এমন কোনও অ্যালগরিদম আছে যা সম্ভবত তা বিদ্যমান তা আমরা জানি না তবে এটি কী?

গণিতে, অস্তিত্বের অনেক প্রমাণ রয়েছে যা গঠনমূলক নয়, তাই আমরা জানি যে একটি নির্দিষ্ট বস্তুর অস্তিত্ব রয়েছে যদিও আমরা এটি কীভাবে সন্ধান করব তা জানি না।

আমি কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রেও একই রকম ফলাফল খুঁজছি। বিশেষত: কোন সমস্যা আছে যা আমরা প্রমাণ করতে পারি যে এটির জন্য অ্যালগরিদম না দেখিয়েই তা স্থিরযোগ্য? অর্থাৎ আমরা জানি যে এটি একটি অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে, তবে আমরা জানি না যে অ্যালগরিদমটি দেখতে কেমন?

algorithms proof-techniques

— এরেল সেগাল-হালেভি
সূত্র

একটি তুচ্ছ উত্তর আছে। যে কোনও হ্যাঁ / কোনও প্রশ্ন নাও যার উত্তর অজানা, যেমন "হ'ল এলোমেলো", তবে প্রশ্নটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য, কেবলমাত্র দুটি সম্ভাব্য অ্যালগরিদমের মধ্যে কোনটি সঠিক তা আমরা এখনও জানি না।

π

$\pi$

— হেনড্রিক জানুয়ারি

মূলত tcs.se প্রশ্নের সদৃশ সেখানে

— vzn

@ বাবু সত্যই: একটি অনন্য উত্তর সহ একটি প্রশ্ন সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না। এখানে অজ্ঞতাবোধটি মনে হয়, এটি প্রশ্ন থেকে "জানেন না" এর একটি ঘটনা, যদিও কেবল " এখনই জানেন না "। একবার আমরা খুঁজে পেলাম যে এলোমেলো কিনা তা আমাদের আর একটি উদাহরণ খুঁজতে হবে না। নীচে আপনার উত্তর অবশ্যই অনেক ভাল! এটি "জানেন না" এমন একটি রূপ যা অন্তর্নিহিত "কখনই জানতে পারবে না"।

π

$\pi$

— হেনড্রিক জানুয়ারী

@ হেন্ডরিকজান: এবং সেই পদ্ধতিটিই আমরা সিএসে একটি অ্যালগরিদম বলি। তবে থামার সমস্যাটিকে উদাহরণ হিসাবে গ্রহণ করে আমরা প্রমাণ করতে পারি না যে একটি অ্যালগোরিদম রয়েছে!

— MSalters

আরও কিছু আকর্ষণীয় উদাহরণ এখানে পাওয়া যাবে: cstheory.stackexchange.com/questions/4777/…

— সেগাল-হালেভি

উত্তর:

সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে আমি জানি একটি অ্যালগরিদম যা বিদ্যমান, যদিও এটি জানা নেই যে কোন অ্যালগরিদম, সীমাবদ্ধ রাষ্ট্র অটোমেটা নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে।

ভাগফল একটি ভাষা একটি ভাষা দ্বারা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । $L_1/L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1/L_2=\{x \mid \exists y\in L_2 \text{ such that } xy\in L_1\}$

এটি সহজেই প্রমাণিত হয় যে নিয়মিত সেটটি একটি স্বেচ্ছাসেবী সেট দ্বারা ভাগফলের অধীনে বন্ধ থাকে। অন্য কথায়, যদি নিয়মিত এবং নির্বিচারে (অগত্যা নিয়মিত), তারপর নিয়মিত, অত্যধিক। $L_1$ $L_2$ $L_1/L_2$

প্রমাণটি বেশ সহজ। যাক একটি এফএসএ নিয়মিত সেট গ্রহণ করা , যেখানে এবং যথাক্রমে রাজ্যের সেট এবং গ্রহণ রাজ্যের সেট আছে, এবং দিন একটি অবাধ ভাষা হতে। যাক যা থেকে একটি চূড়ান্ত রাষ্ট্র একটি স্বীকার করে পৌঁছে যাবে রাজ্যের সেট হতে থেকে স্ট্রিং । $M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $R$ $Q$ $F$ $L$ $F'=\{q\in Q\mid \exists y\in L \;\;\delta(q,y)\in F\}$ $L$

