ভেক্টরের যোগফলের সর্বাধিক উপাদানটি হ্রাস করুন

প্রদত্ত অ নেতিবাচক পুরো নম্বর জন্য: আমি এই অপ্টিমাইজেশান সমস্যা সম্পর্কে কিছু জানতে চাই , একটি ফাংশন এটি অভিব্যক্তি কমানোর $a_{i,j,k}$ $f$

max_{k} \sum_{i} a_{i, f (i), k}

$\max_k \sum_i a_{i,f(i),k}$

কোনও আলাদা সূত্র ব্যবহারের উদাহরণ এটি পরিষ্কার করে দিতে পারে: আপনাকে পছন্দসই ভেক্টরগুলির সেট সেট দেওয়া হয়েছে

{
    {(3, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 2, 0, 0)},
    {(0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)},
    {(0, 0, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1, 0)}
}

প্রতিটি সেট থেকে একটি ভেক্টর চয়ন করুন, যাতে তাদের যোগফলের সর্বাধিক উপাদান ন্যূনতম হয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি চয়ন করতে পারেন

(1, 0, 2, 0, 0) + (0, 1, 0, 0, 0) + (0, 1, 0, 1, 0) = (1, 1, 2, 1, 0)

2 এর সমান সর্বাধিক উপাদান সহ, যা এখানে স্পষ্টতই অনুকূল।

আমি আগ্রহী যদি এটি একটি সুপরিচিত সমস্যা হয় এবং সমস্যা-নির্দিষ্ট আনুমানিক সমাধানের পদ্ধতিগুলি উপলব্ধ। এটি প্রোগ্রামের পক্ষে দ্রুত এবং সহজ হওয়া উচিত (কোনও আইএলপি সলভার ইত্যাদি নেই)। কোনও সঠিক সমাধানের প্রয়োজন নেই কারণ এটি কেবল আসল সমস্যার একটি অনুমান।

আমি দেখতে পাচ্ছি যে সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে আমি আগ্রহী সেগুলি সম্পর্কে আমার কিছু বিবরণ যুক্ত করা উচিত ছিল:

$i \in \{0, 1, \ldots, 63\}$ , অর্থাৎ সর্বদা 64৪ টি সারি থাকে (যখন উপরের উদাহরণ হিসাবে লেখা থাকে)।
$j \in \{0, 1\}$ , অর্থাৎ সারি প্রতি কেবল 2 জন ভেক্টর রয়েছে।
$k \in \{0, 1, \ldots, N-1\}$ যেখানে (ভেক্টরের দৈর্ঘ্য) 10 এবং 1000 এর মধ্যে। $N$

তদুপরি, প্রতিটি সারিতে সমস্ত ভেক্টরের উপাদানগুলির যোগফল একই, অর্থাত্,

\forall i, j, j^{'} : \sum_{k} a_{i, j, k} = \sum_{k} a_{i, j^{'}, k}

$\forall i, j, j':\quad \sum_k a_{i,j,k} = \sum_k a_{i,j',k}$

এবং যোগফলের উপাদানগুলির যোগফল এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হয়, অর্থাৎ,

\sum_{k} \sum_{i} a_{i, f (i), k} < N

$\sum_k \sum_i a_{i,f(i),k} < N$

algorithms optimization linear-programming

— maaartinus
সূত্র

আপনার সমস্যার সাথে 3-পার্টিশনের সমস্যা হ্রাস করা শক্ত নয় । এর অর্থ হ'ল আপনার সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ, এমনকি যদি সংখ্যাগুলিকে একত্রে দেওয়া হয়, এবং এটি একটি আনুমানিক অ্যালগরিদমের জন্য সাধারণ পদ্ধতির একটিকে বাতিল করে দেয় rules

— সোসোশি ইতো

সংশোধনের জন্য ধন্যবাদ এবং অন্তর্দৃষ্টিটির জন্য @ শুয়ুশি ইটোকে ধন্যবাদ। যদি আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে প্রতি লাইনে দুটি ভেক্টরের (যেটি আমি বলতে ভুলে গিয়েছি) নিষেধাজ্ঞা হ্রাসকে অকার্যকর করে দেয় এবং সমস্যাটি আরও সহজ করে তুলতে পারে।

