একেএস প্রিমালিটি টেস্ট আসলে অন্যান্য পরীক্ষার তুলনায় কখন দ্রুত হয়?

Question

আমি একে সম্পর্কে জানতে পেরে একেএস প্রিমিটিটি টেস্টটি কীভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত সে সম্পর্কে একটি ধারণা পাওয়ার চেষ্টা করছি , উদাহরণস্বরূপ, প্রাইমস-পি, বা কম্পিউটারে আদিমতার পরীক্ষার জন্য একটি বাস্তব ব্যবহারিক অ্যালগরিদম প্রমাণ করার জন্য একটি প্রতীক।

পরীক্ষায় বহুপদী রানটাইম থাকে তবে উচ্চ ডিগ্রি এবং সম্ভাব্য উচ্চ ধ্রুবক সহ। সুতরাং, পরীক্ষামূলকভাবে, কোন এ $n$এটি অন্যান্য প্রাথমিকতা পরীক্ষাগুলি ছাড়িয়ে যায়? এখানে, $n$ প্রাইমের সংখ্যাগুলির সংখ্যা, এবং "অতিক্রম" আদর্শ কম্পিউটার আর্কিটেকচারের পরীক্ষাগুলির আনুমানিক রানটাইমকে বোঝায়।

আমি কার্যকরী তুলনামূলক অ্যালগরিদমগুলিতে আগ্রহী, এটি হ'ল সংজ্ঞাবাদী যা সঠিকতার জন্য অনুমানের প্রয়োজন হয় না।

তদ্ব্যতীত, পরীক্ষার মেমোরির প্রয়োজনীয়তাগুলি বিবেচনা করে অন্যের উপরে ব্যবহার করা কি এই জাতীয় পরীক্ষা করা উচিত?

Answer 1

তাত্ক্ষণিক উত্তর: ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে কখনও নয়। এটি বর্তমানে কোনও ব্যবহারিক ব্যবহার নয়।

প্রথমে আসুন "ব্যবহারিক" সম্মিলন পরীক্ষার আদিমতার প্রমাণ থেকে আলাদা করা যাক। প্রাক্তন প্রায় সব উদ্দেশ্যেই যথেষ্ট ভাল, যদিও বিভিন্ন স্তরের পরীক্ষার লোকেরা যথেষ্ট মনে করেন adequate 2 ^ 64 এর নীচে সংখ্যার জন্য, 7 টি মিলার-রবিন পরীক্ষা বা তার বেশি কোনও ডিটারিমেন্টিক জবাবের জন্য একটি বিপিএসডাব্লু পরীক্ষা প্রয়োজন। এটি একেএসের চেয়ে অনেক দ্রুত গতিময় হবে এবং সমস্ত ক্ষেত্রে ঠিক ঠিক হবে। 2 ^ 64 এর বেশি সংখ্যার জন্য, বিপিএসডাব্লু একটি ভাল পছন্দ, কিছু অতিরিক্ত এলোমেলো-বেস মিলার-রবিন পরীক্ষা খুব সামান্য ব্যয়ের জন্য কিছু অতিরিক্ত আত্মবিশ্বাস যোগ করেছে। প্রায় সমস্ত প্রমাণ পদ্ধতিগুলি এই জাতীয় পরীক্ষা দিয়ে শুরু হবে (বা তাদের উচিত) কারণ এটি সস্তা এবং এর অর্থ আমরা কেবলমাত্র সংখ্যায় কঠোর পরিশ্রম করি যা প্রায় অবশ্যই প্রাইম।

প্রমাণের দিকে এগিয়ে চলছে। প্রতিটি ক্ষেত্রে ফলস্বরূপ প্রমাণের কোনও অনুমানের প্রয়োজন নেই, সুতরাং এগুলি কার্যকরীভাবে তুলনা করা যেতে পারে। এপিআর-সিএল-এর "গেটচা" হ'ল এটি একেবারে বহুপদী নয় এবং ইসিপিপি / ফাস্টইপিসিপি'র "গোটচা" হ'ল এমন সংখ্যা থাকতে পারে যা প্রত্যাশার চেয়ে বেশি সময় নেয়।

