কুকি বক্সে কয়টি কুকি? টাইলিং স্টার

Question

ছুটির মরসুম আসার সাথে সাথে আমি কিছু দারুচিনি তারকা তৈরি করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি । এটি মজাদার ছিল (এবং ফলাফলটি সুস্বাদু), তবে আমি যখন তারার প্রথম ট্রেটি বাক্সে রাখি তখন আমার অভ্যন্তরীণ ঘূর্ণিঝড় সঙ্কুচিত হয়ে যায় এবং সেগুলি একটি স্তরে ফিট করে না:

প্রায়! তারা ফিট করতে পারে এমন কোন উপায় আছে? আমরা কীভাবে তারকাদের টাইল করতে পারি? এগুলি নিয়মিত ছয়-নির্দেশিত তারা, আমরা অবশ্যই সুপরিচিত ষড়ভুজ টিলিংগুলিকে প্রায় অনুমান হিসাবে ব্যবহার করতে পারি:

^{ওপরে ডানদিকে গড়াগড়ি করে ওফফফ করে উঠছে।}

তবে কি এই অনুকূল? টিপসের মধ্যে প্রচুর জায়গা রয়েছে।

এই বিবেচনার জন্য, আসুন আমরা নিজেকে আয়তক্ষেত্রাকার বাক্স এবং ছয়-পয়েন্টযুক্ত, নিয়মিত তারাগুলিতে সীমাবদ্ধ রাখি, অর্থাৎ প্রতিটি টিপস এবং এর প্রতিবেশী ডাকের মধ্যে ত্রিশ ডিগ্রি (বা ) থাকে। তারাগুলি অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ এবং বাইরের ব্যাসার্ধ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় : আরআইআর$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ উত্স ]}

দ্রষ্টব্য যে আমাদের এবং । আমি এই চূড়ান্ত বিষয়গুলি (কুকিজের জন্য) বিবেচনা করা এবং নিজেকে সীমাবদ্ধ হিসাবে যুক্তিসঙ্গত মনে করি cookies ।ri=$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$আর$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

আমার কুকিগুলিতে এবং অসম্পূর্ণতাগুলি উপেক্ষা করে - আমি স্বাদে যাচ্ছিলাম, একবারের জন্য ফর্ম নয়!আর ও ≈ 25 মি $r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

উপরের বৈশিষ্ট্যযুক্ত তারার জন্য সর্বোত্তম টাইলিং কী? যদি কোনও স্থির সেরা টাইলিং না থাকে, তবে দক্ষতার সাথে কোনও ভালকে খুঁজে পাওয়ার জন্য কি কোনও অ্যালগরিদম রয়েছে?

Comments

হ্যাঁ, আমি জানি: আপনি কী চেষ্টা করেছেন এবং কোথায় আটকে গেছেন? এটি কেবল একটি দুর্দান্ত বাস্তব-লাইভ "সমস্যা" যা আমি কুকির মরসুমে ভাবতে মজা করতে পারি বলে মনে করি, বিশেষত যারা বেকার না হয়ে চিন্তক। আনন্দ কর!

— রাফেল

সম্ভবত আপনি হিমশীতল আটকে গেছেন। রান্নাঘরে. * রিমশট *

— ডেভিড রিচারি

Answer 1

আমাকে হেক্সগ্রাম মামলার জন্য আপনার প্রশ্নের আংশিক উত্তর দিতে দিন।

আপনি নিম্নলিখিত টাইলিং করতে পারেন

$\hskip1.2in$

এর মাধ্যমে আপনি বিমানের 12/14 = 6/7 টি কভার করবেন (ড্যাশড চতুর্ভুজের ত্রিভুজগুলি গণনা করুন)।

এটি কি সর্বোত্তম? আমি তাই মনে হবে। যদিও আমি একটি প্রমাণ দিচ্ছি না আমি কিছু যুক্তি সরবরাহ করব। যে কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে, আমরা স্পিটি (স্পষ্টতুল্য) এর মাঝে কতটা ভাল (ত্রিভুজ) পূরণ করতে পারি। উপরের টাইলিংয়ে আমরা এর অর্ধেক পূরণ করি। আমরা কি আরও ভাল করতে পারি?

