তোফোলি গেটের সর্বজনীনতা

Question

কোয়ান্টাম তোফোলি গেট সম্পর্কিত :

1. এটি কি ধ্রুপদী সর্বজনীন, এবং যদি তাই হয় তবে কেন?
2. এটি কি পরিমাণে সর্বজনীন, এবং কেন?

Comments

নন-কোয়ান্টাম লজিকের মধ্যে, আপনি দেখান যে সার্বজনীন হিসাবে পরিচিত বুলিয়ান অপারেটরগুলির একটি সেটটি হাতের সেটটি দিয়ে অনুকরণ করা যায়। আমি কোয়ান্টাম বিশ্বে এটি একইরকম জানি না, তবে আমি তা ভাবব।

— রাফেল

কোয়ান্টাম যুক্তিতে, টফোলি গেটটি সর্বজনীন নয়, কারণ আপনি কেবল এটি দিয়ে শাস্ত্রীয় গণনা করতে পারেন। আপনার কিছু কোয়ান্টাম গেটও দরকার যা যদি ইনপুটটি ভিত্তি অবস্থায় থাকে তবে আউটপুটটিকে ভিত্তি রাজ্যের একটি সুপারপজিশনে রাখে।

— পিটার শোর

আমি বুঝতে পারি যে প্রশ্নটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে, সম্ভবত এটি কোয়ান্টাম / শাস্ত্রীয় বিশ্বের সার্বজনীনতার মধ্যে পার্থক্য জিজ্ঞাসা করার জন্য সম্পাদনা করা উচিত।

— রণ জি।

আমি কোয়ান্টাম কেস কভার করতে আমার উত্তর সম্পাদনা করেছি। আপনি এখন কি চিন্তা করছেন?

— ভিক্টর স্টাফুসা

@RanG। আমরা ভবিষ্যতের প্রশ্নের জন্য উপায়টি দেখানোর কথা, এই প্রশ্নটি হোম ওয়ার্কযুক্ত, তবুও এটি প্রদর্শিত হয় যে আপনি কেন এটি নিজে সমাধান করতে পারেন নি (এবং সমস্যাটি কোথায় রয়েছে) আপনি ব্যাখ্যা করেন না। আমি মনে করি এটি ব্যক্তিগত বিটা ( মেটা আলোচনা দেখুন ) এর পক্ষে ভাল প্রশ্ন নয় । আমি এই প্রশ্নটি বন্ধ করার জন্য ভোট দিই।

— গোপী

Answer 1

টোফোলি শাস্ত্রীয় গণনার জন্য সর্বজনীন (@ ভিক্টরের দ্বারা দেখানো হয়েছে)। যাইহোক, টফোলি কোয়ান্টাম গণনার জন্য সর্বজনীন নয় (যদি না আমাদের কাছে মতো কিছু ক্রেজি থাকে )।$P = BQP$

কোয়ান্টাম গণনার জন্য সর্বজনীন হতে (সাধারণ সংজ্ঞায়নের অধীনে), আপনার গেটগুলি দ্বারা উত্পন্ন গ্রুপটি এককগুলিতে ঘন হতে হবে। অন্য কথায়, একটি অবাধ দেওয়া এবং টার্গেট ঐকিক ইউ কিছু উপায় একটি ঐকিক পেতে কোয়ান্টাম গেটস একটি সসীম সংখ্যা প্রয়োগ করতে নেই ইউ ' যেমন যে | | ইউ - ইউ ′ | | < ϵ ।$\epsilon$$U$$U'$$||U - U'|| < \epsilon$

তোফোলি নিজেই এই সংজ্ঞা অনুসারে স্পষ্টভাবে সর্বজনীন নয় যেহেতু এটি সর্বদা ভিত্তি রাজ্যগুলিকে ভিত্তি রাষ্ট্রগুলিতে গ্রহণ করে এবং তাই এমন কিছু কার্যকর করে যা প্রয়োগ করতে পারে না উদাহরণস্বরূপ। অন্য কথায়, এটি সুপারপজিশন তৈরি করতে পারে না।$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

Answer 2

থেকে Wikipedia নিবন্ধটি যে আপনার উদাহৃত :

তোফোলি গেট সর্বজনীন; এর অর্থ হ'ল যে কোনও বুলিয়ান ফাংশন f (x1, x2, ..., xm) এর জন্য রয়েছে তোফোলি গেটগুলির সমন্বয়ে একটি সার্কিট যা এক্স 1, এক্স 2, ..., এক্সএম এবং কিছু অতিরিক্ত বিট 0 বা 1 এবং আউটপুট সেট করে x1, এক্স 2, ..., এক্সএম, এফ (এক্স 1, এক্স 2, ..., এক্সএম) এবং কিছু অতিরিক্ত বিট (যার নাম আবর্জনা)। মূলত, এর অর্থ হল যে কেউ সিস্টেমগুলি তৈরি করতে টফোলি গেট ব্যবহার করতে পারেন যা কোনও বিপরীত পদ্ধতিতে কোনও পছন্দসই বুলিয়ান ফাংশন গণনা সম্পাদন করবে।

