প্রদত্ত ব্যাসার্ধের সর্বোচ্চ এনকোলেসিং সার্কেল

19

আমি নিম্নলিখিত সমস্যার একটি পদ্ধতির সন্ধান করার চেষ্টা করি:

বিন্দুর সেট দেওয়া এবং ব্যাসার্ধ , বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু খুঁজে যেমন যে বৃত্ত সেট থেকে পয়েন্ট সর্বাধিক সংখ্যা উপস্থিত রয়েছে। চলমান সময়টি হওয়া উচিত । $S$ $r$ $O(n^2)$

প্রথমে মনে হয়েছিল এটি ক্ষুদ্রতম এনকোলেসিং চেনাশোনা সমস্যার মতো কিছু, যা সহজেই । ধারণাটি ছিল একটি স্বেচ্ছাসেবী কেন্দ্র স্থাপন এবং সমস্ত পয়েন্ট ঘিরে রাখা । এরপরে, ধাপে ধাপে, বাম / ডানদিকের পয়েন্টগুলিকে স্পর্শ করতে এবং বৃত্তটিকে প্রদত্ত ব্যাসার্ধকে সঙ্কুচিত করার জন্য বৃত্তটি প্রতিস্থাপন করুন, স্পষ্টতই, এটি কার্যকর হবে না। $O(n^2)$ $S$

algorithms computational-geometry

— কম
সূত্র

7

সময়ে এই সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করা যায় তা আমি জানি না , তবে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে। $O(n^2)$ $O(n^2\log n)$

যাক বৃত্ত যার কেন্দ্র হতে , ব্যাসার্ধ সঙ্গে -th পয়েন্ট, । এটি খুঁজে পাওয়া মুশকিল নয় যে পয়েন্ট সেট ব্যাসার্ধ দ্বারা ব্যাসার্ধ সাথে যুক্ত করা যেতে পারে যদি এর ছেদটি খালি নেই। তাছাড়া, যদি খালি না থাকে, কিছু পয়েন্ট থাকতে হবে কিছু উপরে রাখা (সীমানা )। সুতরাং প্রতিটি এবং এর দাসত্বের প্রতিটি পয়েন্ট এর জন্য আমরা কতগুলি বৃত্ত ধারণ করে তা সন্ধান করার চেষ্টা করি $C(s_i)$ $s_i$ $i$ $r$ $P = \{p_0, p_1, \ldots, p_m\}$ $r$ $I(P)$ $C(p_0), C(p_1), \ldots, C(p_m)$ $I(P)$ $I(P)$ $\textbf{bd}C(p_i)$ $C(p_i)$ $C(s_i)$ $p$ $p$ । সমস্ত মধ্যে সর্বাধিক গণনা এই সমস্যার উত্তর হবে। $p$

আসুন পয়েন্টগুলি । এবং আসল সংখ্যার মধ্যে এক থেকে এক ম্যাপিং রয়েছে । প্রতিটি চেনাশোনার জন্য মধ্যে ছেদ এবং একটি বিরতি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে । সুতরাং ব্যতীত অন্য সমস্ত চেনাশোনাগুলির জন্য সর্বাধিক অন্তর রয়েছে (কিছু চেনাশোনা দিয়ে ছেদ করতে পারে না )। ব্যবধানের সমস্ত শেষ পয়েন্টগুলি ক্রম করে স্ক্যান করে এবং বর্তমানের ওভারল্যাপিং নম্বরটি গণনা করে সর্বাধিক গণনাটি সহজেই পাওয়া যায় । প্রতিটির জন্য $\textbf{bd}C(s_i)$ $\textbf{bd}C(s_i)$ $[0, 2\pi)$ $C(s_j)$ $C(s_j)$ $\textbf{bd}C(s_i)$ $[begin_j, end_j]$ $C(s_i)$ $n-1$ $C(s_i)$ $2(n-1)$ $C(s_i)$ , এই পদক্ষেপটি সময়ে করা যেতে পারে , এবং এর মধ্যে যেমন চেনাশোনা রয়েছে তাই এই অ্যালগরিদমের সময় জটিলতা হ'ল । $O(n\log n)$ $n$ $O(n^2\log n)$

— উ ইয়িন
সূত্র

2

চেনাশোনাগুলির বিন্যাসটি একটি স্ট্যান্ডার্ড এলোমেলোভাবে ইনক্রিমেন্টাল অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সময়ে (উচ্চ সম্ভাবনার সাথে) তৈরি করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, চলমান সময় হ'ল , যেখানে হল সংখ্যার যোগ। আপনার প্রিয় গণনা জ্যামিতি পাঠ্যপুস্তক দেখুন।

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n \log n + k)