$\hskip20mm$

এটা সম্ভব যে দুটি হেক্সগ্রাম এই স্থানটিকে ছেদ করবে, কিন্তু তারপরে তারা এর ক্ষেত্রের খুব অল্প অংশ জুড়ে (প্রমাণ ছাড়াই)। যদি কেবল একটি হেক্সগ্রাম ছেদ করে চলেছে তবে আমি ধরে নিই যে এর টিপটি ছবিতে বর্ণিত অন্য হেক্সগ্রামের অবতল কোণে স্পর্শ করেছে। যদি এটি না হয় তবে ছেদকৃত হেক্সগ্রামকে এই কোণায় নিয়ে গিয়ে আমরা উন্নতি করতে পারি (এখানে আবার কোনও প্রমাণ নেই)। এই অনুমানের অধীনে এটি দেখতে খুব কঠিন নয় যে পাশের পাশে পার্শ্ববর্তী যোগাযোগের ক্ষেত্রেটি ছেদটি সর্বাধিক করে তোলে। আপনি যদি গণিতটি করেন, তবে আপনি খুঁজে পাবেন যে ছেদটির ক্ষেত্রফলের এর সমান

$$\frac{\sec ^2(x)}{2 \sqrt{3} \tan (x)+2}.$$

এই ফাংশনের প্লটটি দেখতে দেখতে এবং আমাদের অন্তর্দৃষ্টিটি সঠিক ছিল তা দেখায়।

$\hskip30mm$

Answer 2

নিম্নলিখিতটি সম্ভবত অপ্রত্যাশিতভাবে জটিল সমস্যার উপর একটি নির্দিষ্ট বা নির্দিষ্ট / সুনির্দিষ্ট / সর্বোত্তম আক্রমণ হিসাবে প্রস্তাব করা হয়নি তবে অতিরিক্ত বৈজ্ঞানিক / তাত্ত্বিক কোণ / সাধারণ গবেষণা হিসাবে এখনও পর্যন্ত আচ্ছাদন করা হয়নি।

1 ^ম এই সাধারণ অঞ্চলটি "বিন প্যাকিং" হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ / শ্রেণিবদ্ধ এবং এটি একটি 2 ডি কেস। গাণিতিক সম্পর্কিত কিছু বিখ্যাত প্রমাণ রয়েছে যা সম্পর্কিত যা উদাহরণস্বরূপ কেপলারদের গোলক প্যাকিংয়ের তদন্তের 3 ডি কেস যা বহু শতাব্দী ধরে একটি উন্মুক্ত সমস্যা ছিল এবং "সম্প্রতি" হেলসের কম্পিউটার প্রমাণ দিয়ে সমাধান করা হয়েছিল। শিল্পে প্রতিদিন ব্যবহৃত একটি 2 ডি উদাহরণ হ'ল চিপ লেআউটগুলি অনুকূল করে তোলা। স্পষ্টতই এটি সমস্যার চেয়ে আলাদা তবে এই ধরণের সমস্যার জটিলতার দিকে কিছু ইঙ্গিত করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ এমন কোনও তত্ত্ব বলে মনে হচ্ছে না যা প্রয়োজন / ইঙ্গিত দেয় যে 2 ডি কেস 3 ডি মামলার চেয়ে সহজ হবে। আরও মনে রাখবেন যে একটি সাধারণ আয়তক্ষেত্রাকার সীমানা অবিচ্ছিন্নভাবে বহুভুজ সীমানা ছাড়া অন্য সমাধানকে সহজতর করতে সহায়তা করে না।

কোনও বিশ্লেষণাত্মক সমাধান হতে পারে যদি "নিয়মিত টাইলিং" এর কিছু ধরণের বুনিয়াদী সংজ্ঞা / স্কিম যদি গ্রিডে বসানো ইত্যাদির মতো সমস্যা বিবৃতিতে দেওয়া হত তবে ক্যালকুলাস সমীকরণগুলি উপার্জনযোগ্য এবং সর্বোত্তম খুঁজে পেতে পারে।

