লাম্বদা ক্যালকুলাস: প্রসঙ্গ এবং মূল্যায়নের প্রসঙ্গে পার্থক্য

প্রথমত, আমি বলতে চাই যে নীচে আমার পাঠ্যটিতে ত্রুটি থাকতে পারে, সুতরাং আমার প্রশ্ন গঠনের কোনও ত্রুটি নির্দ্বিধায় নির্দ্বিধায় মনে করুন।

বুলিয়ান এবং যদি-বিবৃতিগুলির শর্তাদি এই বাক্য গঠন দ্বারা দেওয়া হয় তবে একটি টাইপযুক্ত ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস বিবেচনা করুন:

 t ::= v | t t | if t t t | x
 v ::= \x.t | #t | #f

এই ক্ষেত্রে প্রসঙ্গ সি এই বাক্য গঠন অনুযায়ী দেওয়া হবে:

C ::= [-] | \x. C | C t | t C | if C t t | if t C t | if t t C

তদ্ব্যতীত, কেউ এই অন্যান্য বাক্য গঠন অনুযায়ী মূল্যায়ন প্রসঙ্গ E সংজ্ঞায়িত করতে পারে:

E ::= [-] | \x. E | v E | E t | if E t t

আমি আমার প্রশ্নটি তিনটি উপ-পয়েন্টে বিভক্ত করেছি যার দিকে আমি উত্তর দিতে চাই।

দুটি ধারণা কখন ব্যবহৃত হয়? আমি উদাহরণস্বরূপ জানি যে মূল্যায়নের প্রসঙ্গগুলি ক্যালকুলাসের শব্দার্থবিজ্ঞান সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, তবে প্রসঙ্গের ব্যবহার এখনও কিছুটা আমাকে বাদ দেয়। এছাড়াও আমি আমার জ্ঞানের এখানে কিছু নিশ্চিতকরণ চাই।
কখন একজনকে অন্যের কাছে অগ্রাধিকার দেওয়া হয় এবং কেন?
আপনি কি প্রাসঙ্গিক নিবন্ধগুলিতে ইঙ্গিত করতে পারেন যা আমাকে এই বিষয়টিকে বাছাই করতে সহায়তা করতে পারে?

programming-languages lambda-calculus

উত্তর:

প্রসঙ্গটি বিভিন্ন উদ্দেশ্যে ব্যবহৃত হয়, তবে সাধারণত প্রোগ্রামগুলিতে একত্রিত হওয়ার সংজ্ঞা দেয়। মূল্যায়ন প্রসঙ্গটি প্রসঙ্গে একটি উপসেট হয়। এগুলি সাধারণত হ্রাস সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। আমি প্রতিটি উদাহরণ দিতে।

প্রোগ্রাম সমতা সংজ্ঞা এক আনুষ্ঠানিক ভাবে দুটি প্রোগ্রাম বলতে হয় এবং হয় বিষয়গতভাবে সমান তারা ব্যবহারের একটি পরিবর্তন ছাড়াই প্রতিটি প্রেক্ষাপটে একে অপরের প্রতিস্থাপন করতে পারেন। : নিম্নরূপ আমরা এই বর্ণনা করতে পারেন এবং বিষয়গতভাবে সব ক্লোজিং প্রেক্ষিতে জন্য প্রদান করা সমান জন্য এবং : যদি এবং কেবল যদি । আমরা বলি একটি প্রসঙ্গে জন্য বন্ধ হচ্ছে যদি বা দুটিতে ভেরিয়েবল থাকে না। অভিব্যক্তি $M$ $N$ $M$ $N$ $C[\cdot]$ $M$ $N$ $C[M] \Downarrow t$ $C[N] \Downarrow t$ $M, N$ $C[M]$ $C[N]$ $M \Downarrow t$ মানে যে প্রোগ্রাম মান ধাপের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যায় হ্রাস । (একদিকে যেমন নোট করুন যে প্রাসঙ্গিক সমতুল্যতার সংজ্ঞা গণনার সমৃদ্ধ ধারণার জন্য যেমন সমবর্তী প্রক্রিয়াগুলির জন্য আরও জড়িত is) $M$ $t$

