এমন কোনও প্রোগ্রাম রয়েছে যা কখনই থামে না এবং কোনও শর্তহীন প্রমাণ নেই?

কম্পিউটার বিজ্ঞানের ব্ল্যাক হোলের মতো Like আমরা কেবল তাদের অস্তিত্ব জানতে পারি তবে যখন তাদের একটি রয়েছে তখন আমরা কখনই জানতে পারি না যে সেগুলির মধ্যে একটি।

halting-problem correctness-proof

— ওটাকার মোলনার ল্যাপেজ
সূত্র

থামানো-সমস্যা নির্ধারণ করা উপপাদ্য প্রমাণ করার পক্ষে কমপক্ষে কঠোর (একটি উপপাদ দিয়েছিলেন যা আপনি সহজেই একটি প্রোগ্রাম লিখতে পারেন , প্রোগ্রামটি যদি শেষ হয় তাত্ত্বিক সত্য হয় তবেই)। যদি এই জাতীয় প্রোগ্রাম না থাকে তবে এর অর্থ হ'ল আপনি সমস্ত উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারতেন, যা ভুয়া হিসাবে পরিচিত।

T

$T$ if T is true then halt else loop forever

— বাকুরিউ

@ বাকুরিউ: আপনি কীভাবে লিখবেন if T is true?

— রুখ

@রুখ: traditionalতিহ্যবাহী পদ্ধতিটি হ'লFor each string S in the (countable) universe of possible strings: If S is a syntactically valid proof of T, halt.

— কুক্সপ্লসোন

@ কিউকপ্লসোন: আচ্ছা, হ্যাঁ, তবে এটি বাকুরিয়ের নির্মাণের সাথে খাপ খায় না বলে মনে হয়। । ।

— রুখ

এটি আকর্ষণীয় তবে আমার জ্ঞানের বাইরে। দয়া করে বিস্তারিত বলতে পারেন?

— ইভোরর

উত্তর:

আসলে এই মত প্রোগ্রাম আছে। এটি প্রমাণ করার জন্য, এর বিপরীতে ধরে নেওয়া যাক যে প্রতিটি মেশিন থেমে নেই তার পক্ষে প্রমাণ রয়েছে যে এটি থামছে না।

এই proofs সসীম দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং, তাই আমরা দৈর্ঘ্যের সমস্ত প্রমাণাদি কম গনা করতে কিছু পূর্ণসংখ্যা জন্য । $s$ $s$

তারপরে আমরা থামার সমস্যাটি নিম্নরূপে সমাধান করতে এটি ব্যবহার করতে পারি: একটি টুরিং মেশিন এবং একটি ইনপুট , আমরা নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করি: $M$ $x$

s := 0
while (True)
    test if machine M halts on input x in s steps
    look at all proofs of length s and see if they prove M doesn't halt on input x
    set s := s + 1

যদি ইনপুট থামে , তবে এটি কয়েকটি সীমাবদ্ধ পদক্ষেপের মধ্যে , তাই আমাদের অ্যালগরিদম বন্ধ হয়ে যায়। $M$ $x$ $s$

তাহলে ইনপুট বন্ধ না , তাহলে আমাদের ধৃষ্টতা দ্বারা, আছে কিছু প্রমাণ দৈর্ঘ্য যেখানে একটি প্রমাণ আছে যে স্থগিত না। সুতরাং এই ক্ষেত্রে, আমাদের অ্যালগরিদম সর্বদা শেষ হয়। $M$ $x$ $s$ $M$

সুতরাং, আমাদের কাছে হাল্টিং সমস্যাটি স্থির করে যা সর্বদা শেষ হয় iding তবে আমরা জানি যে এর অস্তিত্ব থাকতে পারে না, সুতরাং আমাদের ধারণা যে সর্বদা বন্ধ না করার প্রমাণ রয়েছে false

