সমতা সম্পর্ক কভার সমস্যা (গ্রাফ তত্ত্বে)

একটি সীমাবদ্ধ ভারটেক্স সেট উপর একটি সমতা সম্পর্ক একটি অনুন্নত গ্রাফ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে যে চক্রের একটি বিশৃঙ্খলা ইউনিয়ন। ভার্টেক্স সেটটি উপাদানগুলিকে উপস্থাপন করে এবং একটি প্রান্তটি উপস্থাপন করে যে দুটি উপাদান সমান।

যদি আমি একটি গ্রাফ আছে এবং গ্রাফের , আমরা বলতে যে আওতায় পড়ে যদি কোণগুলি সেট কোণগুলি সেট ইউনিয়ন সমান । এর প্রান্ত সেটগুলি বিযুক্ত হওয়ার দরকার নেই। নোট করুন যে কোনও নির্দেশিত গ্রাফ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ সমতাগত সম্পর্কের একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যার দ্বারা আচ্ছাদিত করা যেতে পারে (যেমন, ক্লাখের গ্রাফের ইউনিয়নকে পৃথক করা)।

আমার বেশ কয়েকটি প্রশ্ন রয়েছে:

গ্রাফ coverাকাতে ন্যূনতম সংখ্যক সমতা সম্পর্কের বিষয়ে কী বলা যেতে পারে ? $G$
আমরা এই ন্যূনতম সংখ্যাটি কীভাবে গণনা করতে পারি?
আমরা কীভাবে সুস্পষ্ট ন্যূনতম কভার গণনা করতে পারি , অর্থাত, সমান সম্পর্কের একটি সেট যার আকার ন্যূনতম এবং কোনটি cover ? $G$ $G$
এই সমস্যাটির কি পার্টিশন যুক্তি ( উপসর্গের যুক্তির দ্বৈত ) বাদে কোনও অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে ?
এই সমস্যার একটি সুপ্রতিষ্ঠিত নাম আছে?

মন্তব্যগুলি দ্বারা নির্দেশিত বিভিন্ন ভুল বোঝাবুঝি দেওয়া, এই ধারণাগুলি চিত্রিত করার জন্য এখানে কয়েকটি ছবি দেওয়া হয়েছে। আপনার যদি পরিভাষাটি বোঝার পক্ষে আরও সহজ ধারণা পাওয়া যায় ("কভার", "সমতা সম্পর্কের পরিবর্তে," চক্রের মিশ্রণকে পৃথক করা "এবং" প্রয়োজনীয় সেটগুলিকে সংঘবদ্ধ করা উচিত নয় ") তবে আমাকে অবহিত করুন।

এখানে একটি গ্রাফের চিত্র এবং এটিতে oneাকা একটি সমতা সম্পর্কের চিত্র: গ্রাফ এবং এটি সমতাযুক্ত একটি সমতুল্য সম্পর্ক

এখানে একটি গ্রাফের চিত্র এবং দুটি সমতা সম্পর্কের চিত্র এটি দেওয়া হয়েছে: গ্রাফ এবং দুটি সমতা সম্পর্ক এটি আবরণ
এটি কম স্পষ্ট হওয়া উচিত যে কমপক্ষে দুটি সমতুল্য সম্পর্ক প্রয়োজন required

এখানে একটি গ্রাফের চিত্র এবং এটিতে তিনটি সমতা সম্পর্কের চিত্র রয়েছে: গ্রাফ এবং তিনটি সমতা সম্পর্ক এটি আবরণ
এটি কম স্পষ্ট নয় যে কমপক্ষে তিনটি সমতা সম্পর্কের প্রয়োজন। সাবজেক্টের লজিকের ডুয়াল থেকে লেমা 1.9 ব্যবহার করে এটি সত্য বলে প্রমাণ করা যেতে পারে। এই লিমার সাধারণকরণের জন্য দুটিরও বেশি ইনপুট দিয়ে ন্যান্ড অপারেশন করা এই প্রশ্নের অনুপ্রেরণা ছিল।

algorithms graph-theory clique

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র

এটি একটি সুপরিচিত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা। en.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— gardenhead

@ স্টেফেনব্লি সম্ভবত এটি একটি সুপরিচিত সমস্যা, তবে আপনি যে উইকিপিডিয়া লিঙ্কটি দিয়েছেন তা সত্যিই আমাকে কাজে দেয় না। নিবন্ধটি একটি ভার্টেক্স কভার সমস্যা সম্পর্কে কথা বলেছে, তবে এখানে প্রশ্নটি একটি প্রান্ত কভার সমস্যার সাথে সম্পর্কিত। আরও মনে রাখবেন যে একটি সমতা সম্পর্ক একটি চক্র নয়, তবে চক্রের একটি পৃথক ইউনিয়ন।