গ্রাফটিতে, আমরা দুটি মুক্ত উত্স একেএস বাস্তবায়ন দেখতে পাচ্ছি - প্রথমটি ভি paper পেপারের, দ্বিতীয়টি বার্নস্টেইন এবং ভলোকের উন্নতি এবং বোর্নেম্যানের একটি চমৎকার আর / এস ধর্মতাত্ত্বিক। এগুলি বহুগুণীয় গুণাগুলির জন্য জিএমপিতে বাইনারি বিভাজন ব্যবহার করে তাই বেশ দক্ষ এবং মেমরির ব্যবহারটি এখানে বিবেচিত আকারগুলির জন্য একটি অ-ইস্যু। তারা লগ-লগ গ্রাফে 6.4 ডলার ofালু সহ দুর্দান্ত সরল রেখা তৈরি করে, যা দুর্দান্ত। তবে 1000 ডিজিটের অতিরিক্ত বহির্মুখী এপিআর-সিএল এবং ইসিপিপি-র জন্য কয়েক মিনিট কয়েক মিলিয়ন থেকে লক্ষ লক্ষ বছর ধরে আনুমানিক সময়ে আসে। আরও কিছু অপ্টিমাইজেশন রয়েছে যা ২০০২ এর বার্নস্টেইন পেপার থেকে করা যেতে পারে, তবে আমি মনে করি না যে এটি বস্তুগতভাবে পরিস্থিতি পরিবর্তন করবে (যদিও বাস্তবায়িত হওয়া পর্যন্ত এটি প্রমাণিত হয়নি)।

শেষ পর্যন্ত একেএস বিচার বিভাগকে পরাজিত করে। বিএলএস 75 উপপাদ্য 5 (যেমন এন -1 প্রমাণ) পদ্ধতির জন্য এন -1 এর আংশিক ফ্যাক্টরিং প্রয়োজন। এটি ছোট আকারে দুর্দান্ত কাজ করে এবং যখন আমরা ভাগ্যবান এবং এন -1 ফ্যাক্টর করা সহজ তবে অবশেষে আমরা কিছু বড় আধিকারিককে ফ্যাক্টর করে আটকে যাব। আরও কার্যকর বাস্তবায়ন রয়েছে, তবে এটি নির্বিশেষে 100 অঙ্কের অতীতকে স্কেল করে না। আমরা দেখতে পারি যে একেএস এই পদ্ধতিটি পাস করবে। সুতরাং আপনি যদি 1975-এ প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছিলেন (এবং তখন একেএসএস অ্যালগরিদম ফিরে ছিল) আমরা ক্রসওভার গণনা করতে পারি যেখানে এ কেএস সবচেয়ে ব্যবহারিক অ্যালগরিদম ছিল। তবে ১৯৮০ এর দশকের শেষভাগে, এপিআর-সিএল এবং অন্যান্য সাইক্লোটমিক পদ্ধতিগুলি ছিল সঠিক তুলনা এবং 1990 এর দশকের মাঝামাঝি পর্যন্ত আমাদের ইসিপিপি অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

