কোনও গ্রাফের ব্যাস সন্ধানের সময় জটিলতা

Question

গ্রাফ ব্যাস সন্ধানের সময় জটিলতা কত $G=(V,E)$?

• ${O}(|V|^2)$
• ${O}(|V|^2+|V| \cdot |E|)$
• ${O}(|V|^2\cdot |E|)$
• ${O}(|V|\cdot |E|^2)$

গ্রাফ ব্যাস একটি গ্রাফে ছেদচিহ্ন সব জোড়া মধ্যে সবচেয়ে কম পথ দূরত্বের সেট সর্বোচ্চ হয়।$G$

এটি সম্পর্কে কী করা উচিত আমার কোনও ধারণা নেই, এই জাতীয় সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে আমার একটি সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ প্রয়োজন।

Comments

দয়া করে একটি বাচ্চাকে বিস্তারিত বলুন। আপনার আগ্রহের এই সমস্যাটি কেন? আপনার কি কোনও ইঙ্গিত, সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ বা রেফারেন্স দরকার? আপনি কি খারাপ-বা গড়-সময়ের ক্ষেত্রে আগ্রহী? হয় নির্দেশ? $G$

— রাফেল

@ রাফেল: অবশ্যই আমার কোনও ইঙ্গিতের দরকার নেই, আমার একটি সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ দরকার need আমি যাই হোক না কেন আমার প্রশ্ন সম্পাদনা।

— জিগিলি

@Gigili আপনি বলতে চাচ্ছেন $\Theta$ অধিকার সব ক্ষেত্রেই? অন্যথায়, সমস্ত শেষ সম্ভাবনার (যা এর সমান সাধারণ গ্রাফগুলিতে থাকে) দ্বারা স্বীকৃত হয় যা $\cal{O}(|V|^5)$কমপক্ষে একটি উত্তর সঠিক বলে ধরে নেওয়া অনুমান করে এটি একটি সঠিক উত্তর করে। একটি অতিরিক্ত উদ্বেগ হ'ল চক্র সহ গ্রাফের মধ্যে দীর্ঘতম কোনও পথ নেই। "দীর্ঘতম দূরত্ব" বলতে কী বোঝায়?

— রাফায়েল

@ জিগিলি চারটি পছন্দ কোথা থেকে এসেছে?

— uli

Answer 1

হালনাগাদ:

এই সমাধানটি সঠিক নয়।

দুর্ভাগ্যক্রমে সমাধান গাছগুলির জন্য সত্য (এবং সোজা)! গাছের ব্যাস সন্ধান করাও এটির প্রয়োজন হয় না। এখানে গ্রাফগুলির জন্য একটি প্রতিবিম্ব নমুনা রয়েছে (ব্যাসটি 4 হয়, আপনি যদি এই বাছাই করেন তবে আলগোরিদম 3 ফেরান ):$v$

---

যদি গ্রাফটি নির্দেশিত হয় তবে এটি জটিল, এখানে কয়েকটি কাগজ সমস্ত জোড়ের সংক্ষিপ্ততম পথগুলির জন্য অ্যালগরিদম ব্যবহার করার চেয়ে ঘন ক্ষেত্রে দ্রুত ফলাফলের দাবি করে।

তবে আমার মূল বিষয়টি গ্রাফটি নির্দেশিত নয় এবং অ-নেতিবাচক ওজন সহ, আমি বেশ কয়েকবার একটি সুন্দর কৌশল শুনেছি:

1. একটি ভার্টেক্স বেছে নিন $v$
2. এই যেমন যে ঘ ( বনাম , U ) সর্বোচ্চ$u$$d(v,u)$
3. এই যেমন যে ঘ ( U , W ) সর্বোচ্চ$w$$d(u,w)$
4. ফিরুন $d(u,w)$

এর জটিলতা দুটি ক্রমাগত প্রস্থের প্রথম অনুসন্ধানের সমান ¹ এটি গ্রাফ সংযুক্ত থাকলে ²$O(|E|)$