যন্ত্রমানব , যা থেকে পৃথক শুধুমাত্র তার সেটে চূড়ান্ত রাজ্যের স্বীকৃতি অবিকল । (অথবা এই সত্যের প্রমাণের জন্য হপকক্রফ্ট-ওলম্যান 1979, পৃষ্ঠা 62 দেখুন)) $M'=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F')$ $M$ $F'$ $R/L$

যাইহোক, যখন সেট নির্ধার্য নয়, সেখানে সিদ্ধান্ত নিতে যা রাজ্যের সম্পত্তি যে সংজ্ঞায়িত রয়েছে তারা অ্যালগরিদম হতে পারে । সুতরাং, যদিও আমরা জানি যে সেট উপসেট , তবে কোন উপসেটটি নির্ধারণ করার জন্য আমাদের কাছে কোনও অ্যালগরিদম নেই। ফলে, আমরা যখন জানি যে এক দ্বারা গৃহীত সম্ভব এফএসএ, আমরা জানি না তা নয়। যদিও আমি অবশ্যই স্বীকার করতে পারি যে আমরা এটির মতো দেখতে অনেকাংশে জানি। $L$ $F'$ $F'$ $Q$ $R$ $2^{|Q|}$

এটি যা প্রায়শই প্রায় গঠনমূলক প্রমাণ বলা হয় তার একটি উদাহরণ , এটি একটি প্রমাণ যে সীমাবদ্ধ উত্তরগুলির মধ্যে একটি উত্তর সঠিক।

আমি মনে করি যে এর একটি বর্ধন একটি প্রমাণ হতে পারে যে উত্তরগুলির একটি অঙ্কের উত্তম সেটটি সঠিক। তবে আমি কোন কিছুই জানি না। আমি জানি না যে কোনও সমস্যা নির্ধারণযোগ্য, উদাহরণস্বরূপ কেবল বৈপরীত্য ব্যবহার করে এমন একটি নিখুঁত অ-গঠনমূলক প্রমাণও জানি না।

— babou
সূত্র

@DW আমি বললাম নিয়মিত, কিন্তু নির্বিচারে । এটি পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য বা নিয়মিত হতে হবে না। কোনও সম্পত্তি এটি স্ট্রিংয়ের একটি সেট ব্যতীত ব্যবহৃত হয় না। আপনি যদি আমার উপর বিশ্বাস না করেন তবে

R

$R$ $L$

L

$L$

— হপকক্রফ্ট

ধন্যবাদ। এটি আমার প্রিয় উত্তর কারণ সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য ভাষা অসীম।

— এরেল সেগাল-হালেভি

@ বাবু, আমার ভুল, আপনি যা লিখেছেন তা ভুলভাবে পড়েছি। আমার দোষ - সে সম্পর্কে দুঃখিত। আমি আপনার পোস্টটি সম্পাদনা করেছি এমন অংশটি তৈরি করতে যা আমি ভুলভাবে বুঝতে পেরেছি যে ক্লিয়ার হয়ে গেছে।

— DW

@ ডিডাব্লু আমি আনন্দিত যে আপনার কোনও সমস্যা ছিল, তবে এটি আমার ক্ষেত্রেও ঘটে। তবে আমার আরও পরিষ্কার হওয়া উচিত ছিল। এটি উদ্দেশ্যমূলক ছিল না। এটি বলছেন কারণ কিছু গণিতবিদ মনে করেন এটি ক্রিপ্টিক হওয়া আরও মার্জিত is সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ।

— বাবু

হেন্ড্রিকের মূল মন্তব্যটি প্রসারিত করতে, এই সমস্যাটি বিবেচনা করুন

একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া এর দশমিক বিস্তারে বা আরও একটানা 7 এর রান আছে ? $n\ge 0$ $n$ $\pi$

