স্থির পয়েন্ট, কম্পিউটার বিজ্ঞানের জগতে এর অর্থ কী

Question

আমি স্ট্যাকেক্সচেঞ্জের প্রশ্নোত্তরে নির্দিষ্ট পয়েন্টের রেফারেন্সগুলি দেখতে পাচ্ছি এবং আমি ওয়েবে উইকিপিডিয়ায় যেমন স্পষ্টভাবে রেফারেন্স খুঁজে পাচ্ছি তার অর্থটি সন্ধান করি। যাইহোক, রেফারেন্সগুলির মধ্যে কোনটিই একটি সত্যিকারের নির্দিষ্ট প্রশ্ন এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের জগতে এর অর্থ কী তা সম্পর্কে আমার প্রশ্নের উত্তর দেয় না।

Comments

এমনকি যদি নির্দিষ্ট পয়েন্টের ধারণাটি কিছু জোড় যেমন f ( x ) = x থেকে থাকে তবে প্রচুর আলাদা ফ্রেমওয়ার্ক রয়েছে যেখানে এই শব্দটি বিভিন্ন অর্থ এবং ফলাফলের সাথে ব্যবহৃত হয়। $f,x$$f(x)=x$

— রাফেল

এটা আমার সাহায্য করা হয়। বিনামূল্যে পুনরাবৃত্তির ধরণ!

— গাই কোডার

Answer 1

কম্পিউটার বিজ্ঞান সালে, নির্দিষ্ট বিন্দুর তর্কসাপেক্ষে বিশিষ্ট ব্যবহার করা হচ্ছে জাফরি তত্ত্ব ¹। একটি জাফরি একটি আংশিকভাবে আদেশ সেট অতিরিক্ত সম্পত্তি যে কোনো দুটি উপাদান দেওয়া সঙ্গে x , Y ∈ এস , সেট { এক্স , Y } (উভয়েই supremum এবং infimum হয়েছে এস )।$(S, \leq)$$x,y \in S$$\{x,y\}$$S$

এখন আপনি প্রায়ই বিবেচনা একঘেয়েমি ফাংশন এই জাফরি যেটি "বিন্দুতে মিলিত", কিছু যে উপর এক্স ∈ এস আপনি চ ( এক্স ) = এক্স । এই অঞ্চলের গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলি হ'ল ক্লিনির স্থির-পয়েন্ট উপপাদ্য এবং ন্যাস্টার-টারস্কি উপপাদ্য ।$f$$x \in S$$f(x)=x$

একটি প্রকৃষ্ট উদাহরণ জাফরি হয় জন্য একটি কিছু সেট করুন এবং চ একটি প্রস্তাবনামূলক সংজ্ঞা দ্বারা প্রবর্তিত। উদাহরণস্বরূপ, যাক একটি = { একটি , খ } * এবং আমরা একটি ভাষা নির্ধারণ করুন এল ∈ 2 { একটি , খ } * দ্বারা$(2^A,\subseteq)$$A$$f$$A = \{a,b\}^*$$L \in 2^{\{a,b\}^*}$

$\qquad \begin{align} \phantom{w \in L} &\phantom{\implies} \varepsilon, a \in L \\ aw \in L &\implies baw \in L \\ bw \in L &\implies abw, bbw \in L \end{align}$

এই প্রস্তাবনামূলক সংজ্ঞা মনোটোন ফাংশনের সাথে মিলে যায়

$\qquad \displaystyle f(A) = \{\varepsilon, a\} \cup A \cup \{baw \mid aw \in L\} \cup \{abw, bbw \mid bw \in L\}$

নাস্টার-তারস্কি উপপাদ্য দ্বারা, আমরা জানি যে এর একটি ছোট্ট ফিক্সপয়েন্ট রয়েছে যা সমস্ত ছোট "মধ্যবর্তী ফলাফল" (যা চূড়ান্তভাবে প্রায়শই প্রস্তাবিত সংজ্ঞা ব্যবহারকারীর প্রয়োগের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) এর আধিপত্য, এবং সেই ক্ষুদ্রতম ফিক্সপয়েন্টটি আসলে এল ।$f$$L$

যাইহোক, বৃহত্তম ফিক্সপয়েন্টেরও ব্যবহার রয়েছে; একটি উদাহরণের জন্য এখানে দেখুন ।

---

পুনরাবৃত্তি তত্ত্বে, ক্লিনের কারণে আরও একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্য রয়েছে। এটি বলে ²,

যাক একটি জিডেল নম্বর ³ এবং আর : এন → এন মোট, গণনাযোগ্য ফাংশন (অন্তর্দৃষ্টি: একটি সংকলক)। তারপরে আই ∈ N এর মতো φ r ( i ) = φ i ।$\varphi$$r :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$i \in \mathbb{N}$$\varphi_{r(i)}=\varphi_i$

