লন্ডাউ শর্তের অঙ্কের সাথে কী ভুল হয়?

আমি লিখেছিলাম

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

তবে আমার বন্ধু বলে যে এটি ভুল। TCS ঠকাই শীট থেকে আমি জানি যে সমষ্টি এছাড়াও বলা হয় যা লগারিদমিক বৃদ্ধি হয়েছে । সুতরাং আমার আবদ্ধ খুব তীক্ষ্ণ নয়, তবে এটির বিশ্লেষণের জন্য আমার পক্ষে প্রয়োজনীয় for $H_n$ $n$

আমি কি ভুল করছি?

সম্পাদনা : আমার বন্ধুটি বলেছে যে একই যুক্তি সহ, আমরা এটি প্রমাণ করতে পারি

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

এখন এটা স্পষ্টতই ভুল! এখানে কি হচ্ছে?

asymptotics landau-notation

— রাফেল
সূত্র

এই প্রশ্নের ট্যাগ সম্পর্কে এখানে একটি আলোচনা দেখুন ।

— রাফেল

ট্যাগ অ্যালগরিদম সম্পর্কে মেটা আলোচনা ।

— কাভেহ

একটি সাধারণ উদাহরণের আরও কংক্রিট চিকিত্সাও দেখুন: এই নেস্টেড লুপের অ্যাসেম্পটোটিক রানটাইমটি কী?

— গিলস 'অসন্তুষ্ট হওয়া বন্ধ করুন'

উত্তর:

আপনি যা করছেন তা স্বরলিপিটির খুব সুবিধাজনক আপত্তি।

কিছু শিশুরা বলবে যে আপনি যা লেখেন তা নির্বোধ, কারণ $\mathcal{O}(f)$ একটি সেট বোঝায় এবং আপনি যেভাবে করছেন সেগুলিতে আপনি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ করতে পারবেন না।

তবে এই শিশুদের উপেক্ষা করা এবং ধরে নেওয়া যে সেটটির কোনও সদস্যের $\mathcal{O}(f)$ পক্ষে দাঁড়িয়ে থাকা ভাল ধারণা । সুতরাং যখন আমরা বলি, তখন আমরা কী বলতে চাই তা যদি । (দ্রষ্টব্য: কিছু অভিভাবকরাও এই বিবৃতিতে কাঁপতে পারে, দাবি করে যে একটি সংখ্যা এবং $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$ কাজটি!)

এটি মত প্রকাশ করতে খুব সুবিধাজনক করে তোলে

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

এর মানে কি যে কিছু হয় যেমন যে $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

আপনার ক্ষেত্রে

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

আপনি এটিকে আরও গালি দিচ্ছেন এবং আপনার সাবধান হওয়া দরকার।

এখানে দুটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা রয়েছে: কোনও ফাংশন, বা ফাংশনকে বোঝায় ? $\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

আমি বিশ্বাস করি সঠিক ব্যাখ্যা এর কার্যকারিতা হিসেবে এটা ব্যাখ্যা করা যায় । $k$

আপনি একটি ফাংশন যেমন চিন্তা চেষ্টা করুন , ভুল না চিন্তা, এটি সম্ভাব্য fallacies হতে পারে চিন্তা মত হয় এবং লিখতে চেষ্টা করার $n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

আপনি একটি ফাংশন যেমন চিন্তা চেষ্টা করুন , তাহলে এটি সত্য যে, যদি (যেমন যুক্তি যায় ) এবং না হয় , যে $k$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

মনে রাখবেন যে মাঝখানে, আমরা চিহ্নিতকরণ এর সুবিধাজনক অপব্যবহারের অর্থ এই বোঝাতে চাইছি যে কোনও ফাংশন জন্য যোগফলটি । নোট করুন যে ভিতরে চূড়ান্ত ফাংশন একটি ফাংশন বোঝায় । প্রমাণটি তেমন কঠিন নয়, তবে আপনাকে এই সত্যটি পূরণ করতে হবে যে আপনি একটি অ্যাসিম্পটোটিক উপরের বাউন্ডের সাথে (যেমন পর্যাপ্ত বৃহত যুক্তির জন্য) ডিল করছেন, তবে যোগফলটি শুরু হয় । $\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

যদি আপনি এটিকে ক্রিয়া হিসাবে ভাবার চেষ্টা করেন তবে এটিও সত্য যে যদি (যুক্তি হিসাবে যায় ) তবে $n$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

সুতরাং আপনার প্রমাণটি মূলত সঠিক, উভয় ব্যাখ্যাতেই।

— Aryabhata
সূত্র

Bottom-line: Be aware (make sure) that every occurrence of a Landau symbol introduces (has) its own constant.

— Raphael

What you wrote is perfectly correct. The $n$ th harmonic number is indeed in the set $O(n)$ .

Proof: $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ . $\square$

The upper bound $O(n)$ isn't tight, but it's correct.

— JeffE
সূত্র

Okay: 1/i ≤ 1 = O(1).

— JeffE

The concern is directed at the second equality sign. How do I verify that?

— Raphael

But that is also correct. A sum of n terms, each of which is O(1), is indeed O(n).

— Suresh

@Suresh Only if the constants implied by the

O

$\cal{O}$ s are independent of the summation variable, and that is the point here (seed question).

— Raphael

The bug is not in the second equality. the bug (in the second expression) is in how you GET to that summation. Going from

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$ is correct. It's claiming that

i = O (1)

$i = O(1)$ is wrong. I realize this is obvious to all concerned, but I think this is the problem with 'seeding' questions :)

— Suresh

For the second example, you can't claim that

i = O (1)

$i = O(1)$

since $i$ varies with $n$ . After few steps it will be the case that $i>n/2$ . A more appropriate way is to say that $i = O(n)$ since indeed, throughout the summation $i$ never exceeds $1\cdot n$ . By this reasoning,

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

However the right thing to do is actually use the big-O notation only at the end. Upper bound your summation as tight as you can, and only when your done use the asymptotic notations to avoid these pitfalls.

— Ran G.
সূত্র