সমস্যার শর্তগুলি (সম্ভবত বিপরীতে) বিশ্লেষণাত্মক অনুকূল সমাধানের দিকে নিয়ে যায় বলে মনে হয় না। এটি বিস্ময়কর কিছু হতে পারে তবে বিমানটি টাইলিংয়ের খুব অনুরূপ সমস্যাগুলি অনস্বীকার্য বলে জানা যায় (এটি বহু বছর আগে একটি বিখ্যাত ফলাফল ছিল এবং এখানে অনেকগুলি রেফারেন্স এবং এমনকি চলমান গবেষণাও রয়েছে)। সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য (সমাধানযোগ্য / বিশ্লেষণাত্মক) এবং অনস্বীকার্য সমস্যার মধ্যে মূল পার্থক্য হ'ল টাইলিংটি "নিয়মিত" কিনা। উপরের সমস্যাটি "নিয়মিত তারা" বোঝায় তবে "নিয়মিত টাইলিং" বোঝায় না। অন্যান্য বর্তমান উত্তর এক ধরণের নিয়মিত টাইলিং বা অর্ডার ধরেছে তবে নোট করুন যে এমনকি "নিয়মিত টাইলিং" সংজ্ঞায়িত করা খুব আনুষ্ঠানিকভাবে / গাণিতিকভাবে জটিল হতে পারে।

জেনেটিক অ্যালগরিদমগুলিতে এই জাতীয় সমস্যাগুলি সাধারণত বেশ কার্যকর । এ জাতীয় অ্যালগরিদম "খুব ভাল" প্যাকিংগুলি খুঁজে পেতে পারে যা খুব বেশি উন্নতি হওয়ার সম্ভাবনা নেই এবং সম্ভবত কিছু দক্ষতা খুব দক্ষ পদ্ধতিতে (যেমন সর্বোত্তমতম একটি ত্রুটি শতাংশের মধ্যে হওয়া আবশ্যক) মাধ্যমে তাদের অনুকূলতার উপর স্থাপন করা যেতে পারে, তবে কোনওটি প্রমাণ করতে পারে না অনুকূল হয়।

এখানে কিছু রেফ পাওয়া গেছে যা সাধারণত সরাসরি প্রযোজ্য:

• জেনেটিক অ্যালগোরিদমের উদাহরণ ব্যবহার। বহুভুজ / জ্যাকবসের প্যাকিংয়ের জন্য জেনেটিক অ্যালগরিদমগুলিতে

• জ্যামিতিক প্যাকিং এবং স্কেলিং সমস্যাগুলির জন্য অ্যালগরিদম পিএইচডি থিসিস / মাইকেল ফোরম্যান 1992, 92 পি, সেকেন্ড 3.6 স্কেলিং স্টার আকৃতির এক্স-মোনোটোন অবজেক্টস পি 30

• আরবিট্রি শপের জন্য জ্যামিতিক বিন প্যাকিং অ্যালগোরিথ / আরাফাত পাশা 2003 গ্রাজুয়েট থিসিস 87p

• এই স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ প্রশ্নটিও কাছে is একটি স্বেচ্ছাসেবক সীমানার মধ্যে স্বেচ্ছাসেবক বহুভুজ প্যাকিং । এটি নির্বিচারে সীমানার জন্য

Comments

অনুরূপ তত্ত্ব আরও দেখুন tetrahedrons প্যাকিং চ্যাং / NYT দ্বারা। অনুমান (নিবন্ধটি দ্বারা কিছুটা অনুপ্রাণিত): এই নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য, একটি অনিয়মিত প্যাকিং উপস্থিত রয়েছে যা কোনও নিয়মিতর চেয়ে সেরা।

— vzn

Answer 3

যদিও এই বিশেষ সমস্যাটি সম্ভবত অধ্যয়ন করা হয়নি, এই জাতীয় প্রশ্নগুলি লাস্লো ফেজেস টথ জিজ্ঞাসা করেছেন এবং এটি প্যাকিংয়ের সমস্যা হিসাবে পরিচিত। আমি দৃ strongly ়ভাবে প্যাচ-আগরওয়াল বইয়ের তৃতীয় অধ্যায়টি সুপারিশ করছি ।

Comments

যেমনটি, এটি কোনও উত্তর নয় তবে একটি মন্তব্য। এই বিষয়ে উত্সাহিতিত বইটি কী রয়েছে এবং কীভাবে এটি এখানে প্রয়োগ হতে পারে তা সংক্ষিপ্ত করতে পারেন?

— রাফেল