ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের সম্মিলিত ব্যাখ্যা

10

পিটার সেলিনারের মতে , ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস হল বীজগণিত (পিডিএফ)। এই নিবন্ধের প্রথম দিকে তিনি বলেছেন:

কারণ এটি সন্তুষ্ট না ল্যামডা ক্যালকুলাস সমন্নয়ের ব্যাখ্যা, অপূর্ণ হিসেবে পরিচিত -rule: ব্যাখ্যা অধীনে, পরোক্ষভাবে না (Barendregt, 1984)। $ξ$ $M = N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$

প্রশ্নাবলী:

এখানে কোন ধরণের সমতা বোঝানো হয়েছে?
সমতা এই সংজ্ঞা দেওয়া, জড়িত একটি পাল্টা উদাহরণ কি?

terminology lambda-calculus combinatory-logic

— সাইমন শাইন
সূত্র

7

সমানতা শুধু equational মধ্যে সমানতা হয় আলোচ্য -theory। এই ক্ষেত্রে, এটা তত্ত্ব ছক 1. নোট রূপরেখা যে এই তত্ত্ব অন্তর্ভুক্ত নয় এর : এমনটি তত্ত্ব এক্সটেনশনাল দিবে এবং বিন্দু অবশেষে যে শ্রদ্ধা এর intensionality, যখন তা সাফ প্রতীক হবে আংশিকভাবে এক্সটেনশনাল। আমি নিশ্চিত নই যে অন্য উত্তরগুলি কেন উল্লেখ করেছে । $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\lambda$ $\eta$

নোট করুন যে : $\lambda$

\begin{matrix} (1) & (M =_{β} N) ⟹ (λ x . M =_{β} λ x . N) \end{matrix}

$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$

এই intuitively সুস্পষ্ট হওয়া উচিত: যদি হল থেকে -convertible যখন এটি নিজে দাঁড়িয়েছে, তাহলে এটি হয় থেকে -convertible যখন এটি একটি subterm হয় । $M$ $\beta$ $N$ $\beta$ $N$ $\lambda x.M$

-rule, হিসাবে সংজ্ঞায়িত এই অনুমান সরাসরি সম্ভব যখন এটি একটি অংশ তোলে -theory। এর সিএল এনালগটি : $\xi$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{λ}) & (λ x . M) & = (λ x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$

λ

$\lambda$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{C L}) & (λ^{*} x . M) & = (λ^{*} x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$

এখন, মুল বক্তব্যটি হ'ল সিএলে নিম্নলিখিতগুলি ধারণ করে না :

\begin{matrix} (2) & (M =_{w} N) ⟹ (λ^{*} x . M =_{w} λ^{*} x . N) \end{matrix}

$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$

অন্য কথায়, যদি দুটি পদ দুর্বলভাবে সমান হয়, তবে এটি তাদের সিউডো-বিমূর্ত সংস্করণের জন্য অগত্যা সত্য নয় ।

ফলস্বরূপ, আমরা যদি একটি সিএল তত্ত্বের সাথে যুক্ত করি , তবে আমরা শর্তগুলি সমান করতে শুরু করি যা বিভিন্ন স্বাভাবিক ফর্ম রয়েছে। $\xi_{CL}$

বিঃদ্রঃ. এখানে, দুর্বল বোঝায়। এর অর্থ হ'ল (এবং তদ্বিপরীত) মধ্যে রূপান্তর করা যেতে পারে এবং সংকোচনের সিরিজ (সম্ভবত , যদি এটি তত্ত্বের অংশ হয়)। আপনি সম্ভবত জানেন যে, হল সিএল এনালগ । $M =_w N$ $M$ $N$ $\mathsf{S}$ $\mathsf{K}$ $\mathsf{I}$ $=_w$ $=_\beta$

$\lambda^*$ document হ'ল সিউডো-অ্যাবস্ট্রাক্টর যা আপনার নথির 5 পৃষ্ঠায় সংজ্ঞায়িত হয়েছে। এটিতে নিম্নলিখিত সম্পত্তি রয়েছে:

\begin{matrix} (3) & (λ^{*} x . M) N ⊳_{w} [N / x] M \end{matrix}

$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$

এই সম্পত্তি এটা সহজ কোন একটি সাফ প্রতীক অ্যানালগ খুঁজে পাওয়া সহজ করে শুধু পরিবর্তন: -term করার এবং সংজ্ঞা অনুযায়ী অনুবাদের আবেদন । $\lambda$ $\lambda$ $\lambda^*$ $\lambda^*$