$O(n\log n + k)$

k

$k$

— জেফই

2

আমি মনে করি যে কঠিন প্রশ্নগুলি আপনার নির্বাচিত চেনাশোনাটি সেটটির মধ্যে আসলে "সর্বাধিক" কিনা তা জেনে চলেছে। আমি এটি নির্ধারণ করার একমাত্র উপায়টি হ'ল পয়েন্টগুলির সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণগুলি চেষ্টা করে দেখতে এবং তাদেরকে ঘিরে থাকা বৃত্তের আকার পরীক্ষা করা।

আপনি প্রথমে পয়েন্ট স্পেসটি 2r প্রস্থের বর্গক্ষেত্রের গ্রিডে ভাগ করেও অনুসন্ধানের স্থানটি হ্রাস করতে পারবেন। তারপরে সর্বাধিক ঘনত্বের সাথে ঘরটি সন্ধান করুন। যেহেতু আপনি ইতিমধ্যে এক্স পয়েন্টগুলির একটি চেনাশোনাটি অবস্থিত করেছেন আপনি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারবেন যে যদি আরও একটি পয়েন্টের সাথে একটি বৃত্ত উপস্থিত থাকে, তবে এতে অবশ্যই কমপক্ষে এক্স পয়েন্ট থাকা উচিত। এবং এটি পয়েন্টগুলির বিভিন্ন সংমিশ্রণের পরীক্ষার জন্য একটি প্রারম্ভিক পয়েন্ট হিসাবে ব্যবহার করুন।

আপনি যদি কেবলমাত্র পয়েন্টগুলির একটি সেট সন্ধান করছেন যা সম্ভবত সর্বাধিক হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে, তবে আপনি যে পয়েন্টগুলি ঘরের ঘনত্বের ঘরের মধ্যে পড়তে চান সেই পয়েন্টগুলি নির্বাচন করে আপনার পরীক্ষা করতে হবে এমন সংমিশ্রণের সংখ্যাটি আরও কমাতে সক্ষম হতে পারেন এক্স এর চেয়ে বড়

এটি বলার পরে, উভয় "হ্রাস" ব্যর্থ হতে পারে এবং সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে আপনি পয়েন্টগুলির সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণের জন্য চেনাশোনাগুলি গণনা করবেন।

— putnampp
সূত্র

1

চাজেলে, বি।; লি, ডিটি-র কাগজ কম্পিউটিং ৩,, ১-16-১ ((1986), পৃষ্ঠা 15 এর উপপাদ্য 3, এটিতে বলা হয়েছে যে সর্বাধিক বেষ্টনকারী বৃত্ত সন্ধানকারী অ্যালগরিদমটি সময় ব্যয় করে। $O(n^2)$

আমি মনে করি কীটি এখনও চৌরাস্তা গ্রাফ নির্মাণের অ্যালগরিদম যার মধ্যে এটি উল্লেখ করা হয়েছে, (বা এডেলসবারুনার, এইচ। (1987), সম্মিলিত জ্যামিতির অ্যালগরিদম, অধ্যায় 7)। এর পরে ম্যাক্সিমুন এনকোলেসিং সার্কেল সন্ধানটি সোজা হওয়া উচিত। $O(n^2)$

$2n^2$ $O(n^2log(n))$

$O(n^2)$ $O(n^2)$

জর্ডানের উপপাদ্য অনুসারে একটি ছেদচিহ্নটি কেবল তখনই একটি বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ থাকে যখন এটি প্রথমে সেই বৃত্তের অন্তর্ভুক্ত "ছেড়ে চলে যাওয়া তোরণ" এর সাথে মিলিত হয় বা সেই বৃত্তের সাথে সম্পর্কিত একটি ঘটনামূলক চাপ হয়। সুতরাং পুরো ভ্রমণের পরে সর্বাধিক সংযুক্তকারী বৃত্ত সহজেই পাওয়া যাবে। আদেশটি ইতিমধ্যে ভ্রমণের মাধ্যমে দেওয়া ব্যতীত সরলরেখার সাথে অর্ডার করা অন্তরগুলির সাথে পয়েন্টগুলির জন্য আচ্ছাদন সময়গুলি নির্ধারণের ক্ষেত্রে (বা এই সংলগ্ন সমস্যার 1D সংস্করণ) সিম্পিলার sim ইউলারের ফর্মুলার by $V + E - F = 2$ $O(n^2)$

— stack99
সূত্র

এটি যদি স্বীকৃত উত্তরের পরিপূরক হিসাবে পড়তে হয় এবং কোনটি নিজেই পড়তে হয় (যা আমি জানি না, কারণ আমি এই বিষয় সম্পর্কে অজ্ঞ) তবে আপনার এটি সম্পর্কে স্পষ্ট হওয়া উচিত।

— বাবু