বিপরীতে, মূল্যায়ন প্রসঙ্গটি এমন প্রসঙ্গ যা মূল্যায়নকে অবরুদ্ধ করে না। আরও স্পষ্টভাবে, একটি মূল্যায়ন প্রসঙ্গটি এমন একটি শব্দ যেখানে এমন একটি গর্ত রয়েছে যেখানে পরমাণু হ্রাসের পরবর্তী পদক্ষেপ নিতে হবে (বা অ-নিরস্তক গণনার জন্য জায়গা নিতে পারে)। সুতরাং নীচের নিয়মটি মূল্যায়নের প্রসঙ্গে থাকতে হবে: মূল্যায়ন প্রসঙ্গে ব্যবহারের উদাহরণ হিসাবে, কল-বাই-মান- -র জন্য হ্রাস বিধি বিবেচনা করুন -ক্যালকুলাস, যেখানে আমরা নীচে হ্রাস করি না । সুতরাং হলেও , আমাদের কোনও হ্রাস নেই

\frac{M \to N}{E [M] \to E [N]}

$\frac{M \rightarrow N}{E[M] \rightarrow E[N]}$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

M \to N

$M \rightarrow N$

λ x . M \to λ x . N

$\lambda x.M \rightarrow \lambda x.N$ । এই সহজে, উপরোক্ত সাধারণ প্রাসঙ্গিক নিয়ম সঙ্গে প্রকাশ করা যেতে পারে একসঙ্গে মূল্যায়ন প্রেক্ষিতে যে বাদ জন্য একটি ব্যাকরণ সঙ্গে -expressions। ফেলিইসেন এবং হিবে সিক্যুয়ালিয়াল কন্ট্রোল অ্যান্ড স্টেটের সিন্ট্যাকটিক থিওরি সম্পর্কিত সংশোধিত প্রতিবেদনে মূল্যায়ন প্রসঙ্গে প্রথম ব্যবহার করা হয়েছিল ।

λ

$\lambda$

— মার্টিন বার্গার
সূত্র

একটি প্রসঙ্গ একটি বাক্য গঠন ধারণা। একটি প্রসঙ্গ এটিতে একটি গর্তযুক্ত একটি পদ। (মাঝে মাঝে মাল্টি-হোল প্রসঙ্গ রয়েছে, সংজ্ঞাটি সেই ক্ষেত্রে স্পষ্টভাবে দেওয়া হবে।) প্রসঙ্গের বাক্য গঠনটি সংশ্লেষের পদবিন্যাস গ্রহণ করে এবং একটি সাবটার্মকে একটি পদটির পরিবর্তে একটি গর্ত করার অনুমতি দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয় । বিএনএফ-তে (আমি লাম্বডা-ক্যালকুলাসটি উদাহরণ হিসাবে ব্যবহার করি, বুলিয়ান ছাড়াই এবং যদি বিবৃতি উদাহরণ দেয় না তবে।): $[]$

C ::= [] ∣ x ∣ t C ∣ C t ∣ λ x . C

$C ::= [] \mid x \mid t \, C \mid C \, t \mid \lambda x.C$

একটি প্রসঙ্গে সংজ্ঞা সংজ্ঞা সঙ্গে আসে একটি প্রসঙ্গে একটি শব্দ রাখার সংজ্ঞা। যদি একটি প্রেক্ষাপটে এবং একটি শব্দ হয়, তাহলে শব্দটি নির্বাণ দ্বারা প্রাপ্ত হয় যেখানে গর্ত সিনট্যাক্স গাছে হয় । এটি মূলত এমন এক প্রতিস্থাপন যেখানে ভেরিয়েবলটি ঠিক একবারে আসার নিশ্চয়তা দেওয়া হয় (তবে মনে রাখবেন যে প্রতিস্থাপন করা "ভেরিয়েবল" মেটা স্তরে একটি পরিবর্তনশীল, , ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাস বা শর্তাদির অন্যান্য ভাষায় পরিবর্তনশীল নয়) )। $C[]$ $t$ $C[t]$ $t$ $[]$ $C[t]$ $[]$ $t$

শব্দার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন সংজ্ঞা তৈরি করতে প্রবন্ধগুলি ব্যবহৃত হয়। একটি সাধারণ উদাহরণ হ'ল মূল্যায়নের বেশিরভাগ ধারণাগুলি সংজ্ঞায়িত প্রসঙ্গগুলি অন্তর্ভুক্ত করে যার মধ্যে মূল্যায়ন করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাস বিবেচনা করুন। মূল্যায়নের মৌলিক ধারণাটি বিটা-হ্রাস বিধি দ্বারা দেওয়া হয়েছে: যেখানে প্রতিস্থাপন প্রয়োগ হয়েছে ।