এপিআর-সিএল এবং ইসিপিপি পদ্ধতি উভয়ই ওপেন সোর্স বাস্তবায়ন। প্রিমো (ফ্রি তবে ওপেন সোর্স ইসিপিপি নয়) আরও বড় অঙ্কের মাপের জন্য দ্রুত হবে এবং আমি নিশ্চিত যে একটি ভাল বক্ররেখা আছে (আমি এখনও নতুন বেঞ্চমার্কিং করিনি)। এপ্রিল সাফ প্রতীক অ বহুপদী কিন্তু এক্সপোনেন্ট একটি ফ্যাক্টর হয়ে গেছে $\log \log \log n$ যা কেউ quipped "অনন্ত যায় কিন্তু তা করার পরিলক্ষিত হয়েছে না হয়েছে"। এটি আমাদের বিশ্বাস করতে পরিচালিত করে যে তাত্ত্বিকভাবে রেখাগুলি n এর কোনও মানের জন্য অতিক্রম করবে না যেখানে আমাদের সূর্য পুড়ে যাওয়ার আগে একেএস শেষ হবে। ইসিপিপি হ'ল লাস ভেগাস অ্যালগরিদম, এর মধ্যে যখন আমরা কোনও উত্তর পাই তবে এটি 100% সঠিক, আমরা অনুমান করা $O(\log^{5+\epsilon}(n))$ (ইসিপিপি) বা ফলাফলের প্রত্যাশা করি$O(\log^{4+\epsilon}(n))$ ("ফাস্টইসিপিপি") সময়, তবে এমন সংখ্যা থাকতে পারে যা বেশি সময় নেয়। সুতরাং আমাদের প্রত্যাশাটি হ'ল প্রায় সব সংখ্যার জন্য স্ট্যান্ডার্ড একেএস সর্বদা ইসিপিপির তুলনায় ধীর হবে (এটি অবশ্যই 25 কে অঙ্ক পর্যন্ত সংখ্যার জন্য দেখিয়েছে)।

$O(\log^{4+\epsilon}(n))$$(\lg n)^{4+o(1)}$$(\lg n)^{4+o(1)}$

এর মধ্যে কিছু অ্যালগরিদম সহজেই সমান্তরাল বা বিতরণ করা যেতে পারে। একেএস খুব সহজেই (প্রত্যেকটির 'পরীক্ষা স্বতন্ত্র)। ইসিপিপি খুব শক্ত নয়। আমি এপিআর-সিএল সম্পর্কে নিশ্চিত নই।

ইসিপিপি এবং বিএলএস 75 পদ্ধতিগুলি শংসাপত্র তৈরি করে যা স্বতন্ত্র এবং দ্রুত যাচাই করা যেতে পারে। একেএস এবং এপিআর-সিএলে এটি একটি বিশাল সুবিধা, যেখানে আমরা কেবল এটির উত্পাদনকৃত প্রয়োগ এবং কম্পিউটারকে বিশ্বাস করতে পারি।

Answer 2

$\tilde{O}(\log^6 n)$$\tilde{O}(\log^4 n)$$\tilde{O}(n^{1/7})$$O(\log n^{O(\log\log\log n)})$

$\tilde{O}(\log^2 n)$$2^{-80}$$\tilde{O}(\log^2 n)$

এই সমস্ত পরীক্ষার মধ্যে, স্মৃতি কোনও সমস্যা নয়।

---

তাদের মন্তব্যে, jbapple বাস্তবে কোন প্রাথমিকতা পরীক্ষা করা উচিত তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার বিষয়টি উত্থাপন করে। এটি বাস্তবায়ন এবং বেঞ্চমার্কিংয়ের একটি প্রশ্ন: কয়েকটি অ্যালগোরিদম প্রয়োগ এবং অনুকূলিতকরণ এবং পরীক্ষামূলকভাবে নির্ধারণ করুন কোনটি পরিসরে সবচেয়ে দ্রুত। কৌতুহলকারীদের জন্য, প্যারির কোডাররা ঠিক এটি করেছে এবং তারা একটি নির্বোধ কাজ isprimeএবং একটি সম্ভাব্য ফাংশন নিয়ে এসেছিল ispseudoprime, যার উভয়ই এখানে পাওয়া যায় । ব্যবহৃত সম্ভাব্যতা পরীক্ষা মিলার – রবিন। নিরস্তক একটি বিপিএসডাব্লু।

---

ডানা জ্যাকবসেনের আরও তথ্য এখানে :

পরী সংস্করণ ২.৩ এর জন্য একটি এপিআর-সিএল প্রিমালিটি প্রুফ ব্যবহার করে isprime(x), এবং বিপিএসডাব্লু সম্ভাব্য প্রাইম টেস্ট ("প্রায় অতিরিক্ত শক্তিশালী" লুকাস টেস্ট সহ) এর জন্য ispseudoprime(x)।

