ফাংশনগুলি কি সর্বদা অসম্পূর্ণভাবে তুলনীয়?

Question

যখন আমরা দুটি অ্যালগরিদমের জটিলতা তুলনা করি তখন সাধারণত এটি হয় যে উভয়ই বা (সম্ভবত উভয়), যেখানে এবং দুটি অ্যালগরিদমের চলমান সময় (উদাহরণস্বরূপ)।g ( n ) = O ( f ( n ) ) f $f(n) = O(g(n))$$g(n) = O(f(n))$$f$$g$

এই সবসময় ক্ষেত্রে? অর্থাত্, কমপক্ষে সম্পর্কের মধ্যে কি এবং সর্বদা ধারণ করে, যা সাধারণ ফাংশন, , ? যদি তা না হয়, আমাদের কোন অনুমানগুলি করতে হবে এবং (কেন) আমরা যখন অ্যালগরিদম চলমান সময়গুলি সম্পর্কে কথা বলি তখন তা ঠিক?g ( n ) = O ( f ( n ) ) f $f(n) = O(g(n))$$g(n) = O(f(n))$$f$$g$

Answer 1

প্রতিটি জোড়া ফাংশন স্বরলিপিটির সাথে তুলনীয় নয় ; এবং the তাছাড়া, মতো কার্যকারিতা আসলে অ্যালগরিদমের চলমান সময় হিসাবে দেখা দেয়। প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা প্রাইম কিনা তা নির্ধারণ করতে সুস্পষ্ট ব্রুট-ফোর্স অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন :f ( n ) = n g ( n ) = { 1 যদি  n  বিজোড় হয় , n 2 যদি n  হয় তবে  । g ( n ) $O(\cdot)$$f(n) = n$

$$g(n) = \begin{cases} 1 & \text{if $n$ is odd}, \\\ n^2 & \text{if $n$ is even}. \end{cases}$$ $g(n)$$n$

IsPrime(n):
  for i ← 2 to (n-1)
     if i·⌊n/i⌋ = n
        return False
  return True

এই অ্যালগরিদমের জন্য even পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন যখন হয়, অপারেশন যখন সংমিশ্রিত হয়, তবে prime অপারেশন যখন প্রাইম হয়। সুতরাং, আনুষ্ঠানিকভাবে, এই অ্যালগরিদম একটি অ্যালগরিদমের সাথে অতুলনীয় যা প্রতিটি জন্য every গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করে ।n ও ( √$\Theta(1)$$n$nΘ(n)n$O(\sqrt{n})$$n$$\Theta(n)$$n$$\sqrt{n}$ $n$

সময় যখন আমরা আলগোরিদিম বিশ্লেষণ অধিকাংশই, আমরা কেবল উপরের ফর্ম আবদ্ধ একটি asymptotic চান কিছু অপেক্ষাকৃত সহজ ফাংশন জন্য । উদাহরণস্বরূপ, অধিকাংশ পাঠ্যপুস্তক কেবল (এবং সঠিকভাবে) প্রতিবেদন would রান গাণিতিক অপারেশন। সাধারণ উপরের দিকের আবদ্ধ ফাংশনগুলি হ'ল এক্সপেনসিয়েন্টাল , বহুভিত্তিক এবং লগারিদমের পণ্যগুলি (যদিও আরও বিদেশী জন্তু যেমন ফ্যাকটোরিয়ালস এবং পুনরাবৃত্ত লোগারিদমগুলিও মাঝে মধ্যে প্রদর্শিত হয়)। এ জাতীয় দুটি ফাংশন তুলনীয় কিনা তা প্রমাণ করা শক্ত নয়।চ ও ( এন $O(f(n))$$f$IsPrime(n)$O(n)$

আরও দেখুন এই MathOverflow প্রশ্ন ।

Answer 2

উইকিপিডিয়া থেকে, বড় ও স্বরলিপি সংজ্ঞা:

যদি এবং কেবলমাত্র যদি ধনাত্মক ধ্রুবক এম থাকে যে পরিমাণে যথেষ্ট পরিমাণে , হয় তবে তার পরিমাণটি সর্বোচ্চ দ্বারা নিখুঁত মান হয়। অর্থাৎ যদি এবং কেবল যদি সেখানে একটি ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার বিদ্যমান এবং একটি বাস্তব সংখ্যার যেমন যে$x$$f(x)$$g(x)$$f(x) \in O(g(x))$$M$$x_0$

$|f(x)|<= M |g(x)| \quad \text{for all} \; x > x_0$

রূপান্তর না করে এমন ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য কী ঘটে (ধ্রুবক বা অনন্তে)?

