দীর্ঘতম ফিবোনাচি সাবস্ট্রিং সন্ধানের জন্য একটি নিষ্পাপ অ্যালগরিদমের জটিলতা

দুটি চিহ্ন দেওয়া এবং , আসুন নীচে থাই ফিবোনাচি স্ট্রিংটি সংজ্ঞায়িত করুন : $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

এফ (ট) = {\begin{cases} খ & যদি ট = 0 \\ একটি & যদি ট = 1 \\ এফ (ট - 1) ⋆ এফ (ট - 2) & আর \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

সঙ্গে স্ট্রিং সংযুক্তকরণের বাচক। $\star$

এইভাবে আমাদের থাকবে:

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

একটি স্ট্রিং প্রদত্ত দ্বারা গঠিত প্রতীক, আমরা একটি ফিবানচি কোন হিসাবে সাবস্ট্রিং সংজ্ঞায়িত সাবস্ট্রিং এর যা একটি উপযুক্ত পছন্দ জন্য একটি ফিবানচি স্ট্রিং এবং । $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

সমস্যাটি

দেওয়া $S$ , আমরা এর দীর্ঘতম ফিবোনাচি সাবস্ট্রিং সন্ধান করতে চাই।

একটি তুচ্ছ আলগোরিদিম

প্রতিটি পদের জন্য স্ট্রিং এর , আমি অনুমান যে সেখানে শুরু হয় (এটা যে চেক করতে যথেষ্ট -th এবং -th প্রতীক স্বতন্ত্র)। যদি এটি হয় তবে এটি , তারপরে এবং আরও কিছুতে বাড়ানো যায় কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন। এর পরে, অবস্থান থেকে আবার শুরু করুন । আপনি পজিশনে না পৌঁছা পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করুন । $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

আমাদের প্রতিটি প্রতীককে কমপক্ষে একবার দেখতে হবে, সুতরাং এটি । জড়িত লুপগুলির জন্য কেবল দুটি রয়েছে, সুতরাং আমরা আরও বলতে পারি যে এটি । $\Omega(n)$ $O(n^2)$

তবে (কিছুটা আশ্চর্যজনকভাবে) এই নিখুঁত অ্যালগরিদম স্বাভাবিক চতুর্ভুজীয় অ্যালগরিদমের তুলনায় অনেক ভাল সম্পাদন করে (যদি এটি পজিশনে অনেক কাজ করে তবে এটি পরবর্তী পদগুলিতে প্রচুর কাজ করবে না)। $i$

এই অ্যালগরিদমের কার্যকর করার সময়টির জন্য আরও শক্ততর সীমাগুলি খুঁজতে আমি কীভাবে ফিবোনাচি বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে পারি?

— wil93
সূত্র

বলুন যে কোনও অবস্থানে ঘটে যদি সেই অবস্থানের সাথে শুরু হওয়া স্ট্রিংগুলি বা এর পরিপূরকগুলির সাথে সামঞ্জস্য হয় । সংঘটন কতটা কাছাকাছি হতে পারে? উদাহরণস্বরূপ হিসাবে নিন । যদি পজিশন তে ঘটে থাকে তবে এটি বা পজিশনে ঘটতে পারে না , তবে এটি পজিশনে উপস্থিত হতে পারে । আমরা দিন সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যেমন যে দুটি ঘটনার হতে এর দুরত্ব ঘটতে পারে । আপনি আনয়ন দ্বারা প্রমাণ করতে পারেন যে আমাদের কাছে আছে $F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ (উদাহরণস্বরূপ, )। $\ell(4) = 3$

দৈর্ঘ্য এর একটি স্ট্রিং দেওয়া হয়েছে , প্রতিটি জন্য হয় এমন পজিশনের সেট হতে দিন । আমরা আপনার পদ্ধতির চলমান মোটামুটি দ্বারা আবদ্ধ করতে পারি যেখানে সর্বাঙ্গে সমষ্টি রান যেমন যে (বলুন)। যেহেতু এর ঘটনাগুলি কমপক্ষে দ্বারা পৃথক করা হয় , আমরা দেখতে পাই যে চলমান সময়টি আদেশ দ্বারা সীমাবদ্ধ যেহেতু ফিবোনাচি শব্দের দৈর্ঘ্য তাত্ক্ষণিকভাবে বৃদ্ধি পায়, তাই । অবশিষ্ট পদটি হ'ল $N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ $F(n)$ $|F(n-1)|$

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$ , যেহেতু অনেকগুলি শর্ত থাকেআমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে চলমান সময় হ'ল ।

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$

বিপরীতে, চলমান সময় হ'ল , যেমন প্রবর্তন দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে। আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে দৈর্ঘ্যের সবচেয়ে খারাপ সময় চলমান সময়টি হ'ল । $F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র