মিলার – রবিন কেন ফেরামাত প্রাথমিকতার পরীক্ষার পরিবর্তে?

Question

মিলার-রবিনের প্রমাণ থেকে , যদি কোনও নম্বর ফার্মাট প্রিমিয়ামটি পরীক্ষায় পাস করে তবে মিলার-রবিন পরীক্ষাটি অবশ্যই একই বেস (প্রমাণের একটি ভেরিয়েবল) দিয়ে পাস করতে হবে । এবং গণনা জটিলতা একই।$a$

নিম্নলিখিতটি ফেরামাত প্রাথমিকতার পরীক্ষা থেকে প্রাপ্ত :

যদিও কারমাইকেল সংখ্যাগুলি প্রধান সংখ্যাগুলির তুলনায় যথেষ্ট বিরল, সেখানে 1 টির মধ্যে পর্যাপ্ত পরিমাণ রয়েছে যে ফার্মের প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য প্রায়শই উপরের আকারে ব্যবহৃত হয় না। পরিবর্তে, ফার্মে পরীক্ষার আরও শক্তিশালী এক্সটেনশনগুলি , যেমন বেইলি-পিএসডাব্লু, মিলার-রবিন, এবং সলোভে-স্ট্র্যাসেন বেশি ব্যবহৃত হয়।

মিলার-রবিনের কী লাভ এবং কেন এটি ফার্মাট আদিমতার পরীক্ষার চেয়ে আরও শক্তিশালী বলা হয়?

Answer 1

রবিন-মিলার অ্যালগরিদম এছাড়াও পরীক্ষা একটি নম্বর দেওয়া , কিনা জেড এন ঐক্যের nontrivial রুট হয়েছে।$n$$Z_n$

কারমাইকেল সংখ্যার ফার্মার পরীক্ষা (প্রতি ভিত্তি পাস ), কিন্তু প্রত্যেক কারমাইকেল সংখ্যার জন্য এন , অনেক নম্বর অস্তিত্ব একটি যেমন যে ঐক্য শিকড় জন্য পরীক্ষার ব্যর্থ হলে একটি (যে, ক্রম একটি , 2 একটি , । । । , 2 আর এ অবশেষে unityক্যের একটি অনর্থক মূল প্রদর্শিত হয়)।$a$$n$$a$$a$$a,2a,...,2^ra$

সুতরাং, আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:

ফের্মার পরীক্ষা, যদি একটি যৌগিক সংখ্যা কারমাইকেল, তারপর সম্ভাব্যতা যে পরীক্ষা compositeness নির্ণয় করতে পারবে কমপক্ষে নয় 1 / 2 । তবে পরীক্ষাটি সমস্ত কারমাইকেল নম্বর ব্যর্থ করবে।$n$$1/2$

রবিন-মিলার পরীক্ষা স্বরূপ, প্রতিদিন যৌগিক সংখ্যা সম্ভাব্যতা অন্তত সঙ্গে সনাক্ত করা হবে । এর অর্থ হ'ল নির্ভুলতার সম্ভাবনা ইনপুট থেকে স্বতন্ত্র (কোনও "শক্ত" ইনপুট নেই)। এটিই এই অ্যালগরিদমকে আরও শক্তিশালী করে তোলে।$1/2$

Comments

আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে কারমাইকেল নম্বর এন ফারমেটের পরীক্ষায় সাফল্য অর্জন করতে পারে তবে একই বেসটি ব্যবহার করে রবিন-মিলারের সাথে ব্যর্থ হয়েছে a?