ফাংশন তাকান, এবং$f(x) = |xsin(x)|$$g(x) = 10$

প্রতিটি জন্য কিছু , যেমন , এমনিভাবে - সুতরাং প্রতিটি - মিথ্যা হবে এবং$x_0$$x > x0$$x = k\pi$$f(x) = 0$$M$$Mf(x) > g(x)$$g(x) \; \not\in O(f(x))$

তবে এটি দেখতে সহজকোনও ধ্রুবক আবদ্ধ হয় না, সুতরাং প্রতিটি , জন্য এমন কিছু রয়েছে যে মিথ্যাও দেয়, এবং -ও$|xsin(x)|$$M$$x_0$$x > x_0$$f(x) < Mg(x)$$f(x) \not\in O(g(x))$

দ্রষ্টব্য: সংজ্ঞাটির জন্য যদি বড় হে যা এবং মধ্যে সর্বাধিক ধ্রুবক পার্থক্যকে মঞ্জুরি দেয় তবে একই ধারণা সাথে প্রযোজ্য$Mf(x)$$g(x)$$g(x) = \log(x)$

Answer 3

এখানে এমন একটি জুটি মনোটোনিক ফাংশন যা সংমিশ্রিতভাবে তুলনামূলক নয়। এটি প্রাসঙ্গিক কারণ বাস্তবে উদ্ভূত বেশিরভাগ জটিলতা আসলে একঘেয়েমি।

$$f(x) = \Gamma( \lfloor x \rfloor + 1 ) = \lfloor x \rfloor !$$ $$g(x) = \Gamma( \lfloor x-1/2 \rfloor + 3/2 )$$

এখানে, হয় গামা ফাংশন । দ্বিতীয় ফাংশনটি বিশেষভাবে গৌণ ফাংশনের সামান্য অফসেট পয়েন্টগুলিতে "নমুনা" এর সাথে যুক্ত হওয়ার সাথে যুক্ত হয়ে তৈরি করা হয়েছে। ফাংশনগুলি পর্যায়ক্রমে এমনভাবে একে অপরকে অতিক্রম করে যে কোনওটিই অপ্রত্যাশিতভাবে অপরের দ্বারা আবদ্ধ হয় না।$\Gamma$

Answer 4

আসুন identity নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করে সনাক্তকরণ ফাংশন এবং ধ্রুবক থেকে প্রাপ্ত ফাংশনগুলির শ্রেণি হন: সংযোজন, বিয়োগফল, গুণ, বিভাগ, লগারিদম এবং সূচকীয়। উদাহরণস্বরূপ, । হার্ডি প্রমাণ করেছেন যে প্রতি দুটি ফাংশনের জন্য যা ইতিবাচক এবং অনন্তের দিকে ঝুঁকছে, নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি সত্য: , , একটি ধ্রুবক ঝোঁক। তাঁর "অর্ডার অফ অনন্ত" বইয়ের 18 পৃষ্ঠা দেখুন See$\mathcal{L}$এফ,জি∈এলএফ=ও(জি)এফ=ω(জি)চ/$\exp(2\sqrt{\log x + \log\log x})/x^2$$f,g \in \mathcal{L}$$f = o(g)$$f = \omega(g)$$f/g$

ফলশ্রুতিটি হ'ল অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণে যে কোনও দুটি "সাধারণ" ফাংশন ঘটে তা তুলনীয়। এখানে "সরল" এর অর্থ হ'ল কেস দ্বারা চূড়ান্ত কোনও সংজ্ঞা নেই (চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি বেস কেসগুলি ব্যতীত), এবং কোনও বিস্ময়কর ফাংশন উপস্থিত হয় না, যেমন বিপরীত অ্যাকারম্যান ফাংশন যা কখনও কখনও চলমান সময়ে চিত্রিত হয়।

Comments

নিস! এটি লক্ষণীয়, যদিও পর্যায়ক্রমিক উপাদানগুলি প্রায়শই গড় ক্ষেত্রে বিশ্লেষণে (ডি ও সি অ্যালগরিদমের) ঘন ঘন ঘটে। আমার পরিচিত একজনটি ধ্রুবক দ্বারা উভয় পক্ষের উপর আবদ্ধ, সুতরাং তারা অ্যাসিম্পটোটিক তুলনাকে আঘাত করে না।

— রাফেল