সিউডোয়েন্টার ম্যাট্রিক্স সন্ধানের জটিলতা

Question

স্বেচ্ছাসেবী ক্ষেত্রের মুর – পেনরোজ সিউডোইনভার্স ম্যাট্রিক্সের জন্য কতগুলি গণিতের অপারেশন প্রয়োজন ?

যদি ম্যাট্রিক্সটি পরিবর্তনযোগ্য এবং জটিল মূল্যবান হয়, তবে এটি কেবল বিপরীত। বিপরীত খোঁজা লাগে সময়, যেখানে ω ম্যাট্রিক্স গুণ ধ্রুবক। এটি অ্যালগরিদম 3 য় সংস্করণের পরিচিতিতে থিওরেম 28.2।$O(n^\omega)$$\omega$

ম্যাট্রিক্স যদি সুসংগত স্বাধীন সারি বা কলাম এবং জটিল মূল্যবান, তারপর pseudoinverse ম্যাট্রিক্স সঙ্গে নির্ণিত করা যাবে একটি * ( একটি একটি * ) - 1 বা ( একজন একজন * ) - 1 একটি * যথাক্রমে যেখানে একজন * অনুবন্ধী TRANSPOSE হয় এর একটি । বিশেষত, এটি A এর সিউডনোভার্স সন্ধানের জন্য একটি O ( n ω ) সময়কে বোঝায় ।$A$$A^*(A A^*)^{-1}$$(A A^*)^{-1}A^*$$A^*$$A$$O(n^\omega)$$A$

সাধারণ ম্যাট্রিক্সের জন্য, আমি দেখেছি যে অ্যালগরিদমগুলি কিউআর পচন বা এসভিডি ব্যবহার করে, যা দেখে মনে হয় যে পাটিগণিত অপারেশনগুলি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে গ্রহণ করে। অ্যালগরিদম কি কম অপারেশন ব্যবহার করে?$O(n^3)$

Comments

আমি একটি ফলো আপ আছে, এটা খুবই মৌলিক হতে পারে কিন্তু আপনি কি অনুগ্রহ করে নিশ্চিত করুন করতে পারেন এন এখানে জটিলতা সমীকরণের। এটি কি ম্যাট্রিক্সের মাত্রা এবং ম্যাট্রিক্স একটি বর্গ না হলে কী?

— মাইক পম্প

দাবীতে যে বিপরীতটি সময়ে পাওয়া যাবে, n প্রকৃতপক্ষে বর্গ ম্যাট্রিক্সের মাত্রা; যদি ম্যাট্রিক্স বর্গক্ষেত্র না হয়, আপনি সম্ভবত বৃহত্তর মাত্রা হতে n নিতে পারেন । $O(n^\omega)$$n$$n$

— ডেভিড রিচার্বি

যেহেতু এটি একটি সহজ প্রশ্ন, আমি এখানে এটি উত্তর দিয়েছি। তবে আপনার যদি আরও কোনও প্রশ্ন থাকে তবে দয়া করে পৃষ্ঠার শীর্ষে "প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন" বোতামটি ব্যবহার করে তাদের নিজের হিসাবে একটি পৃষ্ঠা হিসাবে জিজ্ঞাসা করুন। প্রসঙ্গটি দিতে আপনি এই পৃষ্ঠায় ফিরে লিঙ্ক করতে পারেন। এই সাইটটি কেবলমাত্র প্রতি পৃষ্ঠায় একটি প্রশ্নের জন্য সেট আপ করা হয়েছে: কোনও থ্রেডিং নেই এবং পোস্টগুলি তাদের প্রাপ্ত ভোট অনুসারে ঘোরাফেরা করে, তাই কোনও পৃষ্ঠায় একাধিক প্রশ্নের সাথে বিষয়গুলি ভয়ঙ্করভাবে অগোছালো হয়ে যায়। আমাদের সংক্ষিপ্ত সফরে এবং আমাদের সহায়তা কেন্দ্রে আরও তথ্য রয়েছে ।

— ডেভিড রিচার্বি

Answer 1

সবার আগে, লোকেরা ভুলে যাওয়ার ঝোঁক একটি অনন্য inf যখনই আমরা লিখতে হে ( ঢ ω ) , আসলে আমরা সবার জন্য বলতে চাচ্ছি γ > ω , একটি অ্যালগরিদম সময় চলমান হে γ ( এন γ ) ।$\omega$$O(n^\omega)$$\gamma > \omega$$O_\gamma(n^\gamma)$

কেলার-Gehrig (অন্যথায় মধ্যে) কিভাবে একটি ম্যাট্রিক্স উপস্থাপন দেখিয়েছেন মধ্যে র্যাঙ্ক স্বাভাবিক ফর্ম সময় হে ( ঢ ω ) । যদি একটি র্যাঙ্ক হয়েছে দ , তারপর র্যাঙ্ক স্বাভাবিক ফর্ম একটি হল এস ( আমি r 0 0 0 ) টি কিছু বিপরীত জন্য এস , টি উপযুক্ত মাত্রার; এছাড়াও বীজগণিত জটিল জটিলতা তত্ত্ব, পৃষ্ঠা 435 পৃষ্ঠার 16.13 প্রস্তাব।$A$$O(n^\omega)$$A$$r$$A$

$$S \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} T$$ $S,T$

মান স্বাভাবিক ফর্ম র্যাঙ্ক পচানি উইকিপিডিয়া নিবন্ধে উল্লেখ অনুরূপ যেখানে এক্স হয়েছে দ কলাম এবং ওয়াই হয়েছে দ সারি। প্রকৃতপক্ষে, আমরা গ্রহণ করতে পারেন এক্স প্রথম হতে দ এর কলাম এস , আর ওয়াই প্রথম হতে দ সারি টি । এই পচনের কারণে উইকিপিডিয়া সিডোইনভার্সের জন্য কেবলমাত্র হার্মিটিয়ান অ্যাডজেন্ট, ম্যাট্রিক্স গুণ এবং ম্যাট্রিক্স বিপরীত ব্যবহার করে একটি সূত্র দেয়। সুতরাং সিউডোইনভারগুলি O ( n ω ) সময়ে গণনা করা যায় ।$A = XY$$X$$r$$Y$$r$$X$$r$$S$$Y$$r$$T$$O(n^\omega)$

Comments

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! আমি কাগজটি পেয়েছি এবং দেখে মনে হয়েছে যে আমার পটভূমির অভাব রয়েছে। এই জাতীয় ফলাফল সম্পর্কে কিছু ভাল ভূমিকা / জরিপ আছে? আমি জানি বীজগণিত জটিল জটিলতা থিয়োর বইটি একটি ভাল তবে বর্তমানে এটি লাইব্রেরির বাইরে চেক আউট হয়েছে ...

— চাও Xu

প্রাসঙ্গিক বক্তৃতা নোট থাকতে পারে, যদিও বইটি একবার দেখে নেওয়া ভাল। সিএলআরএস (অ্যালগরিদমের পরিচিতি) তে কিছু প্রাসঙ্গিক উপাদানও রয়েছে যেমন ম্যাট্রিক্স গুণ এবং ম্যাট্রিক্স বিপরীত মধ্যে সমতা।

— যুবাল ফিল্মাস

$O(n^ω)$$w$

$\omega$$\omega < 2.3728639$$\omega = 2$