তারা আচরণকে পরিবর্তন করে এমন যুক্তি দেয়:

• isprime(x,0) (ডিফল্ট।) সমন্বয় ব্যবহার করে (বিপিএসডাব্লিউ, দ্রুত পকলিংটন বা বিএলএস 75 উপপাদ্য 5, এপিআর-সিএল)।
• isprime(x,1)$n-1$

• isprime(x,2) এপিআর-সিএল ব্যবহার করে।

• ispseudoprime(x,0) (ডিফল্ট।) বিপিএসডাব্লু (বেস 2 সহ এমআর, "প্রায় অতিরিক্ত শক্তিশালী" লুকাস) ব্যবহার করে।

• ispseudoprime(x,k)$k\geq 1$$k$mpz_is_probab_prime_p(x,k)

পরী 2.1.7 আরও খারাপ সেটআপ ব্যবহার করেছে। isprime(x)কেবলমাত্র এমআর পরীক্ষা ছিল (ডিফল্ট 10), যা isprime(9)প্রায়শই সত্যে ফিরে আসার মতো মজাদার জিনিসগুলির দিকে পরিচালিত করে । ব্যবহার isprime(x,1)একটি পকলিংটন প্রমাণ করবে, যা প্রায় 80 ডিজিটের জন্য জরিমানা ছিল এবং পরে সাধারণভাবে কার্যকর হতে খুব ধীর হয়ে যায়।

আপনি বাস্তবেও লিখেন , কেউ এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করেন না, কারণ এগুলি খুব ধীর। আমি বিশ্বাস করি আপনি কী বলতে চাইছেন তা আমি জানি তবে আমি মনে করি এটি আপনার শ্রোতার উপর নির্ভর করে শক্তিশালী। একেএস অবশ্যই নিঃশব্দে ধীর গতিযুক্ত, তবে এপিআর-সিএল এবং ইসিপিপি এত দ্রুত যে কিছু লোক সেগুলি ব্যবহার করে। এগুলি প্যারানয়েড ক্রিপ্টোর জন্য দরকারী, এবং এমন লোকের পক্ষে দরকারী যেখানে primegapsবা factordbযেখানে প্রমাণিত প্রাইমগুলি পাওয়ার জন্য পর্যাপ্ত সময় রয়েছে।

[এ সম্পর্কে আমার মন্তব্য: একটি নির্দিষ্ট পরিসরে কোনও মৌলিক সংখ্যার সন্ধান করার সময়, আমরা কিছু তুলনামূলক পদ্ধতির ব্যবহার করি যার পরে কিছুটা অপেক্ষাকৃত দ্রুত সম্ভাব্যতা পরীক্ষা করা হয়। কেবল তখনই, যদি আমরা নির্বিচারে পরীক্ষা চালাই]]

এই সমস্ত পরীক্ষার মধ্যে, স্মৃতি কোনও সমস্যা নয়। এটি একেএসের জন্য একটি বিষয়। উদাহরণস্বরূপ, এই প্রিন্ট দেখুন । এর কিছু বাস্তবায়নের উপর নির্ভর করে। যদি কোনও নম্বরফিলির ভিডিওকে একেএস কল করে তা বাস্তবায়ন করে (যা আসলে ফার্মের লিটল উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ), মেমোরির ব্যবহার অত্যন্ত বেশি হবে। রেফারেন্সড পেপারের মতো ভি 1 বা ভি 6 অ্যালগরিদমের কোনও এনটিএল বাস্তবায়ন ব্যবহারের ফলে মূ .় পরিমাণে মেমরির পরিমাণ বাড়বে। একটি ভাল ভি 6 জিএমপি বাস্তবায়ন এখনও 1024-বিট প্রাইমের জন্য 2 গিগাবাইট ব্যবহার করবে, যা অনেকটাযেমন একটি ছোট সংখ্যার জন্য মেমরি। বার্নস্টেইন উন্নতি এবং GMP বাইনারি বিভাজন ব্যবহার করে আরও অনেক ভাল বৃদ্ধি হয় (উদাহরণস্বরূপ 1024-বিটের জন্য 120MB)। এটি অন্যান্য পদ্ধতির প্রয়োজনের তুলনায় এখনও অনেক বড় এবং আশ্চর্যের কিছু নেই, এটি এপিআর-সিএল বা ইসিপিপির চেয়ে কয়েক মিলিয়ন গতি কম হবে।