এটি লোককাহিনী মনে হয়েছিল তবে এখনই, আমি এখনও একটি উল্লেখ পেতে বা এর সংশোধন প্রমাণ করার জন্য লড়াই করছি strugg আমি আপডেট করব যখন আমি এই লক্ষ্যগুলির মধ্যে একটি অর্জন করব। মনে হচ্ছে আমি এখনই আমার উত্তর পোস্ট করছি, সম্ভবত কেউ তা দ্রুত পেয়ে যাবে।

¹ যদি গ্রাফ পরিমেয় হয়, উইকিপিডিয়া বলে মনে হয় কিন্তু আমি শুধুমাত্র নিশ্চিত সম্পর্কে am হে ( | ই | লগ | ভী | ) ।$O(|E|+|V|\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

The গ্রাফটি সংযুক্ত না থাকলে আপনি তবে প্রতিটি সংযুক্ত উপাদান থেকে একটি উপাদান বাছতে আপনাকে O ( α ( | V | ) ) যুক্ত করতে হতে পারে। আমি নিশ্চিত নই যে এটি প্রয়োজনীয় কিনা এবং যাইহোক, আপনি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে ব্যাস এই ক্ষেত্রে অসীম।$O(|V|+|E|)$$O(α(|V|))$

Comments

নির্ধারিত সময়সীমে ডিজস্ক্রা কাজের জন্য আপনাকে ফিবোনাচি হিপগুলি ব্যবহার করতে হবে, সাধারণ প্রয়োগ নয়।

— সুরেশ

এটি দৃ strongly়ভাবে ভুল উত্তর, এই অ্যালগরিদম লোককাহিনী তবে গাছগুলিতে সাধারণ গ্রাফ নয়। PS: আমি আপনার পাল্টা উদাহরণ দেখতে পাচ্ছি, তবে উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করা ভাল উত্তর নয়।

ভুল সমাধান সম্পর্কে আমার দুটি প্রশ্ন আছে। ১. এটি কি কমপক্ষে এমন একটি পরিসর দেবে যেখানে সঠিক উত্তরটি হওয়া উচিত? উদাহরণস্বরূপ, পদ্ধতিটি যদি ব্যাস d খুঁজে পায় তবে সঠিক সমাধানটি d এবং 2d এর মধ্যে থাকবে ? ২. আমরা যদি অন্য একটি সংযোজন যুক্ত করি এবং একটি দিকনির্দেশের দ্বারা প্রাপ্ত সমস্ত নোডগুলি (কেবল একটি নয়) বিবেচনা করি তবে কী ঘটে? পোস্টে দেওয়া পাল্টা উদাহরণটি তখন কাজ করবে, কারণ সত্য পেরিফেরাল উল্লম্বগুলি দ্বিতীয় ইন্ডিরেশনের দ্বারা পাওয়া নোডগুলির মধ্যে একটি।

— মাফু

Answer 2

আমি অনুমান আপনি কি বলতে চান ব্যাস এর যা দীর্ঘতম সবচেয়ে কম পাথ পাওয়া যায় জি ।$G$$G$

প্রথমে সমস্ত জোড়ের সংক্ষিপ্ততম পাথ এবং সর্বাধিক প্রাপ্ত দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করে ব্যাস সন্ধান করা যেতে পারে। ফ্লয়েড-ওয়ারশাল অ্যালগরিদম এটি সময়ে করে। জনসন এর এলগরিদম অর্জনে প্রয়োগ করা যেতে পারে হে ( | ভী | 2 লগ | ভী | + + | ভী | ⋅ | ই | ) সময়।$\Theta(|V|^3)$$\cal{O}(|V|^2\log |V| + |V|\cdot|E|)$