স্পষ্টরূপে, এই উত্তরের 'প্রতি-উদাহরণ' (2) এর প্রতি-উদাহরণ নয়। কারণ যদি আমাদের থাকে:

\begin{matrix} (4) & M = x \end{matrix}

$M = x \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & N = (λ^{*} z . z) x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$

তারপরে সত্যিই বোঝায় (পৃষ্ঠা 5 এর অনুবাদগুলি প্রয়োগ করে এবং পৃষ্ঠা 4 এর শেষে হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে ): $N$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SKK}$

\begin{matrix} (6) & N = (λ^{*} z . z) x = I x = S K K x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$

যেহেতু , আমরা প্রকৃতপক্ষে যে আছে । যাইহোক, যদি এটা একটি পাল্টা উদাহরণ, আমরা তারপর যে থাকা উচিত । তবে যদি আমরা অনুবাদ করি তবে আমরা আসলে পাই: $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$ $M =_w N$ $(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

\begin{matrix} (7) & (λ^{*} y . M) = (λ^{*} y . x) = K x \end{matrix}

$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & (λ^{*} y . N) = (λ^{*} y . S K K x) = K (S K K x) \end{matrix}

$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$

এবং এটি যাচাই করা সহজ যে (7) এবং (8) এখনও দুর্বল সমান, এর জন্য:

\begin{matrix} (9) & K (S K K x) ⊳_{w} K (K x (K x)) ⊳_{w} K x \end{matrix}

$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$

এখন, (2) এর যথাযথ পাল্টা উদাহরণ হ'ল:

M = K x y

$M = \mathsf{K}xy$

N = x

$N = x$

যেহেতু , আমাদের অবশ্যই । তবে আপনি যদি বিমূর্ত সংস্করণগুলির জন্য সাবধানতার সাথে অনুবাদ করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে উভয়ই আলাদা স্বতন্ত্র ফর্ম - এবং চার্চ-রোজার উপপাদ্য অনুসারে এগুলি রূপান্তরিত হতে পারে না। $\mathsf{K}xy \rhd_w x$ $M =_w N$

প্রথমে আমরা পরীক্ষা করি : $M'$

\begin{aligned} M^{'} & = λ^{*} x . K x y \\ = S (λ^{*} x . K x) (λ^{*} x . y) \\ = S (λ^{*} x . K x) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (λ^{*} x . x)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (I)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (S K K)) (K y) \\ = S (S (K K) (S K K)) (K y) \end{aligned}

$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$ এখানে আপনি যাচাই করতে পারেন যে একটি সাধারণ ফর্ম। এখানে আপনি এটি পরীক্ষা করতে পারেন , যেমন আপনার প্রত্যাশা করা উচিত যে সিএল এর জন্য বিমূর্তির মতো আচরণ করছে কিনা।

M^{'}

$M'$

(λ^{*} x . K x y) P ⊳_{w} P

$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$

λ^{*}

$\lambda^*$

এখন আমরা : $N'$

\begin{aligned} N^{'} & = λ^{*} x . x \\ = I \\ = S K K \end{aligned}

$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$

যা স্পষ্টতই থেকে আলাদা একটি সাধারণ ফর্ম , তাই চার্চ- উপপাদ্য দ্বারা । এও লক্ষ করুন যে , অর্থাত্ এবং ' ইনপুটগুলির জন্য একই আউটপুট উত্পাদন করে' । $M'$ $M' \not=_w N'$ $N'P \rhd_w P$ $M'$ $N'$ $P$

আমরা এখন প্রমাণ করেছি যে (২) সিএল ধারণ করে না এবং একটি সিএল থিওরি অন্তর্ভুক্ত করে তাই এমন পদগুলির সমীকরণ করবে যা দুর্বলভাবে সমান নয়। তবে কেন আমরা যত্ন নিই? $\xi$

ভাল, প্রথমত, এটি অপূর্ণের সংমিশ্রণীয় ব্যাখ্যা করে : দৃশ্যত সমস্ত মেটাথেরেটিক বৈশিষ্ট্য বহন করে না। $\lambda$