— মার্টিনাস

আপনি ঠিক বলেছেন, 3-পার্টিশনের যে সমস্যাটি আমি ভাবছিলাম তার থেকে হ্রাস কাজ করে না যদি প্রতি সারিতে কেবল দুটি ভেক্টর থাকে।

— Tsuyoshi Ito

সুতরাং তুলনা করার জন্য সংমিশ্রণগুলি রয়েছে?

j^{i}

$j^i$

— জেসন ক্লেবান

@ uosɐs: সুনির্দিষ্ট হওয়ার উদ্দেশ্যে আছে সম্ভাব্য সমাহার যেখানে জন্য সম্ভাবনার সংখ্যা এবং জন্য সম্ভাবনার সংখ্যা ।

J^{I} = 2^{64}

$J^I=2^{64}$

J = 2

$J=2$

j

$j$

I = 64

$I=64$

i

$i$

— মার্টিনাস

উত্তর:

3 এসএটি থেকে দ্বি-ভেক্টর সংস্করণে হ্রাস: একটি সূত্র দেওয়া হয়েছে, সূচী ভেরিয়েবলগুলি, , এবং সূচী ধারাতে দেওয়া যাক। যাক বার ভেরিয়েবলের সংখ্যা হতে ইতিবাচকভাবে মনে হচ্ছে, (যদি ) অথবা নেতিবাচকভাবে (যদি ) ধারা । সূত্রটি সন্তুষ্টিজনক হলে ওপিটি চেয়ে কম (মঞ্চটি প্রকট) $i$ $j \in \{0,1\}$ $k$ $a_{i,j,k}$ $i$ $j = 0$ $j = 1$ $k$ $3$

আমি কীভাবে এই সমস্যায় আক্রমণ করব: বড় বড় পাড়া অনুসন্ধান। যে কোনও সমাধান দিয়ে শুরু করুন। চয়ন করুন এলোমেলোভাবে সারি। ব্যবহারের পাশব বল সবচেয়ে ভালো সমাধান যেখানে এটি কেবলমাত্র সেই সারি-খুব এমনকি মধ্যপন্থী জন্য করা সম্ভব উপর পরিবর্তন করতে পারেন দেওয়া যে সমস্যা মাপ সারি। পদ্ধতি পুনরাবৃত্তি করুন। $r$ $f$ $k$ $64$

— হাই মোডস
সূত্র

এটি একটি সুন্দর হ্রাস। কেন এটির কোনও আপ-ভোট নেই তা আমি নিশ্চিত নই। যাইহোক, এখানে আমার +1।

— Tsuyoshi Ito

আমি মনে করি আপনার হ্রাস সম্পর্কে আরও একটি বাচ্চাকে আরও বর্ণনা করা উচিত। বিশেষ করে, আপনি , যেমন bijection তোলে একটু কঠিন দেখতে হয়তো খুব ভাল ভাল লুকানো।

f

$f$

— রাফেল

সমস্যার আকার যখন ধ্রুবক হিসাবে স্থির করা হয় তখন আমরা সমস্যার জটিলতা নিয়ে আলোচনা করতে পারি না, কারণ (বেশিরভাগ অংশ) সমস্যার তত্ত্ব সমস্যাটির অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের সাথে সমস্যাটির আকারের অনন্যতার দিকে ঝোঁক দেয়। এখানে, আমি সারিগুলির সংখ্যা এবং ভেক্টরগুলির মাত্রা উভয়কে ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচনা করি।

তারপরে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ হয় এমনকি যদি ইনপুটটিতে নম্বরগুলি আনারিতে দেওয়া হয়। এটি আপনার প্রশ্নের উত্তর নয় কারণ আপনি আনুমানিক সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন, তবে এটি কিছু is

কঠোরভাবে সমস্যাটি সংজ্ঞা দিন:

ইন্সটান্স : এন ভেক্টর জোড়া একটি _আমি , খ _আমি ∈ ℕ ^মি ( আমি ∈ {1, ..., এন }), এবং কে ∈ ℕ, ইউনারী সমস্তকিছু।
প্রশ্ন : আমরা প্রতিটি আইয়ের জন্য একটি _আই বা বি _আই বেছে নিতে পারি যাতে এই এন ভেক্টরগুলির যোগফল প্রতিটি স্থানাঙ্কে সর্বাধিক কে থাকে?