— জিজিংডু

কারমাইকেল সংখ্যার যে জন্য ফার্মার পরীক্ষা পাস , কিন্তু কিছু জন্য একটি 's এটা রবিন-মিলার পরীক্ষা ব্যর্থ হবে (বিশেষত ইউনিটি পরীক্ষা রুট)। $a$$a$

— শাল

কিন্তু কারমাইকেল যে জন্য ফার্মার পরীক্ষা পাস করা হবে না , সঠিক? উদাহরণ হিসেবে বলা যায় প্রথম কারমাইকেল সংখ্যা 561 = 3 * 11 * 17 জন্য ফার্মার পরীক্ষা পাস করা হবে না একটি = 3 বা 11 বা 17$a$$a$

— ZijingWu

যখন আমরা "পাস" বলি তখন আমরা বোঝাই যে সেগুলি সম্মিলিত সংখ্যা হিসাবে সনাক্ত করা যাবে না । সুতরাং, কারমাইকেল নম্বরগুলি প্রতি পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হবে । আমি মনে করি আমরা একই জিনিস বোঝাতে চাই। এই উদাহরণে, 561 প্রত্যেক সংখ্যার জন্য ফার্মার পরীক্ষা পাস হবে একটি । $a$$a$

— Shaull

"আরও জটিল" পরীক্ষাগুলির বক্তব্যটি হ'ল যে ঘাঁটিগুলির মিথ্যা (যে সংখ্যাটি সম্ভবত প্রধান, যখন এটি নয়) এর গ্যারান্টিযুক্ত সীমা 1 এর কম থাকে I অর্থাত্ মিলার-রবিনে এটি প্রদর্শিত হতে পারে সর্বাধিক 1/4 টি মিথ্যা (আইআইআরসি, এবং গণ্ডিটি বেশ হতাশাবাদী)।

— ভনব্র্যান্ড

Answer 2

আমি বিশ্বাস করি আপনার বক্তব্যটি যা ঘটে তার বিপরীত। প্রদত্ত বেসের জন্য মিলার-রবিন পরীক্ষা পাস করার অর্থ এটি একই বেসের জন্য ফার্ম্যাট পরীক্ষা পাস করবে। বিপরীতে, এমন অনেকগুলি সংমিশ্রণ রয়েছে যা প্রদত্ত বেসের জন্য ফার্ম্যাট পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হবে তবে একই বেসের জন্য মিলার-রবিন পরীক্ষায় ব্যর্থ হবে।

উদাহরণস্বরূপ, উইকিপিডিয়া মিলার-রবিন পৃষ্ঠায় পোমারেন্স / সেলফ্রিজ / ওয়াগস্টাফের কাগজটি দেখুন:

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf

যেখানে আমরা পৃষ্ঠা 2 এ চিত্রটি দেখি যেখানে দেখানো হয়েছে যে অয়লার সিউডোপ্রাইমগুলি ফার্ম্যাট সিউডোপ্রাইমগুলির একটি উপসেট এবং শক্তিশালী সিউডোপ্রিমগুলি সেগুলির একটি উপসেট। সলোভে-স্ট্রেসন পরীক্ষা তাই ফার্মাট পরীক্ষার চেয়ে বেশি বিচক্ষণ, এবং মিলার-রবিন পরীক্ষার চেয়েও বেশি। তারা উভয়ই কারমাইকেল সংখ্যার সমালোচনামূলক সমস্যা এড়ায়। তাদের মূলত একই কর্মক্ষমতা রয়েছে, তাই আমরা মিলার-রবিন পরীক্ষাটি ব্যবহার করতে পছন্দ করি।

Answer 3

এটি সুস্পষ্ট হওয়া উচিত যে মিলার-রবিন ফার্মের চেয়ে ভাল।

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$$p-1 = s·2^k$$a^s$$a^{p-1}$

আবার, ফলাফলটি যদি 1 (মডুলো পি) না হয় তবে পি সম্মিলিত। কিন্তু যদি ফলাফলের হয় 1 মডিউল পি, তাহলে আমরা পরীক্ষা আমরা পেয়েছিলাম কিনা 1 কোন মধ্যবর্তী ফলে ছিল বর্গ দ্বারা নয় +1 বা -1, এবং যে ক্ষেত্রে এক্স এছাড়াও যৌগিক প্রমাণিত হয়।

সুতরাং আমরা ঠিক একই পরিমাণের কাজটি করি তবে এক্সটি সম্মিলিত প্রমাণ করার আরও অনেক উপায় রয়েছে।