এলোমেলো গ্রাফে চক্রের সংখ্যা

নোড ( গিলবার্টের কারণে সহ এলোমেলো গ্রাফ এর একটি পরিবার রয়েছে । প্রতিটি সম্ভাব্য প্রান্তটি স্বতন্ত্রভাবে মধ্যে সম্ভাব্য সহ serted । যাক আকারের চক্রের সংখ্যা হতে মধ্যে । $G(n, p)$ $n$ $G(n, p)$ $p$ $X_k$ $k$ $G(n, p)$

আমি জানি যে $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , তবে আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করব?

কীভাবে সেই $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ 1 জন্য $n\to\infty$ ? এবং কিভাবে যে দেখানোর জন্য $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ জন্য $n\to\infty$ এবং একটি নির্দিষ্ট, নির্বিচারে ধ্রুবক $c>1$ ?

— user1374864
সূত্র

সুতরাং মূলত তিনটি প্রশ্ন জড়িত আছে।

আমি জানি যে $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , তবে আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করব?

আপনি প্রত্যাশার লিনিয়ারিটি এবং কিছু স্মার্ট পুনরায় লেখা ব্যবহার করেন। সবার আগে, দ্রষ্টব্য যে এখন, এর প্রত্যাশা গ্রহণ করার সময় , কেউ সহজেই যোগফলটি বের করতে পারে (লিনিয়ারির কারণে) এবং যোগফল অঙ্কনের মাধ্যমে, আমরা নোডের সাবসেটগুলির মধ্যে সম্ভাব্য সমস্ত নির্ভরতা দূর করেছি। সুতরাং, একটি চক্রের সম্ভাবনা কী ? ওয়েল, কী নিয়ে গঠিত তা , সমস্ত প্রান্ত সম্ভাবনা সমান। সুতরাং,

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

E (X_{k}) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} E (1 [T is clique]) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} P r [T is clique]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ , যেহেতু এই অনুচ্ছেদে সমস্ত প্রান্ত উপস্থিত থাকতে হবে। এবং তারপরে, যোগফলের অভ্যন্তরীণ শব্দটি আর উপর নির্ভর করে না, আমাদের সাথে ।

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

কীভাবে জন্য এটি দেখানো যায় : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

এটি এমনকি সঠিক কিনা তা সম্পর্কে আমি পুরোপুরি নিশ্চিত নই। দ্বিপদী সহগের উপর একটি সীমা প্রয়োগ করা , আমরা পাই

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{\log n} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ (মনে রাখবেন যে আমি মোটামুটি উপরের সীমানা দ্বারা ।) তবে, এখন কেউ বেছে নিতে পারে এবং এটি অর্জন করতে পারে , যা পুরো শব্দটিকে বড় জন্য । আপনি সম্ভবত কিছু অনুমান অনুপস্থিত ?

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HdM
সূত্র

এটা কি সঠিক? । এটি কি হতে হবে না তবে এখন আমি কীভাবে চলতে জানি না

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log_{2} n}) \cdot p^{(\binom{\log_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n e}{\log_{2} n})}^{\log n} \cdot p^{\frac{(\log_{2} (n) \cdot e)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— ব্যবহারকারী 1374864

আমি শুধু উপর আবদ্ধ বলেন প্রয়োগ । জন্য , আপনি পালন করতে পারে । এখন , যেহেতু আমরা এর ক্ষতিকারককে আরও ছোট করতে চাই (কেন নিজেকে বোঝান)। যুক্তিসঙ্গতভাবে বড় , আমাদের কাছে । সুতরাং উপরের

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— গণনাটি

তৃতীয় প্রশ্ন দিয়ে কী আছে?

— কাতারে

এটি দ্বিতীয় প্রশ্নের মতো একই সমস্যায় ভুগছে। দুঃখিত, আমার এটা পরিষ্কার করা উচিত ছিল।

— এইচডিএম

এলোমেলো গ্রাফে চক্রের সংখ্যা

আমি জানি যে E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}} , তবে আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করব?

কীভাবে জন্য এটি দেখানো যায় :n→∞n→∞n\rightarrow\inftyE(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

আমি জানি যে $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , তবে আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করব?

কীভাবে জন্য এটি দেখানো যায় : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$