— থমাস ক্লিম্পেল

সমতুল্য সম্পর্কটি চক্রের আলাদা হওয়া ইউনিয়ন বলতে কী বোঝ? ভার্টেক্স সেটটি উপাদানগুলিকে উপস্থাপন করে এবং একটি প্রান্তটি উপস্থাপন করে যে দুটি উপাদান সমান। যদি আপনি যে প্রতিনিধিত্বটি ব্যবহার করছেন তা না হলে আপনার এটি পরিষ্কার করা উচিত।

— উদ্যানের মাথায়

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

@ ইউয়ালফিল্মাস প্রশ্নটি সর্বনিম্ন সম্পর্কের ন্যূনতম সংখ্যার বিষয়ে জিজ্ঞাসা করে, যার ইউনিয়ন প্রদত্ত গ্রাফের ঠিক প্রান্ত সম্পর্ক, যার ইউনিয়ন কেবল প্রদত্ত গ্রাফকে অন্তর্ভুক্ত করে না।

— ডেভিড রিচার্বি

উত্তর:

$\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

এখানে বিশেষ গ্রাফ শ্রেণি রয়েছে যেখানে উভয় সংখ্যার জন্য সঠিক মান বা একটি ভাল উচ্চতর আবদ্ধ জানা যায়। সাধারণভাবে, আমার জ্ঞানের সেরা দিক থেকে, অ্যালন [1] দ্বারা সেরা সীমাটি দেওয়া হয়েছে:

{লগ}_{2} এন - {লগ}_{2} ঘ \leq EQ (জি) \leq সিসি (জি) \leq 2 ই^{2} (Δ + + 1)^{2} Ln এন,

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

$\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$

$\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] অ্যালন, নোগা। "সর্বনিম্ন সম্পর্কের ন্যূনতম সংখ্যার দ্বারা গ্রাফগুলি ingেকে দেওয়া।" সংযুক্তকারী 6.3 (1986): 201-206।

[2] ব্লুখুইস, আর্ট এবং টন ক্লকস। "বিভক্ত সংখ্যার সমতা সংখ্যায়" " তথ্য প্রক্রিয়াকরণের চিঠিগুলি 54.5 (1995): 301-304।

[3] কুয়েরা, লুডাক, জারোস্লাভ নীটাইল এবং আলে পল্টার। "ত্রিমাত্রিক মাত্রার জটিলতা এবং গ্রাফগুলির কিছু সম্পর্কিত প্রান্ত-আচ্ছাদন বৈশিষ্ট্য।" তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান 11.1 (1980): 93-106।

— Juho
সূত্র

[1] এর থেকে 1.3 অনুসিদ্ধান্তটি হ'ল আমার প্রয়োজন (সংস্করণে যা কোনও পথের পরিপূরকগুলির জন্য প্রযোজ্য)। এখন আর পার্টিশনে "(এ, বি, সি, ...) ইম্প্লি (জেড, ওয়াই, এক্স, ...)" (পরের ক্যালকুলাসের পরের) সম্পর্কে কাগজটি না লেখার অজুহাত আমার নেই partition যুক্তি এবং অনুরূপ অ-ক্লাসিক লজিক্স। তবে আমি অনুমান করি যে আমি এটি কমপক্ষে আরও অর্ধ বছর ধরে লিখব না। এবং এর মধ্যে আমি একটি নতুন অজুহাত খুঁজে পেতে পারি।

— টমাস ক্লিম্পেল

@ থমাসক্লিম্পেল এটি দুর্দান্ত! (আপনি হয়ত নতুন অজুহাত খুঁজে পেতে পারেন তা নয়, তবে এটি সহায়ক ছিল :-))

— জুহো

যদিও আমি এই জাতীয় সমস্যার নাম জানি না, তবে আমি এই সমস্যাটি এনপি-হার্ডটি দেখাতে পারি।

ত্রিভুজ মুক্ত গ্রাফের জন্য, সমস্ত সমতুল্য শ্রেণি অবশ্যই একটি মিলবে। গ্রাফটি কভার করে এমন সর্বনিম্ন ক্লাসের সর্বনিম্ন সংখ্যা গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সূচক সমান।

এই নিবন্ধ অনুসারে , ত্রিভুজ মুক্ত গ্রাফের জন্য ক্রোম্যাটিক সূচকটি অনুসন্ধান করা এনপি-সম্পূর্ণ।

— চাও কু
সূত্র