ওজনযুক্ত গ্রাফের ন্যূনতম বিস্তৃত গাছে প্রদত্ত ওজন সহ একই সংখ্যার প্রান্ত রয়েছে?

একটি ভরযুক্ত গ্রাফ তাহলে দুটি ভিন্ন ন্যূনতম spanning গাছ রয়েছে এবং , তাহলে এটি সত্যি যে কোনো প্রান্ত জন্য মধ্যে , ইন প্রান্ত সংখ্যা একই ওজন হিসেবে (তত্সহ নিজেই) এ প্রান্ত সংখ্যা হিসাবে একই হিসাবে একই ওজনের ? যদি বক্তব্যটি সত্য হয় তবে আমরা কীভাবে এটি প্রমাণ করতে পারি? $G$ $T_1 = (V_1, E_1)$ $T_2 = (V_2, E_2)$ $e$ $E_1$ $E_1$ $e$ $e$ $E_2$ $e$

graph-theory spanning-trees weighted-graphs

— আদেন ডং
সূত্র

একটি কৌতূহলপূর্ণ তবে সম্ভাব্য পদ্ধতিটি দেখানো হল ১) কৃসকলের অ্যালগরিদম প্রতিটি ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ উত্পাদন করতে পারে এবং ২) কৃসকলের প্রাপ্ত সমস্ত ন্যূনতম বিস্তৃত গাছে একই ধরণের ওজনের মাল্টিসেট থাকে।

— রাফেল

উত্তর:

দাবি: হ্যাঁ, উক্তিটি সত্য।

প্রুফ স্কেচ: আসুন $T_1,T_2$ প্রান্ত ওজন multisets দুটি সংক্ষিপ্ত ব্যপ্তি গাছ হতে $W_1,W_2$ । $W_1 \neq W_2$ অনুমান করুন এবং সাথে তাদের প্রতিসম পার্থক্য বোঝান । $W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$

$e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $w(e) = \min W$ $e$ $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $\min W$ $\min W \notin W$ $e \in T_1$ $T_1$ $\min W$ $T_2$

এখন সব প্রান্ত বিবেচনা যে কাটা রয়েছে যে দ্বারা প্রবর্তিত হয় মধ্যে । যদি কেউ দ্বিধা-দ্বন্দ্বে হয় সেখানে হিসাবে একই ওজন আছে যা , আপডেট ব্যবহার করে র পরিবর্তে ; নোট করুন যে নতুন গাছটি এখনও টি মতো একই প্রান্ত-ওজনের মাল্টিসেট সহ একটি ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ । আমরা এই যুক্তিটি পুনরাবৃত্তি করি, দুটি উপাদান দ্বারা সঙ্কুচিত এবং এরপরে প্রতি পদক্ষেপে এর জন্য প্রার্থীদের সেট থেকে একটি প্রান্ত অপসারণ করি । অতএব, আমরা এমন একটি সেটিং পর্যন্ত চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি পদক্ষেপ যেখানে সমস্ত প্রান্ত রয়েছে $T_2$ $C_{T_1}(e)$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $W$ $e$ $T_2 \cap C_{T_1}(e)$ (যেখানে আপডেট সংস্করণ) এর ব্যতীত অন্য ওজন রয়েছে । $T_1$ $w(e)$

এখন আমরা সর্বদা পারি যা আমরা এবং নিতে পারি that এটিই আমরা একটি নতুন বিস্তৃত গাছ তৈরি করতে পারি $e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$ $e$ $e'$

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

যার এবং টি চেয়ে কম ওজন রয়েছে ; এটি ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ হিসাবে এর পছন্দের বিরোধিতা করে । অতএব, । $T_1$ $T_2$ $T_1,T_2$ $W_1 = W_2$

এর নোডের ঘটনা টি 3 একটি পথ দ্বারা সংযুক্ত রয়েছে ; হল এর অনন্য প্রান্ত । $e$ $T_2$ $P$ $e'$ $P \cap C_{T_1}(e)$

— রাফেল
সূত্র

ডেভের মন্তব্যে রেফারেন্স হিসাবে আমি 0 পরে এই প্রমাণ নিয়ে এসেছি) বিশ্বাস করে আমার একটি পাল্টা উদাহরণ রয়েছে যা আমি দেখেছিলাম এটি টিকজিংয়ের পরে ভুল ছিল, 1) বিবৃতিটি প্রমাণ করার চেষ্টা করা হলেও ব্যর্থ হয়েছে, 2) একটি পাল্টা উদাহরণ তৈরির চেষ্টা করা হয়েছে প্রমাণ কোথায় ব্যর্থ হয়েছে এবং আবার ব্যর্থ হয়েছে তার ভিত্তিতে এবং অবশেষে ৩) প্রমাণ সহকারে আসার জন্য এই নতুন উদাহরণগুলি যেভাবে কাজ করতে ব্যর্থ হয়েছিল তা ব্যবহার করে। এটি সম্ভবত এটি কেন এটি পরিমার্জন করা যায় না।

— রাফেল

হ্যাঁ, আমি বুঝতে পারি না যে টি-তে দ্বারা সাইট বলতে কী বোঝায় আমি কেবল কাটা

e

$e$

T_{1}

$T_1$

(S, V - S)