একটি ছোট খারাপ-কেস রানটাইম আবদ্ধ যেমন আছে অর্জন করা কঠিন বলে মনে হয় দূরত্বের বিবেচনা এবং sublinear সেই দূরত্ব গণক (amortized) সময় প্রতিটি শক্ত হতে যাচ্ছে; সম্পর্কিত সীমাবদ্ধতার জন্য এখানে দেখুন । এই কাগজটি নোট করুন যা একটি ভিন্ন পদ্ধতির ব্যবহার করে এবং একটি (সামান্য) দ্রুত অ্যালগরিদম প্রাপ্ত করে।$\cal{O}(|V|^2)$

Comments

আপনি যদি সেই কাগজপত্রগুলিতে বেতনভুক্ত হন, গুগল স্কলারকে চেক করুন।

— রাফেল

এছাড়াও, এই ব্যতিক্রমটি পুনর্নির্দেশিত গাছগুলির জন্য উল্লেখযোগ্য , যেখানে আপনি ডায়া পেতে পারেন। মাত্র একটি ডিএফএস ট্র্যাভারসাল সহ।

— আজম

Answer 3

আপনি একটি বীজগণিত গ্রাফ তাত্ত্বিক পদ্ধতির বিবেচনা করতে পারেন। ব্যাস অন্তত পূর্ণসংখ্যা টি St ম্যাট্রিক্স এম = আমি + + একটি সম্পত্তি যে সব এন্ট্রি হয়েছে এম টি অশূন্য হয়। আপনি ম্যাট্রিক্স গুণনের পুনরাবৃত্তি দ্বারা ও ( লগ এন ) টি খুঁজে পেতে পারেন । ব্যাস অ্যালগরিদম এর পরে ও ( এম ( এন ) লগ এন ) সময় প্রয়োজন, যেখানে এম ( এন $\text{diam}(G)$$t$$M=I+A$$M^t$$t$$O(\log n)$$O(M(n) \log n)$$M(n)$ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য সীমাবদ্ধ। উদাহরণস্বরূপ, ভ্যাসিলিভস্কা উইলিয়ামসের কপারস্পিথ -উইনোগ্রাড অ্যালগরিদমের সাধারণীকরণের সাথে, ব্যাসের অ্যালগরিদম । দ্রুত পরিচয়ের জন্য, এখানে ফ্যান চুংয়ের বইয়ের অধ্যায়টি দেখুন ।$O(n^{2.3727} \log n)$

আপনি যদি উপযুক্ত গ্রাফ শ্রেণিতে আপনার মনোযোগ সীমাবদ্ধ করেন তবে আপনি অনুকূল সময়ে এপিএসপি সমস্যাটি সমাধান করতে পারেন । এই শ্রেণীর অন্তত অন্তর অন্তর গ্রাফ, বিজ্ঞপ্তি আরক গ্রাফ, ক্রমাঙ্কন গ্রাফ, দ্বি-পার্টী পারমিটেশন গ্রাফ, দৃ strongly়ভাবে কর্ডাল গ্রাফ, কর্ডাল দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ, দূরত্ব-বংশগত গ্রাফ এবং দ্বৈত কর্ডাল গ্রাফ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ড্রাগন, এফএফ (2005) দেখুন। সীমাবদ্ধ গ্রাফ পরিবারগুলিতে সমস্ত জোড়ের সংক্ষিপ্ততম পাথের অনুমান করা: একটি ইউনিফাইড পদ্ধতি। জার্নাল অফ অ্যালগরিদম, 57 (1), 1-21 এবং এর উল্লেখগুলি।$O(n^2)$

Comments

এটি লক্ষণীয় যে এই অ্যালগরিদমটি কেবল অদ্বিতীয় ক্ষেত্রে কাজ করে।

— GMB

Answer 4

অনুমান:
১. গ্রাফ নিখরচায়
২. গ্রাফ পরিচালিত

ও (| ভি || ই |) সময়ের জটিলতা।

অ্যালগরিদম:

