একটি ট্রিপল-নেস্টেড লুপের সময় জটিলতা

13

দয়া করে নিম্নলিখিত ট্রিপল-নেস্টেড লুপটি বিবেচনা করুন:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

বিবৃতি এখানে ঠিক মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা হয় $n(n+1)(n+2)\over6$ বার। কেউ দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন যে এই সূত্রটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়েছিল? ধন্যবাদ.

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— শিন
সূত্র

1

নেস্টেড লুপগুলির প্রশ্ন টাইম জটিলতার সূত্রটিও আগ্রহী হতে পারে।

— জুহো

14

লুপের অভ্যন্তরীণতম সংখ্যাটি ট্রিপলটির সংখ্যা $(i,j,k)$ দ্বারা নির্বাহ করা হয় যার জন্য এটি সম্পাদন করা হয় তা গণনা করতে পারেন।

$1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

$n+2$
$n+2$
- $i$
- $j$
- $k$

$n+2$ $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
সূত্র

2

চমৎকার উত্তর! I, j, k এর সঠিক মানগুলি গুরুত্বপূর্ণ নয়। আমাদের কেবল এটি জানতে হবে যে কোনও নীল বাক্সটি এন সম্ভাব্য পজিশনে স্থাপন করা যেতে পারে এবং তাদের অবস্থানগুলি সীমানাযুক্ত: 2 ষ্ঠ সর্বদা 1 ম এর পরে এবং 3 য়ের আগে আসে।

— ডেভিড নাটিংগা

@rizwanhudda এ অংশ বাদে সাফ করুন । আপনি দয়া করে এটি ব্যাখ্যা করতে পারেন? সঠিক সংখ্যার মতো দেখাচ্ছে।

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— সাদাতাম

1

@ SAadtaame হ্যাঁ আপনি লাল বাক্স রাখার কল্পনা করতে পারেন , তবে " লাল বাক্সগুলির মধ্যে" নীল রঙ করার জন্য 3 টি লাল বাক্স বেছে নেওয়ার স্বাধীনতা রয়েছে , কারণ আপনি প্রথম বাক্সটিকে নীল হিসাবে রঙ করতে পারবেন না (যেহেতু

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— q জেক

3

আমার জন্য, এটি লক্ষ্য করা সহজ যে অভ্যন্তরীণ লুপটি নির্ধারিত হয় বার এবং অভ্যন্তরীণ লুপের মোট মৃত্যুদন্ড কার্যকর হয় $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

এটি হিসাবে আবার লিখতে পারে এবং বার মৃত্যুদণ্ড কার্যকর করা হয় , সুতরাং মৃত্যুদণ্ডের মোট সংখ্যা হ'ল $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— অ্যান্ডি mcevoy
সূত্র

আপনার জন্য একটি চ্যালেঞ্জ: কল্পনা করুন আপনার কাছে এক্স-নেস্টেড লুপ রয়েছে। পূর্ববর্তী উত্তর অনুসারে এটি কার্যকর করা হবে (n + x-1) x সময় চয়ন করে। আপনি কীভাবে আপনার সূত্র গণনা করবেন?

— ডেভিড নাটিংগা

ভাগ্যক্রমে ওপি এক্স-নেস্টেড জন্য জিজ্ঞাসা করেনি! প্রদত্ত অন্য উত্তর কীভাবে এক্স-নেস্টেড লুপে প্রসারিত করে? আমার উত্তরটি কেবল 0 থেকে এন, 0 থেকে এন-আই_1, 0 থেকে এন-আই_2, ..., 0 থেকে এন-আই_এক্সে আরও বেশি পরিমাণে যোগ করা উচিত। তবে কীভাবে এটি গণনা করা যায় তা আমি জানতাম না।

— অ্যান্ডি মেসভয়

1

উত্তরটি সাধারণ এক্সের জন্য স্পষ্টভাবে উত্তর প্রসারণ করে না, তবে উপস্থাপিত যুক্তি প্রক্রিয়াটি এক্স-নেস্টেড লুপগুলি অনুসরণ করা সহজ। আপনি কেবল আরও নীল বাক্স যুক্ত করুন। আমি জানি না যে আমি কীভাবে এই আরও পরিমাণগুলি গণনা করব।

— ডেভিড নাটিংগা