তদতিরিক্ত, এবং সম্ভবত আরও গুরুত্বপূর্ণ, there এবং সিএল এর এক্সটেনশনাল তত্ত্বগুলি উপস্থিত থাকলে , সেগুলি মূলত এবং সাধারণত নিবিড়ভাবে রাখা হয়। নিবিড়তা একটি দুর্দান্ত সম্পত্তি কারণ প্রক্রিয়া হিসাবে এবং সিএল মডেল গণনা, এবং এই দৃষ্টিকোণ থেকে দুটি পৃথক প্রোগ্রাম (বিশেষত, পদগুলির একটি পৃথক সাধারণ রূপ রয়েছে) যা সর্বদা একই ফলাফল উত্পন্ন করে (সমান ইনপুট দেওয়া হয়) সমান হয় না। এই নীতিটিকে সম্মান করে এবং আমরা যদি এক্সটেনশনাল করতে চাই , তবে আমরা কেবল উদাহরণস্বরূপ যুক্ত করতে পারি । তবে পরিচিতি $\lambda$ $\lambda$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\eta$ $\xi$ সিএল এটিকে পুরোপুরি নিবিড়ভাবে তৈরি করে না (বাস্তবে, কেবলমাত্র আংশিকভাবে)। এবং নিবন্ধটি যেমন এটি দেয় তেমনই ' ' এর 'কুখ্যাতি'র কারণ। $\xi$

— রায় ও।
সূত্র

1

আমি মানের বিষয়ে মন্তব্য করতে পারছি না কারণ আমি বিষয়টি সম্পর্কে খুব কম জানি, তবে এটি কিছুটা কাজের মতো দেখায়। প্রশংসা, ধন্যবাদ!

— রাফেল

প্রকৃতপক্ষে, পোস্টটি আমার প্রত্যাশার চেয়ে বেশি সময় শেষ হয়েছিল। আপনার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ. :)

— রায় ও।

2

ওহ এই. ঘটে । নিয়মিত ।

— রাফেল

3

সম্পাদনা করুন এই উত্তরটি ভুল, কারণ অন্য উত্তরদাতা সঠিকভাবে নির্দেশ করেছেন। আমি Asperti এবং Longo থেকে সংযুক্ত যুক্তিতে অনুবাদটি ব্যবহার করেছিলাম, যা সেলিনারের একের থেকে পুরোপুরি আলাদা।

আসলে, এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি তুলে ধরে: ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের "সম্মিলিত ব্যাখ্যা" কোনও একক জিনিস নয়! বিভিন্ন লেখক এটি কিছুটা আলাদাভাবে করেন।

আমি আমার উত্তর এখানে উত্তরোত্তর জন্য রেখে দিচ্ছি, তবে অন্য উত্তরটি ভাল।

এই প্রসঙ্গে সমতা সেলিঞ্জারের কাগজে সারণি 1 এবং 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। যাইহোক, কিছুটা আলাদা অ্যাক্টিভিমেটাইজেশন জিনিসগুলিকে কিছুটা আরও পরিষ্কার করে দিতে পারে।

এর প্রকৃত অর্থ যা হ'ল তত্ত্বে দুটি পদ রূপান্তরিত । নিম্নলিখিত দুটি অক্ষ দ্বারা আমরা "রূপান্তরযোগ্যতা" সংজ্ঞায়িত করতে পারি: $\lambda$

$\beta$ । , যদি জন্য বিনামূল্যে মধ্যে $(\lambda x. M) N = [N/x]M$ $x$ $N$ $M$
$\eta$ । , যদি মধ্যে মুক্ত নয় $\lambda y. M y = M$ $y$ $M$

প্লাস, অবশ্যই, সাধারণ কাঠামো এবং অনুমানের নিয়মগুলি তৈরি করতে প্রয়োজনীয় একটি সমষ্টি। এ থেকে এটি স্পষ্টতই হওয়া উচিত যে কোনও পাল্টা উদাহরণটি rule নিয়মটি ভেঙে ফ্রি চলক অবস্থার উপর নির্ভর করতে চলেছে । $=$ $\eta$

আমি মনে করি এটি সম্ভবত সবচেয়ে সহজ:

M = x

$M = x$

N = (λ z . z) x

$N = (\lambda z. z) x$

আপনি নিজের জন্য যাচাই করতে পারেন যে , তবে তাদের নিজস্ব সম্মিলিত ব্যাখ্যা টেবিল 2-এর বিধি অনুসারে সমান নয়। $\lambda y. M = \lambda y. N$

— ছদ্মনাম
সূত্র

আপনার উত্তর সম্পর্কে যা আমি বুঝতে পারি না: 1) কেন টেবিল 1-এ তত্ত্বটি অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি এবং স্পষ্টভাবে অন্তরঙ্গ হিসাবে কেন while উল্লেখ করবেন ? 2) এবং সংমিশ্রণীয় ব্যাখ্যাগুলি কীভাবে হয় সমান নয়? আমার উত্তরের ব্যয়টি দেখায় যে তারা। 3) i -rule সম্বোধন করা হয় না, যদিও ইস্যুতে এটিই অপরাধী।

η

$\eta$

λ y . M

$\lambda y.M$

λ y . N

$\lambda y. N$

ξ

$\xi$

— রায় ও।