(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}

$(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}$

M {x \leftarrow N}

$M \{x\leftarrow N\}$

x \mapsto N

$x \mapsto N$

M

$M$

এই বিটা-হ্রাস সম্পূর্ণ সংজ্ঞা নয়: একটি শব্দ দেওয়া , এটি বেটা-কমে যায় যদি subterms হয় এবং এবং একটি পরিবর্তনশীল যেমন যে ; তবে আরও সাধারণভাবে বিটা-হ্রাস করতে পারে যদি কোনও সাবটার্ম যেমন । এটি প্রকাশের আর একটি উপায় হ'ল বিটা-হ্রাস করতে পারে যদি কোনও প্রসঙ্গ এবং কিছু পদ এবং এবং একটি ভেরিয়েবল যেমন $t$ $M$ $N$ $x$ $t = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $t'$ $t' = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $C$ $M$ $N$ $x$ $t = C[(\lambda x. M) \, N]$ । যখন এই ধরনের হ্রাস হয় তখন ডান হাতের বাম দিকে । একটি আনুষ্ঠানিক স্বরলিপি ব্যবহার করতে, বিটা-হ্রাস নিম্নলিখিত ছাড়ের বিধি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: সমস্ত ধরণের প্রসঙ্গ সুস্পষ্ট করে একই সংজ্ঞাটি প্রকাশ করা যেতে পারে: $C[M \{x\leftarrow N\}]$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{C [M] \to_{β} C [N]} (γ)

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{C[M] \to_\beta C[N]} (\gamma)$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{λ x . M \to_{β} λ x . N} (C_{λ}) \frac{M \to_{β} N}{M P \to_{β} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{β} N}{P M \to_{β} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_\beta N}{\lambda x. M \to_\beta \lambda x. N} (C_\lambda) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{M \, P \to_\beta N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{P \, M \to_\beta P \, N} (C_{@\gt})$

এই সংজ্ঞাটি বিটা-হ্রাস লাভ করে, অর্থাত্ মূল্যায়নের ধারণা যা কোনও subterm হ্রাস করতে দেয়। প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজে সম্পাদিত গণনা প্রায়শই ফাংশনের অভ্যন্তরে সাবটার্মগুলি হ্রাস করতে দেয় না: হ্রাস বিধিটি কেবলমাত্র শীর্ষ স্তরে বা কোনও অ্যাপ্লিকেশনের বাম-হাত বা ডানদিকে প্রয়োগ করা যেতে পারে। আমরা এটি একটি নতুন ধরণের প্রসঙ্গে সংজ্ঞায়িত করে প্রকাশ করতে পারি যা সমস্ত সিনট্যাকটিক ফর্মগুলিকে মঞ্জুরি দেয় না: শব্দার্থক ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করতে আমরা এই বাক্য গঠনটি ব্যবহার করতে পারি অ-আংশিক মূল্যায়নের: আমরা সম্পূর্ণ বিটা হ্রাসের জন্য উপরে যেমনটি করেছি, তেমন আমরা এটিও প্রসারিত করে এই সংজ্ঞাটি উপস্থাপন করতে পারি:

D ::= [] ∣ x ∣ t D ∣ D t

$D ::= [] \mid x \mid t \, D \mid D \, t$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} \frac{M \to_{n p} N}{D [M] \to_{n p} D [N]}

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{D[M] \to_{np} D[N]}$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{n p} N}{M P \to_{n p} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{n p} N}{P M \to_{n p} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_{np} N}{M \, P \to_{np} N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{P \, M \to_{np} P \, N} (C_{@\gt})$

D

$D$ কে মূল্যায়নের প্রসঙ্গ বলা হবে কারণ এটি মূল্যায়নের ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। মূল্যায়নের প্রসঙ্গটি বিশেষ ধরণের প্রসঙ্গ নয়; বরং এটিকে মূল্যায়নের প্রেক্ষাপট হিসাবে অভিহিত করা প্রসঙ্গটি কীসের জন্য ব্যবহৃত হয় তা বিষয় ।

