প্রমাণ করুন যে প্রতি দুটি দীর্ঘতম পথে কমপক্ষে একটি ভার্টেক্স সমান রয়েছে

Question

গ্রাফ তাহলে $G$ সংযুক্ত এবং তুলনায় দৈর্ঘ্য বৃহত্তর সঙ্গে কোন পথ রয়েছে $k$ , প্রমাণ যে প্রতি দুই পাথ $G$ দৈর্ঘ্যের $k$ কমন অন্তত এক চূড়া আছে।

আমি মনে করি যে সাধারণ ভার্টেক্সটি দুটি পথের মাঝখানে হওয়া উচিত। কারণ এটি যদি না হয় তবে আমরা দৈর্ঘ্যের পথ $>k$ । আমি কি সঠিক?

Comments

নির্দেশিত গ্রাফের জন্য কাউন্টারিকেক্সামাল যা দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত নেই: , প্রান্তগুলি A → C , A → D , B → D , A → C এবং B → D এর কোনও সাধারণ প্রান্তবিন্দু নেই। $A,B,C,D$$A \to C$$A \to D$$B \to D$$A \to C$$B \to D$

— sdcvvc

@ sdcvvc, আপনি উত্তর হিসাবে এটি সরবরাহ করতে পারে।

@sdcvvc আমি অনুমান করি প্রশ্নটি অনির্দেশিত গ্রাফগুলিতে সীমাবদ্ধ।

— রাফেল

আপনি কি (বা অসুস্থ) তা নিশ্চিত করতে পারবেন যে একটি পুনঃনির্দেশিত গ্রাফ এবং আপনি কেবলমাত্র সরল (= চক্রমুক্ত) পাথ বিবেচনা করছেন? $G$

— গিলস 'অসন্তুষ্ট হওয়া বন্ধ করুন'

@ গিলস হ্যাঁ গ্রাফটি পুনর্নির্দেশিত হয়েছে এবং পথটি হাঁটাচ্ছে যাতে স্বতন্ত্র প্রান্ত এবং শীর্ষগুলি রয়েছে।

— সৌরভ

Answer 1

অসঙ্গতি জন্য অনুমান যে $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ এবং $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ দুই পাথ $G$ দৈর্ঘ্যের $k$ কোন ভাগ ছেদচিহ্ন সঙ্গে।

হিসাবে $G$ সংযুক্ত করা হয়, একটি পথ $P'$ সংযোগ $v_{i}$ করতে $u_{j}$ কিছু $i,j \in [1,k]$ যে এই ধরনের $P'$ শেয়ারের সঙ্গে কোন ছেদচিহ্ন $P_{1} \cup P_{2}$ ছাড়া অন্য $v_{i}$ এবং $u_{j}$ । বলুন $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (note that there may be no $x_{i}$ vertices, i.e., $b$ may be $0$ - the notation is a bit deficient though).

Without loss of generality we may assume that $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (we can always reverse the numbering). Then we can construct a new path $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (by going along $P_{1}$ to $v_{i}$, then across the bridge formed by $P'$ to $u_{j}$, then along $P_{2}$ to $u_{0}$).

একথাও ঠিক যে $P^{*}$ কমপক্ষে দৈর্ঘ্য $k+1$ , কিন্তু এই বিপরীত ধৃষ্টতা যে $G$ চেয়ে দৈর্ঘ্য বৃহত্তর কোন পাথ হয়েছে $k$ ।

সুতরাং দৈর্ঘ্যের $k$ এর যে কোনও দুটি পাথ কমপক্ষে একটি শীর্ষকে ছেদ করতে হবে এবং আপনার পর্যবেক্ষণটি অবশ্যই এটি মাঝখানে থাকতে হবে (যদি কেবল একটি থাকে) আপনার যুক্তি অনুসরন করে।

Comments

I think you need $j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$, otherwise the new path is not necessarily longer. Note that $b=0$ is possible.

— Raphael

$b$$0$$P'$$v_{i}$$u_{j}$$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ is right. If it went to $u_{k}$ then $j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ would be the right condition.

— Luke Mathieson

Answer 2

You are right that the common vertex must occur in the middle of both paths.

However that intuition will not solve the actual problem you're trying to solve.

পরিবর্তে এটি দেখানোর চেষ্টা করুন যে, পথের কোনও বিন্দু দেখলে, মূল পথের এক প্রান্তে যে বিন্দুটি (এবং অন্তর্ভুক্ত) থেকে রয়েছে সে অংশটি পুরো পথের চেয়ে অর্ধেক নোডের চেয়ে কঠোরভাবে হওয়া উচিত।

একবার আপনি এটি দেখানোর পরে, আপনি উভয়ই আপনাকে জিজ্ঞাসা করা সমস্যার সমাধান করতে এবং আপনার অনুমানটি যাচাই করতে সক্ষম হবেন।