যার অর্থ সহজ ভাষায় যে কোনও বুলিয়ান ফাংশন কেবল টফোলি গেট দিয়েই নির্মিত হতে পারে।

বুলিয়ান ফাংশনগুলি সাধারণত ওআর, এবং এবং নট গেট থেকে তৈরি করা হয়, যা কোনও বুলিয়ান ফাংশন গঠনের জন্য একত্রিত হতে পারে। এটি বিস্তৃতভাবে জানা যায় যে কেবলমাত্র এনওআর গেটগুলির সাথে বা কেবল ন্যানড গেট দিয়েই এটি সম্ভব।

টফোলি গেটটি সংক্ষেপে বলা যেতে পারে:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

যেহেতু প্রথম এবং দ্বিতীয় আউটপুটগুলি সর্বদা প্রথম এবং দ্বিতীয় ইনপুটগুলির সমান হয়, তাই আমরা তাদের বিচ্ছিন্ন করতে পারি। তাহলে আমাদের আছে:

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

এটির সাথে, ন্যানড গেটটি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব:

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

যেহেতু নান্দ গেট সর্বজনীন এবং ননদ গেটটি টফোলি গেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তাই তোফোলি গেট সর্বজনীন।

আরএফ এবং না গেটগুলি সরাসরি নির্মাণ করে তোফোলি সর্বজনীন প্রমাণ করার আরও একটি উপায় রয়েছে:

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

তারপরে, আমরা দে মরগানের আইন ব্যবহার করে ওআর গেটটি নির্মাণ করতে পারি :

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

---

সম্পাদনা করুন, যেহেতু প্রশ্নটি সম্পাদিত হয়েছিল এবং এর ব্যাপ্তি পরিবর্তন হয়েছে:

প্রথমত, আমি কোয়ান্টিকাল কম্পিউটিং বুঝতে পারি না, সুতরাং যদি কিছু ভুল হয় তবে দয়া করে একটি মন্তব্য যুক্ত করুন। এই উত্তরটি সম্পূর্ণ করার চেষ্টা করার জন্য আমি কিছুটা গবেষণা করেছি এবং এটি দিয়ে শেষ করেছি:

টফোলি গেটটি বিপরীতমুখী (তবে উপরে ব্যবহৃত টফোলি 'নয়)। এর অর্থ এটির সাথে করা কোনও গণনা পূর্বাবস্থায় ফেরা যায়। এই:

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

যার অর্থ যে কোনও ট্রিপল (ক, খ, সি) এর জন্য যদি টফোলি দু'বার প্রয়োগ করা হয় তবে আউটপুট হিসাবে আসল ইনপুট পাওয়া যায়।

রিভার্সিবিলিটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ কোয়ান্টাম গেটগুলি অবশ্যই বিপরীতমুখী হতে হবে, সুতরাং (শাস্ত্রীয়) টফোলি গেটটি কোয়ান্টাম গেট হিসাবে এটির কারণে ব্যবহার করা যেতে পারে।

এখানে প্রদর্শিত হিসাবে , ডয়চ গেটটি টফোলি গেটের মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তবে একটি শাস্ত্রীয় গেটের পরিবর্তে এটি একটি পরিমাণযুক্ত:

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

এইভাবে, টফোলি গেটটি ডয়চে গেটের একটি বিশেষ ঘটনা যেখানে:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

$\frac{\pi}{2}$

একটি সার্বজনীন কোয়ান্টাম টেগেট সেট পাওয়া যেতে পারে, যদি আমরা তোফোলি গেটটি হাদামারদ গেটের সাথে একত্রিত করি। ডয়চ গেটটি ঠিক এটিই করে।

আকর্ষণীয় উল্লেখগুলি এখানে , এখানে এবং এখানে পাওয়া যাবে । ডয়চে ট্রান্সফর্মের ভিত্তি দেখানো একটি সম্ভাব্য মূল্যবান রেফারেন্স এখানে হওয়া উচিত , তবে লিঙ্কটি পাসওয়ার্ড-সুরক্ষিত।

Comments

তোফফোলি কোয়ান্টাম গণনার জন্য সর্বজনীন নয়, তারা নিজেরাই সিএনওটি নয়। এটি দেখতে সহজ কারণ তারা সুপারপজিশন তৈরি করতে পারে না।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

$\{$$\}$

EDIT 2 এ আপনার রেফারেন্সটি ভুল। এই নিবন্ধে স্পষ্টভাবে বলা হয়েছে যে টফোলি +

— হাদামারড

@ আর্টেমকাজনাটচিভ: নিবন্ধটিতে বলা হয়েছে "টফোলি এবং হাডামারড"। তখন আমি ভেবেছিলাম যে এর অর্থ "টফোলি একটি উদাহরণ এবং হাদামার্ট অন্য একটি"। যাইহোক এটি এখন পরিষ্কার।

— ভিক্টর স্টাফুসা

আমি এটি সম্পাদনা করেছি, এখন ঠিক আছে।

— ভিক্টর স্টাফুসা