আমি প্রসঙ্গে আরও একটি উদাহরণ দেব। এর সংজ্ঞায়িত করা যাক মান নিম্নলিখিত সিনট্যাক্স অনুযায়ী: এখন অন্য ধরণের প্রসঙ্গগুলি সংজ্ঞায়িত করা যাক: উপরের সাথে তুলনা করে , যদি আবেদনের যুক্তিটি হয় তবে গর্তটি কোনও অ্যাপ্লিকেশনটির ফাংশনের দিকে থাকতে পারে একটি মান. হ্রাসের নিম্নলিখিত ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করুন: $V$

V ::= x V_{1} \dots V_{n} ∣ λ x . M

$V ::= x V_1 \ldots V_n \mid \lambda x. M$

E ::= [] ∣ M E ∣ E V

$E ::= [] \mid M \, E \mid E \, V$

D

$D$

\frac{}{(λ x . M) V \to_{c b v a} M {x \leftarrow V}} (β_{c b v a}) \frac{M \to_{β} N}{E [M] \to_{c b v a} E [N]} (γ_{c b v a})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, V \to_{cbva} M \{x\leftarrow V\}} (\beta_{cbva}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{E[M] \to_{cbva} E[N]} (\gamma_{cbva})$ এই নিষেধাজ্ঞার সাথে যে প্রথম নিয়মে ফাংশনের যুক্তিটি অবশ্যই একটি মান হতে পারে এবং ল্যাম্বডা বিমূর্তি কোনও প্রসঙ্গ নয়, আমরা একটি কল-বাই-মূল্য মূল্যায়ন কৌশলটি সংজ্ঞায়িত করছি। আরও সীমাবদ্ধতার সাথে যে ফাংশনের আগে যুক্তিটি মূল্যায়ন করা হয়, এটি হ'ল মান অনুসারে আবেদনকারী আদেশ আদেশ।

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

মূল্যায়নের প্রসঙ্গে আপনার পরবর্তী সংজ্ঞাটি মূল ফেলেলিসেন এবং হিবি ধারণার কাছাকাছি। এগুলি একটি ক্যালকুলাসের শর্তাদি মূল্যায়নের ক্রমটি প্রকাশ করতে সহায়তা করার একটি সিন্ট্যাকটিক উপায়। একটি মূল্যায়ন প্রসঙ্গ হল , প্রসঙ্গের একটি বিশেষ ধরনের যেমন দেয় এক স্বতন্ত্র factorise একটি প্রসঙ্গ মধ্যে একটি শব্দ এবং redex (যখন সম্ভব), যার ফলে ইঙ্গিত, deterministically, যেখানে পরবর্তী হ্রাস পদক্ষেপ ঘটা উচিত হয়।

— ডেভ ক্লার্ক

@ ডেভ ক্লার্ক একদিকে যেমন আপনি গণনার অ-নিরোধক ধারণাগুলির জন্য মূল্যায়ন সংজ্ঞায়িত করতে মূল্যায়ন প্রসঙ্গগুলিও ব্যবহার করতে পারেন, যেখানে মূল্যায়নের প্রসঙ্গ এবং পুনর্নির্মাণে আপনার অনন্য পচন নেই।

— মার্টিন বার্গার

@ মার্টিনবার্গার: সত্যই।

— ডেভ ক্লার্ক 10

@DaveClarke কি আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন "একটি নির্ণায়ক মূল্যায়ন প্রসঙ্গ প্রসঙ্গের একটি বিশেষ ধরনের"? আমি প্রসঙ্গে একটি নির্বিচারে সেট নিতে পারি এবং এর ভিত্তিতে একটি মূল্যায়ন কৌশল নির্ধারণ করতে পারি।

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'

@ গিলস: মূল্যায়ন প্রসঙ্গগুলি একটি নির্বিচারক হ্রাস কৌশল নির্ধারণ করতে পারে। আমি মনে করি না আমি "নির্দ্বিধায়নের মূল্যায়ন প্রসঙ্গে" বাক্যাংশটি দেখেছি। এগুলি অবশ্যই একটি বিশেষ ধরণের প্রসঙ্গ। আমি আপনার মন্তব্যের সাথে একমত; মূল বক্তব্যটি হ'ল আপনার উত্তর মূল্যায়নের প্রসঙ্গে historicalতিহাসিক তাত্পর্যকে মিস করে, যা হ্রাসের প্রতিরোধমূলক ধারণাটিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল।

— ডেভ ক্লার্ক