আসলে, এমনকি অসীম এইরকম আরও অনেক আছে ; যদি সেখানে কেবলমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি থাকে তবে আমরা থিমের বিপরীতে ফিক্সড পয়েন্ট না থাকার জন্য r (টেবিল-লুকিয়ে) প্যাচ করতে পারি ।$i$$r$

---

1. প্রত্যেকে এটি প্রতিদিন ব্যবহার করে, এমনকি যদি আপনি এটি উপলব্ধি না করেন।
2. আমি সেই উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি পছন্দ করি না; আপনি সম্ভবত কোনও জেনার বইটি পরীক্ষা করা ভাল।
3. একটি বিশেষ ধরণের ফাংশন নম্বর। স্বজ্ঞাততার জন্য, এটিকে (টুরিং-সম্পূর্ণ) প্রোগ্রামিং ভাষা হিসাবে ভাবেন।

Answer 2

আমাকে মিস্টারলুকের জবাবটি সম্পর্কে কিছুটা ব্যাখ্যা করতে দাও: কল্পনা করুন যে আমরা কল্পিত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করছি: বর্ণনামূলক কার্যকারিতার সংজ্ঞাটি মনে রাখবেন:

fact 0     = 1
fact (n+1) = n*(fact n)

$\lambda$

Fact f 0     = 1
Fact f (n+1) = n * (f n)

Fact$\phi$

$$\mbox{Fact}\ \phi\ n ~=~ \phi\ n$$ for every $n$, then it is easy to check that $\phi$ is indeed an implementation of the factorial function.

Now in frameworks like the $\lambda$-calculus, one can show that all fixed-points of this nature do, in fact, exist, which makes it clear that you can use it as a general programing language.

There are many other uses to the notion of fixed-points in computer science, but most boil down to the one I showed above, i.e. prove that certain fixed-points exist to be able to show that certain functions or constructs are well-defined in your framework (here we have shown that the factorial function exists).

Answer 3

A fixed point of a function $f: A \to A$ is an element $x$ for which $f(x)$ is equal to $x$. For example, the function $x^2$ has two fixed points, which are the values $0$ and $1$, and the function $x^3$ has three fixed points. Mathematically that is the definition.

Now, depending on the mathematical structure you are dealing with, there are very many different reasons to be interested in fixed points. For example, if you consider a dynamic system that looks at the state of the world and changes it (like a thermostat) then a fixed point corresponds to a stable configuration. If you think of games in the mathematical sense of game theory, fixed points correspond to equillibria, if you think of the the behaviour of an optimization routine that iteratively improves its solution, a fixed point corresponds to an optimal solution. So the mathematical notion of a fixed point has a lot of applications in a lot of different contexts.

A very common, and fundamental application of fixed points in computer science is to mathematically model loops and recursive programs. If we try to model a program as a mathematical function, both loops and recursion are not obvious to model. This is because the body of a loop is a program and can be represented as a mathematical function. How do we derive the function representing the loop's behaviour? It corresponds to applying the loop body repeatedly, in conjunction with the loop guard, until no further change is possible. Similarly, if we model recursive programs mathematically, we need a mathematical notion of what it means for a function to apply itself. This answer is provided by fixed points.

Answer 4

A function in mathematics is a map between input and output values. Fixed points are input values (for a function) which map to output values satisfying equality with the input.

For the equality function $f(x) = x$ the set of input value equals to the set of fixed points of the function. For a function $f(x) = x^2$ the set of fixed points is limited to $\{0, 1\}$.

As far as computer science is concerned, we are talking a lot about partial functions, but this does not change the definition of fixed points for us.

আপনি সম্পূর্ণ ভিন্ন বিষয় সম্পর্কেও বিভ্রান্ত হতে পারেন: ফিক্সড পয়েন্ট গাণিতিক একটি ধারণা যা মেমরিতে আসল সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করতে পারে। তবে "নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি" নামটি এই বিষয়টিকে সাধারণভাবে উল্লেখ করে না (কারণ কেবলমাত্র 1 টি পয়েন্ট রয়েছে)।

Answer 5

গেম থিওরিটি সিএসের একটি বড় সুবারিয়া এবং একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা রয়েছে ন্যাশ ভারসাম্য যা একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্য। এটি অন্যান্য খেলোয়াড়দের একে অপরের কৌশল সম্পর্কে সচেতন যে প্রদত্ত অনুকূল গেম কৌশলগুলি সনাক্ত করার একটি উপায় দেয়। এটি মাধ্যমে প্রমাণিত হতে পারে কাকুতানি নির্দিষ্ট বিন্দু উপপাদ্য বা Brower বিন্দু উপপাদ্য সংশোধন । এই তত্ত্বটি বিকাশের অংশ হিসাবে ন্যাশ অর্থনীতির নোবেল পুরস্কার পেয়েছিলেন।