$(S,V-S)$

— দেখেছি

@ ডিগ্রাগোবাই রিমুভ করা সংযোগ বিচ্ছিন্ন করে ; একটি উপাদান গঠন করে , অন্যটি পরিপূরক।

e

$e$

T_{1}

$T_1$

S

$S$

— রাফেল

এখানে একটি সামান্য সরল যুক্তি যা অন্যান্য ম্যাট্রয়েডগুলির জন্যও কাজ করে। (আমি এই প্রশ্নটি অন্য একজনের কাছ থেকে দেখেছি ))

মনে করুন যে এর কিনারা রয়েছে। সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, অনুমান ওজন ফাংশন মান লাগে , তাই আমরা একটি পার্টিশন আছে সেটে জন্য । আমরা সংখ্যার উপর আনয়ন করতে পারি না খালি নয় এমন এর এবং ছেদচিহ্ন সংখ্যা মধ্যে ; জন্য এবং কোন , বিবৃতি সুস্পষ্ট। $G$ $m$ $w$ $[m]$ $E$ $E_i := w^{-1}(i)$ $i\in [m]$ $j$ $E_i$ $n$ $G$ $j=1$ $n$

Matroids সম্পর্কে একটি মান সত্য যে প্রতি এমএসটি জন্য ক্রম দ্বারা প্রবর্তিত একটি রৈখিক এক্সটেনশন আছে যাতে লোভী অ্যালগোরিদম উৎপন্ন । $T$ $w$ $T$

আনয়ন বন্ধ করতে, নিতে যাতে বৃহত্তম সংখ্যা হতে খালি না থাকে। সেট । মান্য যে কোন রৈখিক এক্সটেনশন রাখে যে প্রান্ত যে কোন প্রান্ত আগে । সত্য অনুসারে, যে কোনও এমএসটিতে দ্বারা প্রণীত সাবগ্রাফের একটি বিস্তৃত বন এবং থেকে কিছু প্রান্ত । ইনডাকটিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, এর প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানটির জন্য প্রতিটি থেকে সমান সংখ্যক প্রান্ত রয়েছে । যেহেতু সমস্ত পছন্দ $t$ $E_t$ $E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$ $w$ $E'$ $E_t$ $F$ $E'$ $E_t$ $F$ $E_i$ $i < t$ $F$ থেকে প্রান্ত সংখ্যা একই আকার আছে সম্পূর্ণ করা প্রয়োজন বর্ধিত বৃক্ষের ফল খাবার পছন্দমত স্বাধীন এবং আমরা করা হয়। $E_t$ $F$ $F$

— লুই
সূত্র

আপনি এমএসটি সমস্যার জন্য ম্যাট্রয়েড দিতে পারেন ? আমি মনে করি মনে হচ্ছে এটি সামনে আসা শক্ত জিনিস এবং এটি এখনও (কঠোরভাবে) দেখতে পেলাম না। হ্যাঁ, আমরা লোভী অ্যালগোরিদম, কিন্তু না ব্যবহার (ক্যানোনিকাল) matroid তত্ত্ব থেকে লোভী।

— রাফেল

এটি বলেছিল, আমি মনে করি আপনার মূল যুক্তি কাজ করে (এবং একেবারেই ম্যাট্রয়েডের দরকার নেই): ক্রুসকলের অ্যালগরিদমকে সঠিক করে এবং প্রতিটি এমএসটি ক্রুশালের রান থেকে ওজন মাল্টিসেটের নির্দিষ্ট (সাজানো) ক্রমানুসারে প্রাপ্ত হতে পারে (orted কঠোর প্রমাণ মুলতুবি রয়েছে), দাবিটি অনুসরণ করে। আমি "প্রমাণ মুলতুবি" লিখি কারণ এটি তুচ্ছ বা তাত্ক্ষণিকভাবে নয়: দাবিটি নিজে ব্যবহার না করেই কেন কৃষ্ণসালকে সমস্ত এমএসটি খুঁজে পাওয়া উচিত তা মোটেও পরিষ্কার নয়। স্পষ্টত, যদি এক ছিল একটি ভিন্ন ওজন multiset, Kruskal কখনো এটা খুঁজে চাই!

— রাফেল

ম্যাট্রয়েড গ্রাফিক ম্যাট্রয়েড। সম্পন্ন!

— লুই

২. আপনি বিভ্রান্ত বিমূর্তভাবে, আমরা বেস পলিটোপ উপর লিনিয়ার অপ্টিমাইজেশন করছি। ম্যাট্রয়েডগুলির একটি স্ট্যান্ডার্ড বৈশিষ্ট্য হ'ল লোভী অ্যালগরিদম ওজনের যে কোনও পছন্দের জন্য কাজ করে। সকল -minimal ব্যপ্তি গাছ এই polytope একটি মুখের ছেদচিহ্ন হয়। এখন এলপি থেকে স্ট্যান্ডার্ড আইডিয়াগুলি স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্টের দিকে নিয়ে যায় যা আমি উল্লেখ করেছি।

w

$w$

— লুই

1. আপনি একটি রেফারেন্স দিতে পারেন? আমি জানি না গ্রাফিক matroid। ২. এখন আপনি এতে এলপিকেও টেনে আনুন! আমি যা বলছি তা হ'ল আপনার উত্তরটিতে ম্যাট্রয়েডের অভাব রয়েছে এবং ম্যাট্রয়েড ছাড়া যুক্তির লাইনটি দাবিতে নিজেরাই নির্ভর করে বলে মনে হচ্ছে। যদি আপনার কাছে কোনও উপায় থাকে তবে দয়া করে উত্তরটি সম্পাদনা করুন / স্পষ্ট করুন।

— রাফেল