কোনও সংখ্যার প্রাথমিক গুণনীয়কটি অনন্য।

আমাদের উদ্দেশ্যে, গাছের একটি খালি অবস্থান চিহ্নিত করুন এবং এন ( এল , আর ) একটি বাম সাবট্রি এল এবং ডান সাবট্রি আর সহ একটি নোড । এন ( ই , ই ) একটি পাতা হবে। এখন, চলুন$E$$N(l,r)$$l$$r$$N(E,E)$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(E) &= 0 \\ f(N(l,r)) &= 2^{f(l)}\cdot 3^{f(r)} \end{align*}$

$f$

এই শেষ অনুমানটি বাস্তব মেশিনগুলির একটি প্রসারিত; এই ক্ষেত্রে, কেউ ক্যান্টোরের জুটি ফাংশনের অনুরূপ ক্ষয়ক্ষতির পরিবর্তে অনুরূপ কিছু ব্যবহার করতে পছন্দ করবেন ।

$\cal{O}(n \log n)$$\cal{O}(n \log n)$

Answer 4

মন্তব্যে ছবি যেমন অনুমোদিত নয়:

উপরের বাম: একটি ইনপুট ট্রি

উপরের ডানদিকে: নোড 5 এবং 7 এর মধ্যে অবস্থিত সাবট্রিজগুলি আইসোমোরফিকও।

নীচে বাম এবং ডান: সঙ্কুচিত গাছগুলি স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি।

$7+5|T|$$6+|T|$

Comments

এটি প্রকৃতপক্ষে কাঙ্ক্ষিত অপারেশনের একটি উদাহরণ, ধন্যবাদ। মনে রাখবেন যে আপনি যদি চূড়ান্ত এবং যুক্ত রেফারেন্সের মধ্যে পার্থক্য না করেন তবে আপনার চূড়ান্ত উদাহরণগুলি অভিন্ন।

— রাফেল

Answer 5

সম্পাদনা: আমি প্রশ্নটি পড়েছিলাম কারণ টি এবং টি ′ একই পিতামাতার সন্তান ছিল। আমি সংকোচনের সংজ্ঞাটিও পুনরাবৃত্ত হওয়ার জন্য গ্রহণ করেছি, যার অর্থ আপনি আগের দুটি সংকোচযুক্ত সাবট্রিকে সংক্ষেপ করতে পারেন could যদি এটি আসল প্রশ্ন না হয় তবে আমার উত্তরটি কার্যকর নাও হতে পারে।

$O(n \log n)$$T(n) = 2T(n/2) + cn$

def Comp(T):
   if T == null:
     return 0
   leftCount = Comp(T.left)
   rightCount = Comp(T.right)
   if leftCount == rightCount:
     if hasSameStructure(T.left, T.right):
       T.right = T.left
       return leftCount + 1
     else
       return leftCount + rightCount + 1    

hasSameStructure()একটি ফাংশন যেখানে লিনিয়ার সময়ে ইতিমধ্যে দুটি সংক্ষেপিত সাবট্রির সাথে তুলনা করে তাদের সঠিক কাঠামো আছে কিনা তা দেখতে। রৈখিক সময় পুনরাবৃত্ত ক্রিয়াকলাপ লিখন যা প্রতিটিকে অনুসরণ করে এবং পরীক্ষা করে যে যদি একটি সাবট্রির বাম বাচ্চা হয় প্রতিবার অন্যরকম করে তোলে ইত্যাদি ইত্যাদি কঠিন হওয়া উচিত নয়।

$n_\ell$$n_r$

$$T(n) = T(n_1) + T(n_2) + O(1) \mbox{ if $n_\ell \neq n_r$}$$ $$2T(n/2) + O(n) \mbox{ otherwise}$$

Comments

সাবট্রিগুলি ভাইবোন না হলে কী হবে? টিয়ার কেয়ার ((টি 1, টি 1), (টি 2, টি 1)) পয়েন্টার দুটি তৃতীয় ঘটনাকে ব্যবহার করে টি 1 দুবার সংরক্ষণ করা যায়।

— উলি 20

$T$$T'$

প্রশ্নগুলি মার্লি বলে যে দুটি সাবট্রেস আইসোমরফিক হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। তাদের একই পিতা বা মাতা থাকার বিষয়ে কিছুই বলা হয় না। আমার পূর্ববর্তী উদাহরণের মতো (একটি টি 1, টি 1), (টি 1, টি 2) কোনও সাবট্রি টি 1 যদি গাছটিতে তিনবার উপস্থিত হয় তবে তৃতীয় অরকুরিয়েন্সের দিকে ইঙ্গিত করে দুটি উপস্থিতি সংক্ষেপিত হতে পারে।

— uli