ComputeDiameter(G(V,E)):
  if ( isCycle( G(v,E) ) ) then
     return INFINITY
  if ( not isConnected( G(V,E) )) then
     return INFINITY
  diameter = 0
  for each vertex u in G(V,E):
     temp = BFS(G,u)
     diameter = max( temp , diameter )
  return diameter

ব্যাখ্যা:
আমরা চক্র পরীক্ষা করি। যদি গ্রাফের মধ্যে চক্র থাকে তবে আমরা লুপে চলতে থাকি, তাই আমাদের অসীম দূরত্ব থাকবে। আমরা সংযুক্ত জন্য পরীক্ষা। যদি গ্রাফটি সংযুক্ত না থাকে তবে এর অর্থ জি G2 এর থেকে ভার্টেক্স u থেকে G1 ver যেখানে জি 1 এবং জি 2 কোনও দুটি উপগ্রাফ যা সংযুক্ত নেই। সুতরাং আমরা আবার অসীম দূরত্ব হবে। আমরা প্রদত্ত নোড (ইউ) এর মধ্যে অন্য সমস্ত নোডের (স) যা আপনার কাছ থেকে পৌঁছনীয় তার মধ্যে সর্বাধিক দূরত্ব গণনা করতে আমরা বিএফএস ব্যবহার করব। তারপরে আমরা সর্বাধিক গণিত ব্যাস এবং বিএফএসের ফলাফল রিটার্ন নেব। সুতরাং আমরা বর্তমান সর্বাধিক ব্যাস হবে।

বিশ্লেষণ চালানোর সময়:

1. ও (| ই |) ডিএফএস ব্যবহার করে
2. ও (| ই |) ডিএফএস ব্যবহার করে
3. বিএফএস ও (| ই |) সময়ে চালিত হয়।
4. আমাদের প্রতিটি ভার্টেক্সের জন্য বিএফএস ফাংশনটি কল করতে হবে সুতরাং মোট এটি ও (| ভি || ই |) সময় নেবে।

মোট সময় = ও (| ভি || ই |) + ও (| ই |) + ও (| ই |)
যেহেতু | ভি || ই | > | ই |
সুতরাং ও (| ভি || ই |) হিসাবে আমাদের চলমান সময় আছে।

বিএফএস
ডিএফএস

দ্রষ্টব্য: এটি এই সমস্যার একটি মার্জিত সমাধান নয়।

Comments

অ্যাসাইক্লিক সংযুক্ত গ্রাফগুলি হ'ল গাছ, যার জন্য সমস্যাটি আরও সহজ (কারণ ব্যাসটি দীর্ঘতম পথ দ্বারা দেওয়া হয়)। এটি এখানে এবং এখানে মোকাবেলা করা হয়েছে , যেখানে দ্রুত অ্যালগরিদম দেওয়া হয়। (একটি পুনরাবৃত্ত ট্র্যাভারসাল বা, বিচ্ছিন্ন, দুটি বিএফএস যথেষ্ট are)

— রাফেল

@Raphael না, acyclic undirected গ্রাফ গাছ আছে। ডিএজিগুলি হ'ল ড্যাগ।

— ডেভিড রিচারবি

পুনঃটুইট (যদিও, প্রযুক্তিগতভাবে, উত্তরটি নির্দেশিত বা অপরিবর্তিত চক্রগুলি বাদ দেয় কিনা তা বলে না)

— রাফেল

@ রাফেল আপনি কি অ্যাসাইক্লিক গ্রাফগুলি নিশ্চিত? গ্রাফ অ্যাসাইক্লিকের অর্থ এই নয় যে গ্রাফটি সর্বদা ট্রি থাকবে। গাছ এটির একটি বিশেষ কেস A এছাড়াও এটি স্ট্রেড ফরোয়ার্ড অ্যালগরিদম এবং সময়ের জটিলতা হ'ল (| ভি || ই |)।

— sonus21

হ্যা, আমি নিশ্চিত. (সম্ভবত আপনি মূলের গাছের কথা ভাবছেন যা আলাদা স্বাদ are)

— রাফেল