Comments

আমি এই প্রশ্নের উত্থাপিত হিসাবে উত্তরটি বিশ্বাস করি না, যার জন্য এই পরীক্ষাগুলির ধ্রুবকের গণনা প্রয়োজন।

— jbapple

যখনই আপনি কোনও গুরুতরভাবে opালু, কোনও প্রচেষ্টা-ব্যয় করা পোস্ট, বা স্পষ্ট এবং সম্ভবত বিপজ্জনকরূপে ভুল একটি উত্তর সম্মুখীন হন তখন আপনার ডাউনভোটগুলি ব্যবহার করুন Use - আমি দেখতে পাচ্ছি না যে এই উত্তরটিকে নীচে নামিয়ে দেওয়া ব্যক্তি কীভাবে ভোটকে ন্যায়সঙ্গত করে।

— পল জিডি

$n$

$n$$\log n$

ভাল পোস্ট, তবে আপনার "কেউ কেউ" এর সংজ্ঞাটি এতটা সামান্য বন্ধ রয়েছে। কৌতূহলের বাইরে, আমি পরীক্ষা করেছিলাম যে ওপেনএসএসএল ( openssl pkeyparam -textহেক্স স্ট্রিংটি বের করার কাজে ব্যবহার করে) পেরির isprime(এপিআর-সিএল হিসাবে বলা আছে) ব্যবহার করে 2048 বিট ডিএসএ সম্ভাব্য প্রাইম যাচাই করতে কতক্ষণ সময় লাগে : দ্রুত নোটবুকটিতে প্রায় 80s। রেফারেন্সের জন্য, ফ্রোবিনিয়াস পরীক্ষার (যা এমআর এর চেয়ে অনেক বেশি শক্তিশালী) আমার জাভাস্ক্রিপ্ট ডেমো প্রয়োগের প্রতিটি পুনরাবৃত্তির জন্য ক্রোমিয়ামের 0.25 এর কিছুটা বেশি প্রয়োজন , সুতরাং এপিআর-সিএল অবশ্যই অসম্পূর্ণ তবে কার্যকর।

— আরনে ভোগেল

Answer 3

$O(f(n))$$O(f(n))$$O(g(n))$$n$$n$$n$

আর্ক্সিভের সাম্প্রতিক এই গবেষণাপত্রটি দেখেছেন যা এই বিষয়টিকে গভীরভাবে / বিশদে বিশ্লেষণ করে, মানুষ এটি সম্পর্কে কী ধারণা দেয় তা নিশ্চিত নয়, এখনও পর্যন্ত প্রতিক্রিয়া শোনেনি, সম্ভবত এটি একটি ছাত্র-নির্মিত থিসিস বলে মনে হয়, তবে সম্ভবত এর মধ্যে একটি সবচেয়ে বিশদ / বিস্তৃত বিশ্লেষণ অ্যালগরিদমের ব্যবহারিক ব্যবহার উপলব্ধ।

• নির্ধারিত আদিমতার পরীক্ষা - একেএসের অ্যালগরিদম বিজয় মেনন বোঝা

• Tcs.se প্রয়োগ করতে শক্তিশালী অ্যালগরিদম খুব জটিল

Comments

একেএস কীসের চেয়ে বেশি দক্ষ? প্রতিযোগিতা কি?

— যুবাল ফিল্মাস

অন্যান্য সমস্ত অ্যালগোরিদম। প্রধানত প্রোব্যাবিলিস্টক? কাগজে বিশদ

— vzn