এই সমস্যাটি নির্ণয়যোগ্য, যেহেতু দুটি ক্ষেত্রে যে কোনও একটি পেতে পারে:

একটি পূর্ণসংখ্যা যার জন্য এর দশমিক বিস্তৃতিতে টানা 7 এর চালানো হয় , তবে আর চলবে না। $N$ $\pi$ $N$
কোন , সম্প্রসারণ এর একটি রান করেছেন পরপর 7s। $n$ $\pi$ $n$

ক্ষেত্রে (1) সমস্যার একটি সিদ্ধান্ত অ্যালগরিদম এক হতে পারে

যদি উত্তর "না" দেয় তবে "হ্যাঁ" উত্তর দিন। $n > N$

এবং ক্ষেত্রে (2) অ্যালগরিদম হবে

উত্তর "হ্যাঁ"।

স্পষ্টতই এগুলির প্রত্যেকটিই একটি সিদ্ধান্ত অ্যালগরিদম; আমরা শুধু কোনটি জানি না। যদিও এটি পর্যাপ্ত, কারণ সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য কেবল একটি অ্যালগরিদমের অস্তিত্ব প্রয়োজন , কোন অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করা উচিত তার স্পেসিফিকেশন নয় ।

— রিক ডেকার
সূত্র

+1 এটি একটি সরল উদাহরণ যা আমি আমার অধ্যাপককে কম্পিউটার এবং কম্পিউটারের ব্যবহারের জন্য স্মরণ করছি। এটি আমার কাছে যাওয়ার উদাহরণ, যেহেতু এটির জন্য বেশি ডোমেন জ্ঞানের প্রয়োজন হয় না, তাই বোঝানো সহজ।

— জোশুয়া টেলর

বিকল্প সূত্রগুলির জন্য, এখানেও দেখুন ।

— রাফেল

এখানে একটি উত্তর নেই। আমি পোস্ট করছি কারণ আমি বিশ্বাস করি এটি শিক্ষণীয়, কারণ আমি মূলত বিপরীতে দাবি করেছি এবং আটজন লোক আপত্তি জানাতে যথেষ্ট সম্মত হয়েছে @ এসডিসিডব্লিউসি ভুলটি নির্দেশ করার আগেই। আমি কেবল আমার প্রথম উত্তরটি সম্পাদনা করতে চাইনি কারণ আমি নিশ্চিত নই যে অনেকেই যদি ভুল জানত তবে এটি এটিকে উজ্জীবিত করবে।

আমি প্রাথমিকভাবে দাবি করেছিলাম যে এটি এমন কোনও সেট নেওয়া যথেষ্ট ছিল যা আমরা সীমাবদ্ধ হতে জানি তবে যার জন্য আমরা সদস্যদের জানি না। যেহেতু সসীম, এটি পুনরাবৃত্ত, সুতরাং একটি অ্যালগরিদম আছে তবে আমি দাবি করেছি যে এটি কী তা আমরা জানি না। $S$ $S$

তবে এটি ভুল। উদাহরণস্বরূপ, রবার্টসন – সিউমোর উপপাদ্য দ্বারা, আমরা জানি যে গাছের প্রস্থের গ্রাফের ক্লাসের প্রায় 10 টি নিষিদ্ধ নাবালিকাদের একটি সীমাবদ্ধ সেট থাকে। এই সেটটি কী তা আমরা জানি না তাই আমি দাবি করেছি যে গ্রাফ গাছপথের গ্রাফের ক্লাসের সর্বোচ্চ 10 টি নিষিদ্ধ নাবালিকা কিনা তা ঠিক করার জন্য আমাদের কাছে একটি অ্যালগরিদম নেই তবে তবে @ এসডিসিডাব্লুসি দেখায় যে একটি অ্যালগরিদম আছে : শুধু চেক করুন যে চেয়ে treewidth আরো 10 এবং তার সকল সঠিক অপ্রাপ্তবয়স্কদের সবচেয়ে 10 treewidth আছে। $H$ $H$

— ডেভিড রিচার্বি
সূত্র