সব লাল-কালো গাছ ভারসাম্যপূর্ণ নয়?

স্বজ্ঞাতভাবে, "সুষম গাছ" এমন গাছ হওয়া উচিত যেখানে প্রতিটি নোডের বাম এবং ডান উপ-গাছগুলিতে "প্রায় একই" নোডের সংখ্যা থাকতে হবে।

অবশ্যই, যখন আমরা লাল-কালো গাছগুলি * (শেষে সংজ্ঞাটি দেখুন) ভারসাম্যযুক্ত হওয়ার বিষয়ে কথা বলি, তখন আমরা প্রকৃতপক্ষে বোঝাতে পারি যে তারা উচ্চতা ভারসাম্যযুক্ত এবং সেই অর্থে তারা ভারসাম্যপূর্ণ।

ধরুন আমরা নীচের হিসাবে উপরের স্বজ্ঞাতকে আনুষ্ঠানিক করার চেষ্টা করি:

সংজ্ঞা: একটি বাইনারি গাছকে সহ ভারসাম্য বলা হয় $\mu$ , যদি প্রতিটি নোডজন্য হয়তবে অসমতা $0 \le \mu \leq \frac{1}{2}$ $N$

$μ \leq \frac{| N_{L} | + 1}{| N | + 1} \leq 1 - μ$ $\mu \le \frac{|N_L| + 1}{|N| + 1} \le 1 - \mu$
ধারণ করে এবং প্রতিটি জন্য কিছু নোড থাকে যার জন্য উপরের বিবৃতিটি ব্যর্থ হয়। এবং বাম উপ-গাছে নোডের সংখ্যা মূল হিসাবে সহ গাছের নীচে নোডের সংখ্যা (মূল সহ)। $\mu' \gt \mu$ $|N_L|$ $N$ $|N|$ $N$

আমি বিশ্বাস করি, এগুলিকে এই বিষয়টির কিছু সাহিত্যে ওজন-ভারসাম্যযুক্ত গাছ বলা হয় ।

এক দেখাতে পারেন যে যদি সঙ্গে একটি বাইনারি ট্রি নোড হয় -balanced (ক ধ্রুবক জন্য ), তারপর গাছের উচ্চতার , এইভাবে চমৎকার অনুসন্ধান বৈশিষ্ট্য বজায় রাখার। $n$ $\mu$ $\mu \gt 0$ $\mathcal{O}(\log n)$

সুতরাং প্রশ্নটি হ'ল:

এমন কি কোনও আছে যে প্রতিটি বড় পর্যাপ্ত লাল-কালো গাছ ভারসাম্যযুক্ত? $\mu \gt 0$ $\mu$

আমরা ব্যবহার করি লাল-কালো গাছগুলির সংজ্ঞা (Cormen এট আল দ্বারা আলগোরিদিমগুলির পরিচিতি থেকে):

একটি বাইনারি অনুসন্ধান গাছ, যেখানে প্রতিটি নোড লাল বা কালো রঙিন হয়

মূলটি কালো is
সমস্ত NULL নোড কালো
যদি কোনও নোড লাল হয় তবে তার উভয় সন্তানই কালো।
প্রতিটি নোডের জন্য, সেই নোড থেকে বংশজাত NULL নোডের সমস্ত পাথগুলিতে একই পরিমাণে কালো নোড রয়েছে।

দ্রষ্টব্য: আমরা উপরের ভারসাম্য সংজ্ঞায় নুল নোডগুলি গণনা করি না । (যদিও আমি বিশ্বাস করি এটি করলে আমাদের কিছু আসে যায় না)। $\mu$

data-structures binary-trees search-trees

— আর্যভট্ট
সূত্র

@ আর্যভট্ট: আপনার সম্পাদনায় স্বতন্ত্রতা (

) কী আছে? আমি ঠিক যে

μ^{'} > μ

$\mu'>\mu$

ভারসাম্য অর্থ

\frac{1}{3}

$\frac13$

ভারসাম্যযুক্ত। উচ্চতা

প্রমাণকরার জন্য আপনাকেসঠিক

খুঁজে পাওয়া উচিত বলে আমি মনে করি না। আমি কিছু অনুপস্থিত করছি?

\frac{1}{4}

$\frac14$

μ

$\mu$

O (\log n)

$O(\log n)$

— jmad

তদ্ব্যতীত, প্রতিটি

জন্য একটি গাছের সাথে কাউন্টারিক্স নমুনা শৃঙ্খলা সরবরাহ করতে আপনার একটি নেতিবাচক বিবৃতি প্রয়োজন । নোডের আকারে কমছে না এমন কোনও অসীম চেইন যথেষ্ট হবে, তাই না?

n \in N

$n \in \mathbb{N}$

— রাফেল

@jmad: ছাড়া

সম্পাদনা, যে গাছ জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ হয়

-balanced এবং তাই আমরা প্রশ্ন করার জন্য একটি তুচ্ছ কোন উত্তর আছে। আমি তা এড়াতে চেয়েছিলাম।

μ^{'}

$\mu'$

0

$0$

— আর্যভট্ট

n^{t h}

$n^{th}$

n

$n$

R B_{n}

$RB_n$

μ_{n} \to 0

$\mu_n \to 0$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

$\mu$

প্রুফ আইডিয়া : প্রদত্ত সংখ্যক জন্য নোড দিয়ে যতটা সম্ভব নোড এবং বামে যতটা সম্ভব নোড দিয়ে পূর্ণ করুন with $k$

$T_k$ $T_k$ $k$ $T_k = B(L_k, R_k)$

$R_k$ $2k - 1$
$L_k$ $k-1$

$T_k$

$T_1$ $T_2$ $T_3$

T_1
^{[ উত্স ]}

T_2
^{[ উত্স ]}

T_3
^{[ উত্স ]}

এখন আসুন বামের তুলনায় ডান দিকের ভিজ্যুয়াল ইম্প্রেশনটি বিশাল আকারে যাচাই করি । আমি ভার্চুয়াল পাতা গণনা করব না; তারা ফলাফল প্রভাবিত করে না।

$T_k$ $k-1$ $2^k - 1$ $2k - 1$ $2^{2k}-1$ $\mu$

$\qquad \displaystyle \frac{2^k}{2^k + 2^{2k}} = \frac{1}{1 + 2^k} \underset{k\to\infty}{\to} 0$

$\mu > 0$

— রাফেল
সূত্র

না । নিম্নলিখিত বিশেষ কাঠামোযুক্ত একটি লাল-কালো গাছ বিবেচনা করুন।

$d$
$2d$

$2^{2d+1}-1$ $2^{d+1}-1$

— JeffE
সূত্র

2^{2 d + 1} + 2^{d + 1} - 1

$2^{2d+1} + 2^{d+1} - 1$

n

$n$

n

$n$

@ জেফি: মূলত কাউন্টারিক্স নমুনা শৃঙ্খলাটি 'স্পার্স' সাবসেটের পরিবর্তে 'ঘন' উপসেট হবে। সম্ভবত আমি প্রশ্নের সূত্র পরিবর্তন করব।

— আর্যভট্ট