নিম্নলিখিতটি 3-পার্টিশন নামে পরিচিত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা :

3-পার্টিশন
ইন্সটান্স : বি ∈ ℕ এবং 3 ট পূর্ণসংখ্যার গ ₁ , ..., গ _{3 ট} মধ্যে বি / 4 এবং বি / 2, একচেটিয়া, যে এই ধরনের Σ _{আমি = 1}^{3 ট} গ _আমি = kB র ইউনারী, সব।
প্রশ্ন : মাল্টিসেট { সি ₁ ,…, সি _{3 কে} } _কে কে মাল্টিট এস ₁ ,…, এস _কে হিসাবে বিভক্ত করা যেতে পারে যে প্রতিটি এস _জ এর সমষ্টি সমান হয়?খ ?

3-পার্টিশন সমস্যার একটি দৃষ্টান্ত ( বি ; সি ₁ ,…, সি _{3 কে} ) দেওয়া, উপরোক্ত সমস্যার উদাহরণ নিম্নরূপ বানান। প্রত্যেকের জন্য আমি = 1, ..., 3 ট এবং ঞ = 1, ..., ট , আমরা 4 একজোড়া গঠন করা হবে ট -dimensional ভেক্টর, কিনা পছন্দ প্রতিনিধিত্বমূলক গ _আমি জন্যে এস _ঞ বা না:

ভেক্টর পছন্দ প্রতিনিধিত্বমূলক " গ _আমি ∈ এস _ঞ " শুধুমাত্র এক অশূন্য এন্ট্রি, যা আছে ( ট -1) গ _আমি এ ঞ তম তুল্য।
“ সি _আই ∉ এস _জে ” পছন্দটি উপস্থাপনকারী ভেক্টরটির কেবল একটি ননজারো প্রবেশ রয়েছে, যা বি ( কে + আই ) - তম স্থানাঙ্কে রয়েছে is

(এটা উদাহরণস্বরূপ দেখতে কঠিন না হয় বি ; গ ₁ , ..., গ _{3 ট} 3-পার্টিশন সমস্যা) একটি সমাধান আছে যদি এবং কেবল যদি সেখানে 3 প্রতিটি থেকে একটি ভেক্টর নির্বাচন করতে একটি উপায় ট ² নির্মাণ জোড়গুলি যাতে এই ভেক্টরগুলির যোগফলের সমস্ত স্থানাঙ্কগুলি সর্বাধিক ( কে −1) বি হয় । (আসলে, যখন এটি হয়, যোগফলের সমস্ত স্থানাঙ্ক সমান হয় ( কে are1) বি ।) সুতরাং এটি 3-পার্টিশন সমস্যা থেকে উপরের সমস্যার থেকে হ্রাস।

এখনও অবধি, আমি প্রশ্নের শেষে বর্ণিত দুটি অতিরিক্ত বাধা উপেক্ষা করেছিলাম, তবে উভয়ই এই হ্রাসকে কিছুটা সংশোধন করে কার্যকর করা সহজ enforce প্রতিটি ভেক্টরের উপাদানগুলির যোগফল সমান শর্তটি ডামি স্থানাঙ্কগুলি যুক্ত করে প্রয়োগ করা যেতে পারে যার মধ্যে কেবল ০ বা ১ থাকে। শর্তটি যে এই যোগফলের চেয়ে কম মাত্রায় ডামি স্থানাঙ্কগুলি যুক্ত করে প্রয়োগ করা যেতে পারে যা কেবলমাত্র 0 রয়েছে।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

সুন্দর উত্তর, মাত্র কয়েকটি নোট: 1. আমি এখানে তাত্ত্বিক জটিলতার বিষয়ে চিন্তা করি না । ২.সারি সংখ্যা নির্দিষ্ট করা আছে এবং এটি থাকতে পারে, কারণ বিভিন্ন যথেষ্ট। বলেছিল, অনেক অনেক ধন্যবাদ।

N

$N$

— মার্টিনাস