— jmite
সূত্র

আমি মনে করি গডেলের অসম্পূর্ণ উপপাদ্যের একটি দুর্বল রূপ এটি থেকেও অনুসরণ করে। মূলত এমন কিছু আছে যা সত্য তবে প্রমাণিত হতে পারে না। এটি আমার নতুন প্রিয় চিন্তার পরীক্ষাগুলি।

— জ্যাক

আপনি কি মনে করেন যে পি = এনপি প্রমাণ করার চেষ্টা করা বা একটি বিজোড় নিখুঁত সংখ্যা অনুসন্ধান করার চেষ্টা করা এই প্রোগ্রামগুলির মধ্যে একটি হতে পারে?

— ওটাকার মোলনার ল্যাপেজ

এটি পুরোপুরি তাত্পর্যপূর্ণ নয় কারণ নন-টার্মিনেটিং প্রোগ্রামগুলি প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত হয় না বা তারা সংখ্যাও নয় তবে আপনি যে ধারণাটি পেয়ে যাচ্ছেন তা সামনে এসেছে। কেউ কেউ বলে যে PvsNP অপ্রতিরোধ্য

— জেক

@ জ্যাক আমি বিশ্বাস করি টুরিং মেশিনগুলির প্রেরণার একটি অংশ ছিল গডেলের উপপাদ্যের পিছনে ধারণার একটি পরিষ্কার অভিব্যক্তি।

— cpast

আরও কিছু দৃ concrete় উদাহরণের জন্য আসুন আমরা ধরে নিই যে আমরা আমাদের প্রমাণগুলির জন্য যে তত্ত্বটি ব্যবহার করছি সেগুলির নিম্নলিখিত (বেশ যুক্তিসঙ্গত, আইএমও) বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ; অর্থাৎ এটি কোনও দ্বন্দ্ব প্রমাণ করতে পারে না।
এর অ্যাকোমিকসের সেটটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে গণনাযোগ্য।
এর প্রমাণগুলি সসীম বিটস্ট্রিংস হিসাবে লেখা যেতে পারে।
কোনও প্রদত্ত স্ট্রিং এতে একটি সুগঠিত এবং সঠিক প্রমাণকে এনকোড করে কিনা তা প্রশ্ন সীমাবদ্ধ সময়ে অ্যালগোরিদমিকভাবে নির্ধারিত।
গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটির প্রমাণ স্বীকার করার পক্ষে এটি যথেষ্ট সংবেদনশীল , যা বলে যে এটি তার নিজস্ব ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে না।

এই অনুমানগুলি সহ, নিম্নলিখিত প্রোগ্রামটি কখনই থামবে না, তবে থামানো যাবে না (আমরা যে তত্ত্বের ব্যবহার করছি সেটির পরিধির মধ্যে) থামবে না:

let k := 0;
repeat:
    let k := k + 1;
    let s := binary expansion of k, excluding leading 1 bit;
while s does not encode a proof of a contradiction;
halt.

এখানে মূল বিশদটি হ'ল উপরের প্রথম অনুমানটি হ'ল আমরা যে তত্ত্বটি আমাদের প্রমাণগুলির জন্য ব্যবহার করছি তা সামঞ্জস্যপূর্ণ। স্পষ্টতই, আমাদের প্রমাণগুলি মূল্যহীন হওয়ার জন্য আমাদের এটি ধরে নেওয়া দরকার, তবে গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটি বলেছে যে কোনও যুক্তিসঙ্গতভাবে প্রকাশযোগ্য এবং কার্যকরভাবে অ্যাকোমাইমাটেজড তত্ত্বের জন্য, আমরা আসলে এটি প্রমাণ করতে পারি না (সম্ভবত অন্য কোনও তত্ত্বের মধ্যে, যার ধারাবাহিকতা আমরা তখন অনুমান করা প্রয়োজন, ইত্যাদি ইত্যাদি)।

— ইলমারি করোনেন
সূত্র